4.4 对数函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学对数函数核心知识点，系统梳理从概念（定义、判断依据）到图像性质（定义域、值域、单调性等），再到反函数（与指数函数关系）及函数增长模型（与指数、一次函数差异）的知识脉络，构建从基础到应用的学习支架。 该资料按题型分类设计，含方法提炼与例题，通过概念辨析培养抽象能力（数学眼光），借助单调性分析、不等式求解提升推理能力（数学思维），结合增长模型应用强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

§4.4 对数函数 目录 题型1：对数函数的概念及应用 3 题型2：对数函数的图像和性质 5 题型3：与对数函数有关的定义域（值域） 9 题型4：比较对数值的大小 15 题型5：解对数不等式 19 题型6：对数型函数的性质的综合 23 题型7：几种函数增长模型的应用 31 1. 对数函数的概念 函数(，)叫做对数函数，其中是自变量，定义域是。 (1) 以10为底的对数函数叫做常用对数函数,以e为底的对数函数叫做自然对数函数。 (2) 判断一个函数是对数函数的依据 ①形如;②底数a满足a>0,且a≠1:③真数是x,而不是x的函数;④定义域为。 2. 对数函数的图像与性质 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当 时，； 当 时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 如图给出4个对数函数的图象 则 ，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3. 反函数 一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。互为反函数的两个图象关于直线对称，且具有相同的单调性。 4. 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 在上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随的增大逐渐变“陡” 随的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 的增长速度最终都会大大超过的增长速度；总存在一个，当时，恒有 增长结果 存在一个，当时，有 题型1：对数函数的概念及应用 方法提炼 判断一个函数是对数函数必须是形如(，)的形式，即必须满足以下条件： (1) 系数为1. (2) 底数为大于0且不等于1的常数. (3) 对数的真数仅有自变量. 【例1.1.】 给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 【例1.2.】 函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 【例1.3.】 已知为对数函数，，则_______，_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数函数的解析式、对数函数的概念判断与求值 【分析】设且，根据求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：， 【例1.4.】 已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值、求对数函数的解析式、指数幂的运算、对数函数的概念判断与求值 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 题型2：对数函数的图像和性质 方法提炼 有关对数函数图像和性质的注意点： (1) 函数图象只出现在y轴右侧. (2) 对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0). (3) 当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴. (4) 当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴. (5) 任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 【例2.1.】 图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】利用，在图象上画出直线，与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数. 【详解】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，， 故选：B. 【例2.2.】 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数型函数图象过定点问题、函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】通过讨论的不同取值情况，再结合选项，即可判断. 【详解】当时，函数过定点且单调递减， 则函数过定点且单调递增， 函数过定点且单调递减，D选项符合； 当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减， 函数过定点且单调递增，各选项均不符合. 综上，ABC不可能，D可能. 【例2.3.】 函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【难度】0.88 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 【例2.4.】 函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】求出函数的图象与轴交点坐标，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由可得，解得， 即函数的图象与轴的交点为，作出该函数的图象如下图所示： 要使得函数的图象不经过第四象限，只需，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 【例2.5.】 函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】判断函数的奇偶性，可排除A,D，将特殊值代入解析式验证，可排除C，由此可得答案. 【详解】由，可得为奇函数，排除A,D， 由于,，排除C， 故选：B 题型3：与对数函数有关的定义域（值域） 方法提炼 (1) 求形如的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围. (2) 把函数的定义域为的问题转化为恒成立问题求解. (3) 对于形如(,且)的复合函数,其值域的求解步骤如下: ①分解成,两个函数; ②求的定义域; ③求的取值范围; ④利用的单调性求解。 (4) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母),要考察其单调性,就必须对底数进行分类讨论。 【例3.1.】 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为， 故选：D. 【例3.2.】 已知函数，求在上的值域. 【答案】 【难度】0.72 【知识点】求对数型复合函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的值域 【详解】令，当时，， 故，由于在上单调递增，故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 【例3.3.】 