3.2 探索三角形相似的条件-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步练习2探索三角形相似的条 第1课时 利用两角判定三角形相似 知识点①相似三角形的概念 6.（9分)如图，在Rt△ABC 1.(3分)如图，若△ABC∽△DEF,∠A=70°， ⊥AB于点D,M在边AC上，BM与CD交于点 ∠C=64°，则∠E的度数为( E,作MN⊥BM交AB于点N。 A.70° B.649 C.36° D.46 (1)求证：∠BCD=∠A; (2)求证：△AMW∽△CBE。 第1题图 第2题图 2.(3分)如图，已知△ABC中，D为边AC上一 点，P为边AB上一点，AB=12,AC=8,AD=6, △APD∽△ABC,则AP的长度为 7.(9分)如图：在矩形ABCD中，AB=6m,BC= 知识点②两角分别相等的两个三角形相似 8m,动点P以2m/s的速度从A点出发，沿 3.(3分)如图，AD与BC相交于点O,要使 AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度 章 △AOB与△DOC相似，可添加的一个条件 从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点 是() 移动的时间为t秒(0<t<5)。 A.∠A=∠D (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与 B.∠A=∠B △ABC相似？ C.∠C=∠D (2)在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与 D.∠AOB=∠DOC △CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的 4.(3分)在△ABC中，∠A=54°，∠B=78°；在 值；若不能，请说明理由。 △A'B'C'中，∠C'=48°，∠B'=78°，那么 △ABC与△A'B'C' (选填“相似”或 “不相似”)。 易错点对应角不确定导致相似的不唯一 5.（3分)如图，在△ABC中，ABB =8cm,BC=16cm,点P从AP 开始沿AB边向点B以2cm/ s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点 C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、 B同时出发，经过ts时△PBQ与△ABC相似， 那么t的值为( 4 A.2 B.或2 5 c 5 D.4或2 28 15分钟同步练习，精炼高效抓考点BS九年级数学上册 第2课时利用两边及夹角判定三角形相似 知识点)两边成比例且夹角相等的两个三角形 4.（3分)如图，在正三角形ABC 相似 AC,AB上，且4D1 AC3,AE=BE,则有( 1.(3分)如图，能使△ABC∽△AED成立的条件 A.△AED∽△BED 是() B.△AED∽△CBD A.∠A=∠A B.∠ADE=∠AED C.AC_AB C.△AED∽△ABD D. BC AD “ADAE ED AC D.△BAD∽△BCD 5.（3分)如图，△ACD的三个顶点均在1×4的 1.5/1.5 D 30 网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格 点三角形与△ACD相似（不全等），则这个格 第1题图 第2题图 点三角形可以是 (写出一个即可)。 2.（3分)下列与图中的三角形相似的是( H G 第三章 A.2 人75°2 6.(9分)如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB= 4,点E是边BC的中点，连接DE,AE,BD。 2 30 D.2/40 (1)求DE的长； 2 (2)点F为边CD上的一点，连接AF交DE于 点G,连接EF,AF⊥EF。求证：△AGE 3.（9分)如图，已知点D,E分别在△ABC的边 ∽△DGF。 AC,AB上，AE=2,AD=3,AC=4,AB=6。求 证：△ADE∽△ABC。 15分钟同步练习，精炼高效抓考点BS九年级数学上册 29 第3课时利用三边判定三角形相似 知识点)三边成比例的两个三角形相似 6.(9分)如图，已知0为△ABC 1.(3分)已知△ABC的三边长分别为6,7.5,9， 分别是OA,OB,OC的中点。求证：△DEF △DEF的一边长为4cm,当△DEF的另两边 ∽△ABCO 长是下列哪一组时，这两个三角形相 似() A.2,3 B.4,5 C.5,6 D.6,7 2.(3分)如图，△ABC顶点均在正方形网格格点 上，下列阴影部分的三角形与△ABC相似的 是( B 7.（10分)如图1，在△ABC和△A'B'C'中，D,D 分是超4g上的-点招招 第三章 1 2 3 相 军炮 第2题图 第3题图 图1 3.(3分)在如图所示的象棋盘（各个小正方形 AD-A'D①AD-AB②[ ③ AB A'B' ADAB △ADCA'D'C' ④ 的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，要 使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三 ⑤I 角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成 △ABC∽A'B'C 的三角形相似，则“马”应落在( ) 图2 A.①处B.②处C.③处 D.④处 BC AC 4(3分)如图，若AD)AE则△BAC一 (1)当CD=AC。AB C'D'A'CA'B' 时，求证△ABC∽ △A'B'C'。证明途径可用框图2表示，请填写 △DAE。括号里应填入 其中的空格。 2)当分份BC时，判新△ac与 △A'B'C是否相似，并说明理由。 第4题图 第5题图 5.(3分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1,△ABC的顶点都在格点上，点P1、P2、P3、 P4、P,、A、C是△ABC边上的7个格点，请在这 7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶 点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意 的三角形共有 个。 30 15分钟同步练习，精炼高效抓考点BS九年级数学上册 第4课时 黄金分割 知识点①黄金分割的定义 6.(3分)如图，在四边形 1.(3分)如图，若点D是线段AB的黄金分割点 ∠CBA=90°，E为边AB的黄金分割点(AE> (AD>BD),AB=2,则AD的长是() BE),AD=AE,BC=BE。AC,DE将四边形分为 A D B 四个部分，它们的面积分别用S1,S2,S3,S4表 A.1 B.5-1 示，则下列判断正确的是( A.S1=4S2 D C.3-√/5 D.5-1 2 B.S4=3S2 2.(3分)如果线段AB上的点C满足AC2=BC× C.S=S3 AB,那么点C叫做线段AB的黄金分割点，此 D.S3=S4 州治尚经头 7.(10分)如图1，点C将线段AB分成两部分， 如果4CBC ABAC,那么称点C为线段AB的黄金分 知识点②黄金分割的应用 割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时， 3.（3分)校园里一片小小的树叶也蕴含 由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地 第 着“黄金分割”。如图，如果将AB看 给出“黄金分割线”的定义：直线1将一个面积 章 作一条线段，P为AB的黄金分割点 B 为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别 (AP>PB),AB=10cm,那么AP的长度 为() S1 S2 为S1、S2,如果 S S' 那么称直线1为该图形 A.(5-1)cm B.(2W5-2)cm 的黄金分割线。 c.(55-5)cm D.(10W5-10)cm (1)如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC, 4.(3分)生活中到处可见黄金分割的美，如图， ∠C的平分线交AB于点D,请问点D是否是 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全 AB边上的黄金分割点，并证明你的结论： 身b的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美 (2)若△ABC在(1)的条件下，如图3，请问直 感，若图中a是1.2米，则b大约是( 线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你 A.1.84米 B.1.94米 的结论。 C.2.04米 D.2.14米 A CB BO C 图1 图2 图3 第4题图 第5题图 5.(3分)摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构 图法，其原理是：如图，在正方形ABCD的边 BC上取中点0O,以O为圆心，线段OD为半径 作圆弧，与边BC的延长线交于点E,这样就 把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF,若AB =4,则BE= 15分钟同步练习，精炼高效抓考点BS九年级数学上册 31(2)【解析1：矩形MGH∽矩形ABCD,N-阳， AB BC BC MH MH AB-NMRC=240cm,4B=120cm,MM2,由图可得，Mh =120-2a,WM=240-56.120-2 4… 240-5b 2,解得a=5 b49 第2课时比例的等比性质 1.B2.D 39 【解析小 432设=2 x y z 4=3=2=(k≠0)，则x= 4k,y=3k,z=2k,. ,2x-y+2z2×4k-3h+2×2k9 x 4k 4 4.12 5解：(1)：a=&=e a+cte 6=a=于=2，且6+d4f0,6+d42: (2)由a=ce 6=a=f=2得a=2b,c=2d,e=2f,b-5d+6f=3, a-5c+6e=2b-10d+12f=2(b-5d+6f)=2x3=6。 6.解：①当a+b+c≠0时，： 20-2b-2e 2a+2b+2c bte ate atbhbtctatetatb k心2gtkk三1：②当a+bc=0时，则a+6=-c。 -20-2c-2。综上所述，k值为1或-2。 a+b -c 7.A 3 8.解：（设a三6=6=t(t≠0），a=3t,6=4t,c=6t,代入 3c得2a+b6t+45 3c18t=9 （2)由题意知，a+b+c=91,则3t+4t+6t=91,解得t=7,∴a=21, b=28,c=42。 9.解：设-牛=+y=k(k≠0)，则yt:=x,+x=y,x+y=他， (x+y)+(x+z)+(y+z)=k(x+y+z),∴.2x+2y+2z=k(x+y+z)。. k=2,yta=2x,ztx=2y,xty=2 x+y+z 3o 高效同步练习2探索三角形相似的条件 第1课时利用两角判定三角形相似 1.D2.93.A4.相似 5.B【解析】由题意，得AP=2tcm,BQ=4tcm,:AB=8cm,BC= 16cm,∴.BP=(8-2t)cm。(1)当∠BPQ=∠C,.·∠B=∠B,∴. △0a△Mc院器若-专期将： 5(2)当 BP BQ ∠BPQ=∠A,∠B=LB,△PBQ△ABC,ABBC, 名解得1=2，除上所运的值为子表2。故选 6.证明：(1).∠ACB=90°，.∠BCD+∠ACD=90°，.CD⊥AB, .∠A+∠ACD=90°，∴.∠BCD=LA; (2).·∠ACB=90°，∴.∠BMC+∠CBE=90°，MN⊥BM,. ∠AMN+∠BMC=90°，.∠CBE=∠AMN,又由(1)可知：∠BCD =∠A,.'.△AMN∽△CBE。 7.解：(1)在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC=√6+82=10(m), ∠PCQ=∠ACB,当∠POC=LB时，△CQP∽△CBM,则P AC g即90日 108,解得=40. 13;当∠PQC=LBAC时，△CQ 的810解得=25 4c4B,则Cr=g,即10-2t 6为40 25 39 或7 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似： (2)四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等。理由如下：作 PH⊥BC于H,则∠PHC=∠ABC,.·∠PCH=∠ACB,∴.△CPH ∽△CAB,∴. uc 6 1O-,..PH=(—)cm,当四 边形ABQP与△CPQ的面积相等时，S△Bc-S△cPw=S△cPo,即 Se=28ac. 2·t.30-6i1 =2×6×8,整理得2-5t+20 =0,此时方程无实数解，.四边形ABQP与△CPQ的面积不能 相等。 同步练习，精炼高效抓考 第2课时利用两边及夹角判定三角形相似 1.C2.C AE 1 AD 3.证明：AB=2,AD=3,AC=4,AB=6,·AC2=AB,又✉ ∠DAE=∠BAC,.△ADE∽△ABC。 4.B5.△ECA(答案不唯一) 6.(1)解：四边形ABCD是菱形，.CB=CD,:∠C=60°， △CDB是等边三角形，.DB=DC=BC=AB=4,,BE=EC,∴. DE LBC,..DE=DC2-CE2=42-22=23 (2)证明：四边形ABCD是菱形，∴.ADBC,·DE⊥BC,AF⊥ EF,∴.∠DEC=90°，∠AFE=90°，∴.∠ADG=∠DEC=∠GFE= 90°，又：LAGD=LEGF,△AGDn△EGF,EGFG,六DG AG DG AG FC,∠AGE=LDGF,△AGE△DGF. E 第3课时利用三边判定三角形相似 1.C2.A3.B4.DE 5.6 【方法指导】在网络中利用三边长判定两个三角形是否相似的 步骤：“一排二算三 判” 一排：将三角形的三边长按长短顺序 排列；二算：分别计算它们对应边（长边对长边，短边对短边）的 比值；三判：根据比值是否相等来判断两个三角形是否相似。 6.证明：D,E,F分别是0A,0B,0C的中点，DE= 2 AB,EF= BC,DF= 1 2AC,即E=EFDF1 7.(1)CD=AC AD AB BC AC2.△DEF△ABC. CD'A'C'A'D' ∠A=∠A' (2)解：△ABC与△A'B'C相似，理由如下：D-4D AB AB, AB-AD A'B'-A'D'BD B'D'BD AB CD AB -,即 AB A'B' BA'B心B'DAB。又 C'D'A'B BC CD BD BC BrC心CD BD-B'C△BDC△B'DC,LDBC= ∠D'B'C, B'CA'B△MBC∽△A'B'C。 BC AB 第4课时黄金分割 1.B2.5-13.C4B 5.25+2【解析】小四边形ABCD是正方形，.BC=CD=AB=4, 0是BC的中点，.OB=OC= 2BC=2,0D=√0C+CD =√22+42=2W5,.0E=0D=2√5，.BE=0B+0E=2+25。 6.C 7.解：(1)点D是AB边上的黄金分割点。理由如下：，·AB=AC, ∠A=36°，.∠B=∠ACB=72°。CD平分∠ACB,.∠ACD= ∠BCD=36°，∴.∠A=∠ACD,∴.AD=CD。.:∠CDB=180°-∠B -∠BCD=72°，.∠CDB=∠B,∴.BC=CD。∴.BC=AD。在 △BCD与△BCA中，LB=∠B,LBCD=∠A=36°，.△BCDM BC BD AD BD △BAC,BA-BCAB-AD点D是MB边上的黄金分 割点。 (2)直线CD是△ABC的黄金分割线。理由如下：设△ABC中， MB边上的高为h,则Saac=2AB·h,Sa4cw-2AD·h,Sancn =2BD·h。六C=AD:AB,SAcn:SAan=BD:AD.由 ),S△AcD= （1)知，点D是AB边上的黄金分割点，=ADS SACD是△ABC的黄金分剂线。 S AACD 高效同步练习3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 1.D2.63. AD AE .10【解析DE/BC,AD=2,AB=5,AE=4,·ABAG,即5 AC,解得：4C=10。 4 CE 1 AE 2 CE 1 5.解：AB=2CE,AE2心AC3,AC3·EF/AB,BC= BS九年级数学上册 73