第4章 4.4 4.4.2 第2课时 对数函数的图象与性质的应用-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦对数函数的图象与性质的应用这一核心知识点，先通过情境引入回顾对数函数的概念、图象及性质，进而系统梳理利用单调性比较大小、解不等式、求最值的方法，结合复合函数单调性判定构建知识支架。 特色在于以核心素养为导向，通过例题分类讨论含参数不等式的解法培养数学运算与逻辑推理能力，结合复合函数单调区间分析提升数学抽象素养。课中助力教师分层教学，课后通过变式训练与综合题帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

第2课时　对数函数的图象与性质的应用 课程标准 素养解读 1.理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较大小、求最值或值域、解不等式 2．初步掌握对数函数在生活中的应用 1.通过对数函数性质的研究培养学生数学抽象和数学运算素养 2．通过对数函数的应用提升数学建模素养 [情境引入] 你能说出指数函数，对数函数的概念，图象与性质吗？它们有哪些共同点，哪些区别？ [知识梳理] [知识点一]　对数函数的图象及性质　 　对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 性 质 定义域 　(0，＋∞)　 值域 R 定点 　(1,0)　，即x＝　1　时，y＝　0　 单调性 在(0，＋∞)上 是　减函数　 在(0，＋∞)上 是　增函数　 [知识点二]　复合函数单调性的判定方法　 　设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是给定区间上的单调函数．若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是　增　函数；若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反．则函数y＝f[g(x)]是　减　函数． [预习自测] 1．下列各函数在(0,2)上是减函数的是(　　) 答案：D 2．函数的单调递增区间为(　　) A.　　　 B. C. D. 答案：D 3．已知函数f(x)＝则f＝　________　. 答案： 　　　利用对数函数单调性解不等式 [例1] 解下列不等式． (1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)； (2)log(2a－1)(x2－3x)＞log(2a－1)(2x＋6)． [思路点拨]　解此类不等式的关键是根据对数函数的单调性及对数的运算性质，将其转化为一般的代数不等式，若对数的底数含有参数，需对底数的范围加以讨论． [解]　(1)原不等式等价于 解得＜x＜3， 所以原不等式的解集为. (2)当a＞1时，2a－1＞1， 原不等式等价于 即， 解得－3＜x＜－1或x＞6. 当＜a＜1时，0＜2a－1＜1， 原不等式等价于 即 解得－1＜x＜0或3＜x＜6. 综上可知，当a＞1时，原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1，或x＞6}．当＜a＜1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜0，或3＜x＜6}． 　两类对数不等式的解法 1．形如logaf(x)＜logag(x)的不等式． (1)当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0； (2)当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)． 2．形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab. (1)当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab； (2)当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab. [变式训练] 1．(1)已知loga＞1，求a的取值范围； (2)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，求x的取值范围． 解：(1)由loga＞1得loga＞logaa. ①当a＞1时，有a＜， 此时无解． ②当0＜a＜1时，有＜a， 从而＜a＜1. ∴a的取值范围是. (2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log0.72x＜log0.7(x－1) 得解得x＞1. 　　　求对数函数的单调区间 [例2] 求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间． [思路点拨]　判断复合函数的单调性时，一定要在定义域内进行，如果含有参数，有时还要对参数进行分类讨论． [解]　由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为. ①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数， 在上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数． ②0<a<1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在上为增函数． 综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为； 当0<a<1时，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(2，＋∞)． 1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域． 2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a>0，且a≠1)型． 3．对于函数y＝logaf(x)，如果定义域为D. y＝logaf(x)的增区间 y＝logaf(x)的减区间 a>1 定义域内f(x)的单调增区间 定义域内f(x)的单调减区间 0<a<1 定义域内f(x)的单调减区间 定义域内f(x)的单调增区间 [变式训练] 2．求函数的单调区间． 解：设t＝x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又在定义域内单调递减，因而函数的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)． 　　　与对数函数有关的函数的综合问题 [例3] 已知函数f(x)＝loga(1＋3x)－loga(1－3x)(a＞0，a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并给予证明； (3)求关于x的不等式f(x)＜0的解集． [思路点拨]　对数型函数的定义域须满足对数式有意义． [解]　(1)因为函数f(x)＝loga(1＋3x)－loga(1－3x)， 所以解得－＜x＜， 所以函数f(x)的定义域为. (2)f(x)为奇函数，证明如下； 由(1)得函数f(x)的定义域为，关于原点对称， 因为函数f(x)＝loga(1＋3x)－loga(1－3x)， 所以f(－x)＝loga(1－3x)－loga(1＋3x) ＝－[loga(1＋3x)－loga(1－3x)]＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． (3)根据题意，loga(1＋3x)－loga(1－3x)＜0， 即loga(1＋3x)＜loga(1－3x)， 当a＞1时，有解得－＜x＜0， 此时不等式的解集为； 当0＜a＜1时，有解得0＜x＜， 此时不等式的解集为. 综上，当a＞1时，原不等式的解集为； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为. (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)． (2)含对数式的函数奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝log2x的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称． (1)求函数g(x)的解析式； (2)若G(x)＝g2(x)－2g(x)＋2，F(x)＝f(x2－ax＋1)． (ⅰ)求G(x)的值域； (ⅱ)若对于∀x1∈[1，＋∞)，∃x2∈R，使得F(x1)≥G(x2)恒成立，求所有满足条件的a的取值范围． 解：(1)由题意知，f(x)＝log2x与g(x)互为反函数，所以g(x)＝2x. (2)(ⅰ)由(1)知g(x)＝2x，则G(x)＝g2(x)－2g(x)＋2＝(2x－1)2＋1≥1，当且仅当x＝0时取等号， 所以G(x)的值域为[1，＋∞)． (ⅱ)因为∀x1∈[1，＋∞)，∃x2∈R，使得F(x1)≥G(x2)恒成立， 所以F(x)min≥G(x)min. 由(ⅰ) 知G(x)≥1，则log2(x2－ax＋1)≥1在[1，＋∞)上恒成立，则x2－ax－1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则a≤x－. 因为h(x)＝x－在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝0，所以a≤0，所以a的取值范围为(－∞，0]. 1．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围为(　　) A.　　　　　 B. C.∪(1，＋∞) D.∪(，＋∞) 答案：C 2．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝(　　) A.　　　 B．2　　　 C．2　　　 D．4 答案：D 3．函数在区间[0,2]上的最大值为　________　，最小值为　________　. 答案：3　1 4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是　________　. 答案： 5．根据函数f(x)＝log2x的图象与性质解决以下问题． (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[1,14]上的最值． 解：函数y＝log2x的图象如图． (1)y＝log2x是增函数，若f(a)>f(2)， 即log2a>log22， 则a>2. ∴a的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵1≤x≤14，∴1≤2x－1≤27， ∴0≤log2(2x－1)≤log227. ∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[1,14]上的最小值为0，最大值为log227. 1．函数的反函数是(　　) 　　　 B．y＝()x，x∈R C．y＝x2，x∈R D．y＝2x，x∈R 答案：B 2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(　　) 答案：D 3．若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案：B 4．已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)(x1，x2，x3，x4互不相等)，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 5．(多选)已知函数f(x)＝log2(mx2＋2x＋m－1)，m∈R，则下列说法正确的是(　　) A．若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是 B．若函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，则实数m＝2 C．若函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是(0，＋∞) D．若m＝0，则不等式f(x)＜1的解集为 解析：AB　[A选项：因为f(x)的定义域为R，所以mx2＋2x＋m－1＞0恒成立，则解得m＞，故正确；B选项：因为f(x)的值域为[－1，＋∞)，所以mx2＋2x＋m－1∈，所以解得m＝2，故正确；C选项：当m＝0时符合题意，当m≠0时，因为函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以由复合函数的单调性可知解得m＞0，综上可得m≥0，故错误；D选项：当m＝0时，f(x)＝log2(2x－1)，由f(x)＜1，可得0＜2x－1＜2，解得＜x＜，故错误．] 