已知且，且函数过点，则函数，的值域为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求对数函数的解析式、求对数型复合函数的值域 【分析】根据函数过点，求出的解析式，进而求得的解析式，并根据对数的运算性质及对函数的单调性求得函数，的值域. 【详解】由题可知，，所以，所以. 所以. 因为是增函数，所以是增函数. 所以当时，. 故函数，的值域为. 故答案为：. 【例3.4.】 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据对数函数的值域求参数值或范围、已知函数的定义域求参数 【分析】（1）由函数的定义域为转化为不等式恒成立，再分类讨论可得；（2）由函数的值域为转化为真数能取遍，再分类讨论可得. 【详解】（1）因为的定义域为，所以恒成立， ①当时，不等式为成立，符合题意； ②当时，不等式要恒成立，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为函数的值域为，即真数能取遍， ①当时，真数，不符合题意； ②当时，则，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【例3.5.】 若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据对数函数的值域求参数值或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. 【例3.6.】 已知函数 (1)若，求的值域； (2)若，函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.4 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求对数函数的最值、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】（1）将整理成，代入，利用换元法设，，利用对数函数和二次函数的图像求值域； （2）将整理成，设，利用对数函数和二次函数的图像求值域，分别讨论二次函数的对称轴在区间的左中右这三种情况求解. 【详解】（1）， 时，设， 当时，取最小值； 当时，取最大值2； 因此函数的值域为． （2）， 设，，， ①当，即，函数的最小值为，满足题意； ②当，即， 函数的最小值为，由已知， 解得（舍去）或（舍去）； ③当，即，函数的最小值为， 由已知，故， 综上所述：的值为或. 【例3.7.】 已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域、求对数函数在区间上的值域 【分析】（1）利用换元法将对数函数转化为二次函数，再利用二次函数的单调性求值域即可. （2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，结合函数单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则，当时，， 所以当时，， 当时，， 所以当时，该函数的值域为. （2）当时，， 原不等式可化为，即对恒成立. 令，. 任取，则， 所以， ， 则在上单调递增， 所以. 故，即的最小值为. 题型4：比较对数值的大小 方法提炼 比较对数值大小时常用的四种方法 (1) 同底数的利用对数函数的单调性. (2) 同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3) 底数和真数都不同，找中间量. (4) 若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 【例4.1.】 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】研究对数函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 【例4.2.】 已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】由指对数函数的单调性，通过中间量0和即可比较大小. 【详解】因为，所以． 【例4.3.】 设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】根据题意，利用对数的运算法则和对数函数的性质，结合，求得的范围，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则，可得， 因为，且，所以， 又因为，所以． 【例4.4.】 已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【详解】因为，所以， ， ， 所以. 【例4.5.】 已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】利用对数运算性质和对数函数的单调性可得，再由换底公式及对数函数的单调性得，再通过取中间值判断，从而可得结果. 【详解】根据对数幂的性质：. 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即. 又由对数用换底公式得， ​. 因为分母，分子是相同的正分数，分母越小值越大，所以，即， 因此. 因为，，所以，即. 又因为，因此. 综上所述，. 【例4.6.】 已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】化简等式得到，作出函数图象，结合图象可比大小. 【详解】因为所以，整理可得． 令， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 因为互不相等，观察可知，当时，，当时，． 【例4.7.】 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 题型5：解对数不等式 【例5.1.】 不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 【例5.2.】 不等式的解为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【详解】令，显然的定义域为, 因为函数和在上单调递增，因此在上单调递增； 又，所以不等式即为， 因此可得，即该不等式的解集为. 【例5.3.】 已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【详解】因为，所以关于对称， 又在上单调递减，所以在上单调递增， 由可得即， 转化得，可得. 【例5.4.】 设函数. (1)若，求实数的值； (2)讨论不等式的解集. 【答案】(1)2； (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、对数的运算 【分析】(1) 先将 代入函数表达式，再利用对数的定义建立方程求解 的值； (2) 先确定函数的定义域，再根据对数函数的单调性，分情况讨论 的取值范围，最后求解不等式 即可. 【详解】（1）因为， 由，得，则，解得， 所以实数的值为2； （2）由函数的定义域真数大于0确定：， 解得，所以的定义域为， 由题知原不等式可化为， 即，所以： ①若，则单调递减， 原不等式化为，解得，或， 因为的定义域为，所以，或； ②若，则单调递增， 原不等式化为，解得， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【例5.5.】 已知函数，函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求正数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由对数函数的单调性解不等式、对数函数单调性的应用 【分析】（1）利用对数函数的单调性求解即可； （2）由题意可转化为对数不等式恒成立，利用函数单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 则，得，即不等式的解集为; （2）因为， 对任意的，函数的图象总在函数图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以 整理得， 设，只需使得在上恒成立即可. 函数对称轴，因为，所以， ①当时，即时，函数在上单调递增，此时， 因为，所以，即在上恒成立； ②当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为，所以，即存在，使得，所以不符合题意. 综上所述的取值范围为. 题型6：对数型函数的性质的综合 【例6.1.】 已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数的定义域为. (2)由（1）知，， 因为在上单调递减，是增函数， 所以函数在区间上单调递减. 证明：设，且， . 因为，所以 又， 即 所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. (3) 【难度】0.71 【知识点】求对数型复合函数的定义域、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出的值，再解不等式，即可求出函数的定义域； （2）根据函数解析式，利用复合函数的单调性可判断，再根据定义证明即可； （3）根据对数函数的性质，结合的单调性，求得其取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，即在定义域内恒成立. 所以，即， 所以，即， 所以，即在定义域内恒成立， 所以，所以. 若，则无意义，不合题意； 若，则， 令，得， 解得或. 所以函数的定义域为. 综上所述，，函数的定义域为. （2）略 （3）由（1）知，，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 即恒成立， 所以. 所以的取值范围是. 【例6.2.】 已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)判断函数在上的单调性，并求出满足的实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)在单调递增， (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、基本（均值）不等式的应用、研究对数函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据偶函数的定义即可求出； （2）利用函数单调性的定义并化简即可； （3）令，再分离参数，最后通过均值不等式即可求出. 【详解】（1）依题意有，且， 即∴. （2）由（1）知 令，且， 则有，.∴. 即当时，单调递增，根据复合函数的单调性可知单调递增. 由偶函数性质知，当时，单调递减. 若成立，则，∴. （3）不等式等价于，令，， 即，， 根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 故.当，时取得. 故，故m的取值范围为. 【例6.3.】 已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【难度】0.62 【知识点】反函数的性质应用、研究对数函数的单调性、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据给定条件，求出函数，再利用奇函数的定义求解. （2）由（1）的信息，利用对数函数单调性，结合二次函数性质求解. 【详解】（1）函数，由函数图象与的图象关于对称，得， 由为奇函数，得， 则 ，整理得，而，解得， 此时函数定义域为，且，符合题意， 所以实数的值为2. （2）由（1）知， 依题意，不等式 在上恒成立，则 ，即， ，不等式 恒成立， 因此在恒成立， 当时，， ，当且仅当时取等号， 于是，解得，所以的取值范围为. 【例6.4.】 已知函数，其中. (1)证明：函数的图象是中心对称图形； (2)设，证明：； (3)令，若，使得，求的取值范围. 【答案】(1)由题意可得，即，即， ， 故关于中心对称； (2)当时，， 则， 故当时，； (3) 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数对称性的应用、对数函数单调性的应用、判断或证明函数的对称性 【分析】（1）计算出函数定义域后，验证是否为定值即可得； （2）结合函数定义域，计算大于是否恒成立即可得； （3）由题意可得，结合函数单调性可得，利用换元法与对勾函数性质可得，解出即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）当时，单调递减，单调递增， 则单调递减，又关于中心对称，故在上单调递减， 则， 当，令，则， 由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，，故， 则有恒成立，即，故. 【点睛】本题考查不等式的解法和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 【例6.5.】 已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.6 【知识点】求对数型复合函数的值域、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的单调性可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，即，，则，解得，因为，所以. 当时，，由，得，解得，即的定义域为，，满足题意. 综上，； （2）因为，使得，所以，由（1）知，. 由为上的单调递增函数，为单调递增函数，所以在上单调递增，故. ，当时，， 所以，由题意得，即，解得，即实数的取值范围为. 【例6.6.】 已知函数. (1)若函数的图象经过点，求实数的值并判断的奇偶性； (2)设，存在实数，当函数存在最小值为时，对恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)，偶函数 (2) 【难度】0.4 【知识点】求对数函数的解析式、函数奇偶性的定义与判断、运用换底公式化简计算、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）将点代入函数中，结合换底公式即可求出，证明，即可得到函数的奇偶性； （2），根据函数存在最小值为求出，对恒成立可化为对恒成立，求出的最大值，即可求出答案. 【详解】（1）将点代入函数中， 可得：， 即， 所以， 则，函数定义域为， 则， ， 即， 所以函数为偶函数. （2）， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为， 由题意得，解得， 则， 对恒成立， 所以对恒成立， 函数为增函数， 则， 即对恒成立， 因为函数和在上均单调递减， 则函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以， 即实数的取值范围为. 题型7：几种函数增长模型的应用 方法提炼 (1) 当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2) 当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型. (3) 一次函数增长速度不变，平稳变化. 【例7.1.】 当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】根据函数的特点即可判断出增长速度. 【详解】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快. 故选：B． 【例7.2.】 （多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有 A．的衰减速度越来越慢, 的衰减速度越来越快 B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢 C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢 D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】作出与的图象，通过观察图象可得结果. 【详解】在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示：    由图象可判断出衰减情况为：衰减速度越来越慢；衰减速度越来越慢 故选 【例7.3.】 某品牌新能源汽车自2021年初上市以来，近5年销售情况如下表： 时间 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 间隔年份x（单位：年） 0 1 2 3 4 全球销售量y（单位：百万） 0.5 0.75 1.125 1.688 2.531 从函数和中选择一个最合适的模型（计算函数模型时应用前两组数据即可），预测2026年全球销售量与2021年全球销售量的比约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、指数函数模型的应用（2） 【分析】作出散点图判断并选择一个最合适的模型，代入数值计算求出函数模型的表达式，即可求得. 【详解】根据表中数据作出散点图如图所示，    则由散点的趋势可以看出，模型更合适， 将点代入得，解得，， 所以，则2026年全球销售量与2021年的比值为． 故选：D 【例7.4.】 （多选）甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，乙在最前面 B．当时，甲在最前面 C．当时，丙在最前面 D．当时，甲在最后面 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】作出三个函数的图象，求出交点坐标，观察图象，逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 当时，，即甲在最前面，丙在最后面，A错B对； 当时，，即甲在最后面，丙在最前面，CD都对. 故选：BCD. 【例7.5.】 根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【答案】(1)选择模型③，理由： 是一次函数，增长速度恒定，与图象的递增趋势越来越缓不符； 是指数函数，增长速度会越来越快，与图象的增长趋势不符； 是对数函数，增长速度越来越缓，与图象的增长趋势一致，故选择模型③， ； (2)分钟. 【难度】0.65 【知识点】列出对数函数模型的解析式、根据实际问题增长率选择合适的函数模型、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据图象增长趋势排除一次函数和指数函数，选择对数函数模型，再代入已知点求解参数并验证边界条件，得到函数解析式； （2）根据得分不少于分的要求列出不等式，利用对数函数的单调性求解不等式，得到锻炼时间的最小值. 【详解】（1）由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得， 所以函数解析式为； （2）由题意可得，即， 因为是增函数，所以， 所以，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于分钟. 【例7.6.】 某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； (2)当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） (3)记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)选模型③， (2)至少需要小时 (3) 【难度】0.51 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据实际问题增长率选择合适的函数模型、指数函数模型的应用（2）、根据指数函数的最值求参数 【分析】（1）根据的增长速度可选择模型③，再结合表格中的数据可求得模型的函数解析式； （2）解不等式，可得结论； （3）求得，且，，于是得出，构造函数，其中，由题意可知函数在上的最小值为，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）由表格中的数据可知，随着的增大，函数的值增长得越来越快， 模型①②中，随着的增大，的值增长的速度越来越慢，不符合要求， 模型③中，随着的增大，的值增长的速度越来越快，符合要求， 根据题意可得，解得，，则， 此时，，， 故符合题意. （2）由，可得，所以， 故， 所以此模型至少需要训练小时才能进入可用阶段. （3）由题意可得， 因为，即， 所以， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 故当时，， 设，其中，由题意可知函数在上的最小值为， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增， 所以，解得，符合题意； ②当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）. 综上所述. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.4 对数函数 目录 题型1：对数函数的概念及应用 3 题型2：对数函数的图像和性质 4 题型3：与对数函数有关的定义域（值域） 5 题型4：比较对数值的大小 7 题型5：解对数不等式 8 题型6：对数型函数的性质的综合 8 题型7：几种函数增长模型的应用 9 1. 对数函数的概念 函数(，)叫做对数函数，其中是自变量，定义域是。 (1) 以10为底的对数函数叫做常用对数函数,以e为底的对数函数叫做自然对数函数。 (2) 判断一个函数是对数函数的依据 ①形如;②底数a满足a>0,且a≠1:③真数是x,而不是x的函数;④定义域为。 2. 对数函数的图像与性质 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当 时，； 当 时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 对称性 函数与的图像关于轴对称 如图给出4个对数函数的图象 则 ，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3. 反函数 一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。互为反函数的两个图象关于直线对称，且具有相同的单调性。 4. 三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 在上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随的增大逐渐变“陡” 随的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 的增长速度最终都会大大超过的增长速度；总存在一个，当时，恒有 增长结果 存在一个，当时，有 题型1：对数函数的概念及应用 方法提炼 判断一个函数是对数函数必须是形如(，)的形式，即必须满足以下条件： (1) 系数为1. (2) 底数为大于0且不等于1的常数. (3) 对数的真数仅有自变量. 【例1.1.】 给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例1.2.】 函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【例1.3.】 已知为对数函数，，则_______，_______． 【例1.4.】 已知函数是对数函数，则__________． 题型2：对数函数的图像和性质 方法提炼 有关对数函数图像和性质的注意点： (1) 函数图象只出现在y轴右侧. (2) 对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0). (3) 当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴. (4) 当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴. (5) 任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 【例2.1.】 图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例2.2.】 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【例2.3.】 函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【例2.4.】 函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 【例2.5.】 函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 题型3：与对数函数有关的定义域（值域） 方法提炼 (1) 求形如的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围. (2) 把函数的定义域为的问题转化为恒成立问题求解. (3) 对于形如(,且)的复合函数,其值域的求解步骤如下: ①分解成,两个函数; ②求的定义域; ③求的取值范围; ④利用的单调性求解。 (4) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母),要考察其单调性,就必须对底数进行分类讨论。 【例3.1.】 函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知函数，求在上的值域. 【例3.3.】 已知且，且函数过点，则函数，的值域为________. 【例3.4.】 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围______. （2）若函数的值域为，求实数的取值范围______. 【例3.5.】 若函数的值域为，则的取值范围是________. 【例3.6.】 已知函数 (1)若，求的值域； (2)若，函数的最小值为，求的值． 【例3.7.】 已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 题型4：比较对数值的大小 方法提炼 比较对数值大小时常用的四种方法 (1) 同底数的利用对数函数的单调性. (2) 同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3) 底数和真数都不同，找中间量. (4) 若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 【例4.1.】 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【例4.7.】 若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 题型5：解对数不等式 【例5.1.】 不等式的解集（用区间表示）________________． 【例5.2.】 不等式的解为______． 【例5.3.】 已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 设函数. (1)若，求实数的值； (2)讨论不等式的解集. 【例5.5.】 已知函数，函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求正数的取值范围. 题型6：对数型函数的性质的综合 【例6.1.】 已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【例6.2.】 已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)判断函数在上的单调性，并求出满足的实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【例6.3.】 已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【例6.4.】 已知函数，其中. (1)证明：函数的图象是中心对称图形； (2)设，证明：； (3)令，若，使得，求的取值范围. 【例6.5.】 已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【例6.6.】 已知函数. (1)若函数的图象经过点，求实数的值并判断的奇偶性； (2)设，存在实数，当函数存在最小值为时，对恒成立，求实数的取值范围； 题型7：几种函数增长模型的应用 方法提炼 (1) 当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2) 当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型. (3) 一次函数增长速度不变，平稳变化. 【例7.1.】 当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【例7.2.】 （多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有 A．的衰减速度越来越慢, 的衰减速度越来越快 B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢 C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢 D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快 【例7.3.】 某品牌新能源汽车自2021年初上市以来，近5年销售情况如下表： 时间 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 间隔年份x（单位：年） 0 1 2 3 4 全球销售量y（单位：百万） 0.5 0.75 1.125 1.688 2.531 从函数和中选择一个最合适的模型（计算函数模型时应用前两组数据即可），预测2026年全球销售量与2021年全球销售量的比约为（   ） A． B． C． D． 【例7.4.】 （多选）甲、乙、丙三个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论正确的是（    ） A．当时，乙在最前面 B．当时，甲在最前面 C．当时，丙在最前面 D．当时，甲在最后面 【例7.5.】 根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【例7.6.】 某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； (2)当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） (3)记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $