专题13 函数的零点问题及应用讲义【9大考点】-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数零点问题及应用，系统梳理零点定义、零点存在定理及推论、零点个数判断方法、已知零点个数求参数范围、二分法等核心知识点，构建从概念理解到定理应用再到实际问题解决的完整学习支架。 资料亮点在于以高频考点为导向，通过直接法、图象法等多样化例题，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观），课中助力教师高效授课，课后便于学生查漏补缺，提升解决函数零点综合问题的能力。

专题13 函数的零点问题及应用高频考点精讲 知识点1 函数的零点与方程的根 1、零点定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、注意事项： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点2 零点存在定理及其推论 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点， 即存在，使得，这个也就是方程的解。 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2、重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 3、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正且在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 知识点3 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 知识点4 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 知识点5 二分法的定义及应用 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法。 注意点： （1）二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2）函数图象在零点附近连续不断； （3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反， 比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解。 2、用二分法求函数零点 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；精确度表示当区间的长度小于时停止二分. 考点一　求函数的零点 考点二　函数零点存在定理 考点三　用二分法求方程的近似解 考点四　函数零点个数的判断 考点五　根据零点个数求参数 考点六　函数的零点所在区间求参数 考点七　比较零点的大小关系 考点八　求零点的和 考点九　函数与方程的综合问题 考点一　求函数的零点 1．（2026高一上·全国·专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)存在， (2)存在，1 (3)不存在 【详解】（1）令，解得，所以函数存在零点，且零点为. （2）令，解得，所以函数存在零点，且零点为1. （3）令，方程无实数根，所以函数不存在零点. 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）写出函数的所有零点______. 【答案】2 【分析】利用对数函数与二次函数的性质一一计算零点即可. 【详解】对于方程，可得其根为，均不满足，故舍去； 又函数单调递增，且，满足题意. 零点为2. 4．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 考点二　函数零点存在定理 5．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数函数及幂函数图象数形结合函数值得出范围. 【详解】令，， ，． ，， ∴结合图象得． ∴由图象关系可得． 6．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. 7．（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 8．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 考点三　用二分法求方程的近似解 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 10．（26-27高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】计算区间两端点处函数值，根据二分法定义判断. 【详解】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的定义判断. 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求在区间的近似零点值(精确到0.1)． 【答案】 【分析】由零点存在定理，先确定上有解，然后不断将区间平分，使其每次在两个端点处的函数值异号，且区间长度不超过为止. 【详解】由， 用计算器作出如下对应值表： 0 1 2 观察上表，可知零点在内，取区间中点，且，从而零点在内； 再取区间中点，且，从而可知零点在内． 同理取区间中点，且，从而可知零点在内． 同理取区间中点，且，从而可知零点在内． 由于，此时区间内任一值精确到后都是1.3， 故原函数在区间内的近似零点为 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求函数和的图像交点的横坐标(精确度0.1)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先在同一个坐标系中画出两个函数的图像，直观地观察图像只有一个交点，估算该交点的位置，再用二分法求相应函数零点的近似值． 【详解】在同一坐标系中作出和的大致图像，可知两函数图像只有一个交点， 令， ∵， ∴函数的零点． 取的中点，用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． 再取的中点， 用计算器算得， ∵，∴． ∵， ∴两个函数图像交点的横坐标， 所以函数和的图像交点的横坐标可取中任意值，可取． 14．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 考点四　函数零点个数的判断 15．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 16．（2026高一上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 【答案】7 【分析】画出时函数的图象，数形结合即可求出方程解的个数. 【详解】 如图，我们先绘制出时函数的图象，因为当时，， 故将时的函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩小为原来的，即可得到时函数图象， 再利用前述规则即可画出整个的函数图象（三条虚直线方程依次是，和）． 方程的解为或，由图可知的解有3个． 因为是奇函数，由对称性可知方程的解的个数与的解的个数相等，显然此方程有4个解． 综上，方程的所有实根个数为7． 17．（26-27高三上·北京·开学考试）函数的图象与直线的交点个数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】画出函数图象分析即可. 【详解】由函数，如图所示：      由图可知函数的图象与直线的交点个数的最大值为3. 18．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 19．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，令，按分段，借助函数单调性及对数函数图象特征求出零点个数. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令，，当时，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，， 函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解； 当时，对两边取对数，得，即， 而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点， 显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点， 即方程在有两解，所以函数的零点个数为3. 