6．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　) A．f(4)＝－3 B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 C．函数y＝f(x)的最小值为－4 D．函数y＝f(x)的最大值为4 解析：ABC　[f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3，A正确；f(x)＝(log2x)2－2log2x－3，令f(x)＝0，得(log2x＋1)·(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点，B正确；因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x＞0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4，C正确；f(x)没有最大值，D错误．] 7．函数的值域为　______________　. 解析：设u＝－x2－2x＋3，则 u＝－(x＋1)2＋4≤4 ∵u＞0，∴0＜u≤4. 答案：[－2，＋∞) 8．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x－1)是奇函数，且当0＜x≤1时，f(x)＝log2 028x，则f(2 027)＋f＝　________　. 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，可得f(－x－1)＝f(x＋1)．因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．所以f(2 027)＋f＝f(－1)＋f＝f(1)＋f＝0＋log2 028＝－1. 答案：－1 9．函数在区间[0,1]上的最大值为　________　，最小值为　________　. 答案：3　1 10．解不等式： (1)log6(2x＋3)≥log6(5x－6)； (2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0且a≠1)． 解：(1)原不等式等价于 解得<x≤3. 所以不等式的解集为. (2)原不等式化为loga(x－4)>loga(2x－1)． 当a>1时， 不等式等价于无解． 当0<a<1时，不等式等价于 解得x>4. 综上可知，当a>1时，解集为∅；当0<a<1时，解集为{x|x>4}． 11．设函数f(x)＝ (1)当a＝时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝时， 当x＜1时，f(x)＝x2－3x是减函数． 所以f(x)＞f(1)＝－2； 当x≥1时，f(x)＝logx是减函数， 所以f(x)≤f(1)＝0， 综上，函数f(x)的值域是R. (2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数． 则 解得≤a≤. 即实数a的取值范围是. 12．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下： ①同学甲发现：函数f(x)的定义域为(－1,1)； ②同学乙发现：函数f(x)是偶函数； ③同学丙发现：对于任意的x∈(－1,1)都有f＝2f(x)； ④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1,1)，都有f(a)＋f(b)＝f； ⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0. 其中所有正确研究成果的序号是　________　. 解：在①中，因为f(x)＝lg，所以>0，解得函数的定义域为(－1,1)，所以①是正确的；在②中，f(x)＝lg＝－lg＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1，1)，有f＝lg＝lg＝lg，又2f(x)＝2lg＝lg，所以③是正确的；在④中，对于任意的a，b∈(－1,1)，有f(a)＋f(b)＝lg＋lg＝lg＝lg，又f＝lg＝lg，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0，即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)＝lg＝lg是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，正确研究成果的序号为①③④. 答案：①③④ 13．已知函数f(x)＝log3(t∈R)． (1)当t＝0时，解方程f(3x)f＝3； (2)若对∀a∈，函数f(x)在区间[a，a＋1]上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数t的取值范围． 解：(1)当t＝0时，f(x)＝log3＝－log3x， 所以f(3x)＝－(log33＋log3x)＝－(log3x＋1)，f＝1－log3x， 所以f(3x)f＝3可化为(log3x＋1)·(log3x－1)＝3， 即(log3x)2＝4，所以log3x＝－2或log3x＝2， 所以x＝或x＝9， 即方程f(3x)f＝3的解为x＝或x＝9. (2)因为对∀a∈，f(x)在[a，a＋1]上总有意义， 所以对∀a∈，＋t＞0在[a，a＋1]上恒成立． 令g(x)＝＋t，则g(x)min＞0， 因为a＞0，所以g(x)在[a，a＋1]上单调递减， 所以g(x)min＝g(a＋1)＝＋t. 因为∀a∈，＋t＞0恒成立， 即t＞－，所以t＞－. 因为g(x)＝＋t在[a，a＋1]上单调递减， 所以f(x)在[a，a＋1]上单调递减， 所以f(x)min＝f(a＋1)＝log3f(x)max＝f(a)＝log3， 由题意知log3－log3≥2， 即log3≥2＋log3 ＝log3， 所以＋t≥＋9t，即8t≤－， 因为－＝[(a＋1)－a]＝＋－10≥2－10＝－4，当且仅当＝，即a＝时等号成立， 所以t≤－. 综上，实数t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $