第一、二章阶段综合能力提升卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语、一元二次函数与不等式的跨章整合，以分类讨论、基本不等式等方法为核心，构建“概念-原理-应用”的逻辑链条，培养数学思维与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与常用逻辑用语|8题（如单选1、7，解答15）|子集个数计算、集合包含关系分类讨论、命题的否定与真假判断|“集合概念-关系运算-逻辑用语应用”递进，体现数学抽象与推理意识| |一元二次函数与不等式|10题（如单选3、8，解答16）|基本不等式求最值（“1”的代换）、不等式恒成立转化、解集与系数关系|“函数性质-方程求解-不等式证明与应用”关联，强化数学建模与运算能力|

人教A版必修一第一册第一章、第二章阶段综合能力提升卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 姓名： 班级： 得分： 【注意事项】 ①．测试范围：第一章 集合与常用逻辑用语＋第二章 一元二次函数、方程和不等式 ②．试卷难度：培优提升(侧重基础知识延伸、常规题型综合考查） ③．考试时长：120分钟 满分：150分 ④．题型结构：适配普通高中综合能力考查，单选8题+多选3题+填空3题+解答题5题， ⑤．难度配比：基础40%、中档40%、难题20%。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.设集合， ，则满足,则集合的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知命题p:，命题q:，若为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C.5 D.6 4.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6.已知，则函数的最小值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.设，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（ ） A.0 B.2 C.4 D.6 二、多项选择题；（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。） 9.下列命题为真命题的是（ ） A. B. C.若，则 D.若，则 10.已知集合，，则下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.若，则或 C.不可能为单元素集合 D.若，则 11.下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设命题P：“”,则命题P的否定为 。 13.已知集合，，则的真子集个数为________。 14.已知正数满足，则的最小值为________。 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知集合， （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围。 16.（14分）已知正数满足。 （1）求的最小值； （2）求的最小值。 17.（15分）已知命题p：方程有两个不等负根；命题q：方程无实根。 （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题中有且只有一个命题为真命题，求实数的取值范围。 18.(17分）设函数 （1）当不等式的解集为，求的值； （2）若 ①，求的最小值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围。 19.（18分）已知非空集合M满足以下两个条件：①，②若,则 （1）若M中只有1个元素，求M； （2）证明： （3）试问“M中有偶数元素”是“M中有奇数元素”的什么条件，说明你的理由。 参考答案与详细解析 一、单项选择题 1.设集合， ，则满足,则集合的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】集合A： 所以集合 集合 因为 ，且 M必须含有1,2；不能只等于；也不能等于 可供选择的额外元素：3,4 符合条件的集合M：或 所以集合M的个数为2个 答案：A 2.已知命题p:，命题q:，若为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】命题 p:，p为真命题，即一元二次不等式恒成立，判别式 则 命题 q:，q为真命题：存在使得不等式成立， 即 故 若为真命题，代表命题p为真并且命题q为真，取两个范围的交集， 即 答案：A 3.已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C.5 D.6 【解析】已知 所以 当且仅当时，即取等。 答案：A 4.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】集合，， 若，分两种情况进行讨论 ①B为空集时，即 ，成立 ②B不是空集时， 综合①②得：的取值范围是 答案：A 5.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】不等式的解集为 则抛物线开口向上，即 故方程的两根 由韦达定理得 把 代入新不等式 ,因为 ，两边同除以，不等号方向不变,化简得 解不等式得 所以解集为 答案：B 6.已知，则函数的最小值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】已知，则 所以函数 答案：B 7.设，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】充分性：若，两边同除以正数： 充分成立。 必要性：反过来，，举反例：即 满足但不满足。所以必要性不成立。 结论：充分不必要条件 答案：A 8.若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（ ） A.0 B.2 C.4 D.6 【解析】不等式变形为 因为，两边除以得 题目要求对任意恒成立，即 因为由基本不等式得当且仅当即取等号。 所以实数的最大值为2 答案：B 二、多项选择题 9.下列命题为真命题的是（ ） A. B. C.若，则 D.若，则 【解析】A选项：对任意实数，真命题 B选项：任何整数的平方都大于等于0，不存在，假命题 C选项：当时， ，不满足 ，假命题 D选项：，不等式两边都是正数，平方后不等号方向不变，，真命题 答案：AD 10.已知集合，，则下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.若，则或 C.不可能为单元素集合 D.若，则 【解析】先化简集合 集合 A选项：若，则 正确 B选项：若，B在A左边：；B在A右边： 即或 正确 C选项：不可能为单元素集合，B是区间长度为1的开区间，，可以相交得到一段区间，不可能只有一个点 正确 D选项：若， 正确 答案：ABCD 11.下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【解析】A选项：因为，基本不等式： 成立 B选项：当时，， 不成立 ❌ C选项：基本不等式，，算术平均数≥几何平均数 D选项：，恒成立 答案：ACD 三、填空题 12.设命题P：“”,则命题P的否定为 。 【解析】命题p： 全称命题的否定是特称命题，改为，结论否定。 即：： 13.已知集合，，则的真子集个数为________。 【解析】集合，所以，元素个数n=2 真子集个数公式为，即 （真子集：） 14.已知正数满足，则的最小值为________。 【解析】因为由基本不等式： 即 令，则 所以 因为，得， 当时取等。 所以最小值为9 四、解答题 15.（13分）已知集合， （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围。 【解析】（1）已知集合， 若，分情况讨论 ①当B是空集时：，此时满足。 ②当B不是空集时；且 则综合解得 综合①②得实数的取值范围为 （2）若，同样分情况讨论 ③当B是空集时：，此时满足 ④当B不是空集时；且则解得或 因为得，所以 舍去 所以非空时只有 综合③④得实数的取值范围为或 16.（14分）已知正数满足。 （1）求的最小值； （2）求的最小值。 【解析】（1）因为，由基本不等式 ： 两边平方得 等号成立条件，结合得 所以的最小值为8 （2）因为，且 所以 等号成立条件；结合解得 所以最小值为9 17.（15分）已知命题p：方程有两个不等负根；命题q：方程无实根。 （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若两个命题中有且只有一个命题为真命题，求实数的取值范围。 【解析】已知命题p：方程有两个不等负根；命题q：方程无实根。 先分别求出p为真、q为真时实数m的取值范围 ①命题p为真时：方程有两个不等负实数根， 则解得 ②命题q为真时，方程无实根 则 （1）若p为真命题，由上面计算，实数的取值范围为 （2）两个命题中有且只有一个命题为真命题（一真一假） 两种情况： ① p真q假：则得实数的取值范围为 ② p假q真：则得实数的取值范围为 综合①②得：实数的取值范围为或 18.(17分）设函数 （1）当不等式的解集为，求的值； （2）若 ①，求的最小值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）设函数，当不等式的解集为， 则，方程的两根。 由韦达定理得解得 （2）①由（1）得若代入 得=3 因为，且=3，即 则 等号成立条件：。联立=3，解得 所以的最小值为3。 ② 若即对任意恒成立。 已知代入 即 二次函数恒大于0，满足： 即 解方程，其根为 所以不等式的解集为 结合前提条件，所以实数的取值范围为 19.（18分）已知非空集合M满足以下两个条件：①，②若,则 （1）若M中只有1个元素，求M； （2）证明： （3）试问“M中有偶数元素”是“M中有奇数元素”的什么条件，说明你的理由。 【解析】（1）非空集合M满足以下两个条件：①，②若,则，若M中只有1个元素， 设这个唯一元素为m。因为，根据条件②，得 。 M只有一个元素，所以：解得 验证：，则，则，满足条件。 所以 （2）反证法：假设 由条件②：， 那么。 但是无理数，也是无理数； 而条件①：，集合M里面全部都是有理数。 而 ，矛盾。 假设不成立，故。 （3）设偶数，由条件②得。 m是偶数，2m是偶数，2m+1是奇数。 所以有偶数元素一定存在奇数元素，充分性成立。 举反例：取因为-1是奇数，集合M里面只有-1，没有偶数。 所以有奇数元素，不一定有偶数元素，必要性不成立。 结论：充分不必要条件。   学科网（北京）股份有限公司 $