20．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，令，即，即. 在同一直角坐标系中作出两函数与（）的图象，如图， 由图可知两图象只有一个交点. 综上可知，函数的零点个数为. 考点五　根据零点个数求参数 21．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】先分析函数的图像，再把函数有6个零点转化为二次函数根的分布问题，最后列不等式求解即可. 【详解】函数有6个零点,即有6个解，令，原方程化简为， 草图如下 要想有6个解需满足有2个解， 且，令，是开口向上的二次函数，对称轴为， 如下图： 所以，即， 解得：，即. 22．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示，    若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 23．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数），若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过画出的图象，和二次方程有4个不相等的实根可建立关于参数满足的不等关系，从而可得参数的取值范围． 【详解】根据可得的图象如图所示， 且；要使恰好有4个不相等的实根， 则需满足； 故关于的二次方程需满足 ，可解得；故m的取值范围是 24．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出分段函数图像，换元，统计在不同取值时解的个数；原方程要有个根，等价于关于的二次方程存在两个不等实根，两根都落在区间，利用二次函数根的分布列出不等式组求解参数范围． 【详解】作出函数的大致图象， 令．当或时，方程有个根； 当或时，方程有个根； 当时，方程有个根． 原方程可化为， 要使原方程有个根，关于的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于， 令， 因为二次项系数为正，所以需满足，解得， 所以的取值范围为． 25．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先对分区间讨论去掉绝对值，得到的分段表达式并画出图像，要使原方程有6个解，必须存在两个不同的正数解，其解的个数之和为6，由图像可知只能是一个为2，另一个在内，据此建立参数关系并求范围． 【详解】由题意得函数的定义域为， 因为，所以对分四个范围进行讨论， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以函数，作出的简图： 由图象得. 因为题中原方程恰有6个不同实数解，即方程恰有6个不同实数解， 结合图象可知必有和，， 故关于的方程中，有，， 且当，时，关于的方程有4个不同实数解， 所以，，因为，所以. 26．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）函数，若存在实数满足，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，利用方程根的意义，结合对数运算及增函数性质求出范围. 【详解】作出函数的图象，如图： 由，得或或，而， 由，得或或， 令，则函数的图象与直线有4个交点， 其交点横坐标依次为，且， 由，得，解得， 而函数的图象关于直线对称，则， 于是，又函数在上单调递减， 则，所以的取值范围是. 考点六　函数的零点所在区间求参数 27．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 28．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 29．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 【答案】1 【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得函数的零点所在区间，从而得到的值. 【详解】因为函数与函数均为增函数，所以函数为增函数. 因为，，所以函数的零点所在区间为. 所以. 故答案为：. 30．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 31．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出的值. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 32．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 考点七　根据函数零点的分布求参数范围 33．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数. (1)若时，函数在区间内有且只有1个零点，求实数a的取值范围； (2)若时，关于x的方程在区间内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），由零点存在性定理得到，结合求出答案； （2）考虑和两种情况，结合根的判别式进行分类讨论，求出答案. 【详解】（1）时，开口向上，为连续函数， 且， 要想在区间内有且只有1个零点，只需， 即，解得， 综上，实数a的取值范围是； （2）当时，为一次函数，令， 解得，满足在区间内有且只有1个实数根， 当时， 当时，开口向下，为连续函数，且， 当，解得或， 当时，，令， 解得，舍去， 当时，，令， 解得，满足要求， 当，即时， 因为开口向下，为连续函数，且， 故，解得， 综上，实数a的取值范围是. 34．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，或三种情况，列不等式求的取值范围. 【详解】当时，，其图象与x轴的交点为，满足题意． 当时，分，两种情形，考虑到, 由题意得， 或，解得或． 综上可知，或或，即． 35．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 36．（25-26高一上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解. 【详解】由函数的零点分别为， 得函数，，的图象与函数的交点的横坐标就是， 如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，    由图知，，故A错误，B正确； 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得，所以，. 又，所以，所以，故C正确； 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 37．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，运用零点存在定理可判断；对于B，运用指对同构将转化为，得到，再根据函数的单调性得到，即可判断；对于C，将选项B代入，即可判断；对于D，运用零点存在定理求出的范围，再将选项C代入选项D，解出，即可判断. 【详解】对于A：易知与在上单调递减，故在上单调递减， 又因为，， 根据零点存在定理，可知零点，故A正确； 对于B：由题可知，，， ，易知与在上单调递增， 因此在上单调递增， 又因为，故，得，即，故B正确； 对于C：由B可知，，， 故，得，故C正确； 对于D：由B可知，在上单调递增， ，，由零点存在定理可知. 由C可知，则，因此， 令，解得，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 38．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】令，如图所示， A，在同一坐标系内作出函数和的大致图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，A正确； B，因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，且，， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 而，所以，B错误； C，由上知，，所以，C正确； D，由，，且， ， 令，，易知在上单调递减， ，D正确. 39．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】令，进而将问题转化为的图象与有两个交点，再作出函数，数形结合求解即可. 【详解】令，则， 因为函数恰有两个零点， 所以函数的图象与有两个交点， 由时，， 故， 故作出函数图象如图所示， 由图可知，当时，函数的图象与有两个交点， 所以的取值范围是. 故答案为： 40．（2026·云南玉溪·模拟预测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图象恰有两个交点. ①当恒成立，即时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由. 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得：若函数恰有两个零点，则的取值范围是. 考点八　比较零点的大小关系 41．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 42．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 43．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 44．（2026·河北·模拟预测）（多选）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断. 【详解】对于A，由题，， 所以即， 所以，故，故A正确； 对于B，由得， 故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点， 如图，由图象性质可知， 又由A得，故， 所以，故B错； 对于C，由上即，以及得： ，故C对； 对于D，由AB得，，， 所以，故D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由和得即，二是数形结合明确零点的取值范围为且，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断. 考点九　求零点的和 45．（2026·陕西咸阳·二模）若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 【答案】 【分析】把函数零点问题转化成方程根的问题，利用韦达定理和判别式讨论的取值范围，进而求解4个零点之和的取值范围． 【详解】函数的零点即的解，，且时， ，所以方程的解必定为整数解，， 当时，方程为，即①； 当时，方程为，即②； 要使有4个不同零点，需两个二次方程各有2个不同的正实根，且满足符号条件， 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 综上可得，当时，两个二次方程各有2个不同的正实根，且无公共根， 有4个不同的零点， 方程①的两根之和为，方程②的两根之和为， 所有零点之和为， ， ，故所有零点之和的取值范围为． 46．（24-25高三上·山东·阶段检测）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数、的性质，确定函数的对称中心，再利用此性质求得答案. 【详解】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为. 故选：A 47．（24-25高一上·全国·课后作业）已知1是函数的一个零点，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用求得，再由求得所有零点，进而求得正确答案. 【详解】由，得，则， 由 . 解得或， 所以函数的所有零点之和为2． 故选：B 48．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数的图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 49．（24-25高三上·广西·阶段检测）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得时，，且，从而可得出在区间上的图象，结合图象及函数的性质，即可求解. 【详解】当时，，当时，，则， 又是偶函数，则，所以时，， 又，所以的周期，其在区间上的图象如图所示， 不妨设与在区间上的交点分别为， 由图可知，， 则方程在上所有的实数根之和为， 故选：C. 50．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若，将问题转化为曲线与直线的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得，，，结合对勾函数的性质求范围即可． 【详解】令，则或，令，则或， 由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为． 作出的草图如下， 令，不妨设，则，，，为曲线与直线的交点横坐标， 由图知：，且， 则， 由对勾函数可知在上递减，故， 故. 故选：C 考点十　函数与方程的综合问题 51．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围. 【详解】当时，，则；当时，则，得. 因为，所以. 又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解. 如图，作出函数的图象，又，由图可得. 52．（2026高一上·全国·专题练习）若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为________. 【答案】 【分析】先由得函数的周期，再结合所给区间即一个周期上的解析式，从而可得函数在上的图象，再根据分三段讨论：①上，再分三段，及上判断与交点个数；②，判断与交点个数为；③，再分三段，及上判断与交点个数，从而可得所求函数的零点个数. 【详解】因为，所以为一个的周期函数， 又时，，区间的长度为，刚好是一个周期， 函数图象是开口向下的抛物线的一部分，顶点，两端点函数值为，通过周期平移可得函数在上的图象， 分区间讨论函数的零点： ①，在上单调递增， 在，上，与各有个交点， 在上，，而，所以与无交点. 因此，在上与共有个交点，即函数在上有个零点. 如图： ②，，解方程，即，解得（舍去）， 所以函数在上有个零点. ③，对数函数在上单调递增， 在区间上抛物线与对数函数有个交点； 在区间上抛物线与对数函数有个交点； 在区间上抛物线与对数函数有个交点； 所以，在上与共有个交点， 因此函数在上有个零点. 如图： 综上①②③，函数在区间上有个零点. 53．（2026高一上·全国·专题练习）（多选）若存在实数使得函数有四个零点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】画出函数图象，方程问题转化为函数图像交点的问题即可求解，再结合对称性及对数的运算性质依次判断求解即可. 【详解】由题意得有四个零点， 所以有四个根， 所以和函数图像有四个交点，且交点横坐标为， 因为为正数，且，所以选项A错误； 根据题意可得，， 得到，根据对称性有 所以，故选项B正确； 而，且，故选项C正确； 而， 当且仅当时成立，所以等号取不到，故选项D错误， 54．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知关于的方程有实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过换元并构造二次函数，再将原方程有实根的问题转化为与有交点问题，结合函数图象可得. 【详解】令，由指数函数性质得， 原方程变形为关于的二次方程：，即. 令，则， 所以二次函数是开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增，且. 所以函数在上的值域为，因此原方程要有实根，则， 由对数函数的性质，解得，即的取值范围是. 55．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）设，分别是与的零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先把两个函数零点转化为函数图像交点，利用指数函数与对数函数互为反函数、关于对称，得到关键关系，再将所求式子换元变成对勾函数，最后根据单调性求出取值范围． 【详解】当时，因为函数是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数． 因为是的唯一零点， 所以，即， 则是指数函数和反比例函数的唯一交点的横坐标 当时，因为是的零点， 所以，即， 设， 当时，因为函数是正实数集上的增函数， 所以是正实数集上的增函数， 即是对数函数和反比例函数唯一交点的横坐标， 显然函数与函数的图象关于直线对称，如下图所示： 显然， 由数形结合思想可知：，的中点在上， 所以，整理得， 所以，则， 设， 由对勾函数的单调性可知，该函数在时单调递减， 即， 所以的取值范围是． 56．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】本题的关键是将方程根的问题转化为复合函数的零点个数问题，利用函数图象对参数进行分类讨论求解. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 函数的零点问题及应用高频考点精讲 知识点1 函数的零点与方程的根 1、零点定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、注意事项： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点2 零点存在定理及其推论 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点， 即存在，使得，这个也就是方程的解。 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2、重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 3、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正且在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 知识点3 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 知识点4 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 知识点5 二分法的定义及应用 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法。 注意点： （1）二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2）函数图象在零点附近连续不断； （3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反， 比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解。 2、用二分法求函数零点 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；精确度表示当区间的长度小于时停止二分. 考点一　求函数的零点 考点二　函数零点存在定理 考点三　用二分法求方程的近似解 考点四　函数零点个数的判断 考点五　根据零点个数求参数 考点六　函数的零点所在区间求参数 考点七　比较零点的大小关系 考点八　求零点的和 考点九　函数与方程的综合问题 考点一　求函数的零点 1．（2026高一上·全国·专题练习）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2)； (3). 2．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）写出函数的所有零点______. 4．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点二　函数零点存在定理 5．（2026高三·全国·专题练习）若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 考点三　用二分法求方程的近似解 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（26-27高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求在区间的近似零点值(精确到0.1)． 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）借助计算器，用二分法求函数和的图像交点的横坐标(精确度0.1)． 14．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 考点四　函数零点个数的判断 15．（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．（2026高一上·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 17．（26-27高三上·北京·开学考试）函数的图象与直线的交点个数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 考点五　根据零点个数求参数 21．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 22．（26-27高一上·浙江·开学考试）已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数），若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是______． 24．（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 25．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 26．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）函数，若存在实数满足，，则的取值范围是__________． 考点六　函数的零点所在区间求参数 27．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 28．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 30．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七　根据函数零点的分布求参数范围 33．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数. (1)若时，函数在区间内有且只有1个零点，求实数a的取值范围； (2)若时，关于x的方程在区间内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围. 34．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D． 39．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是______. 40．（2026·云南玉溪·模拟预测）若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 考点八　比较零点的大小关系 41．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 42．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 44．（2026·河北·模拟预测）（多选）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 考点九　求零点的和 45．（2026·陕西咸阳·二模）若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 46．（24-25高三上·山东·阶段检测）已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·全国·课后作业）已知1是函数的一个零点，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．2 C．3 D．4 48．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________． 49．（24-25高三上·广西·阶段检测）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点十　函数与方程的综合问题 51．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（2026高一上·全国·专题练习）若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为________. 53．（2026高一上·全国·专题练习）（多选）若存在实数使得函数有四个零点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 54．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知关于的方程有实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）设，分别是与的零点，则的取值范围是______． 56．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $