1.3 勾股定理的应用 课后作业2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以勾股定理应用为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的进阶，培养几何直观、推理能力和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|网格问题、梯子问题、逆定理应用|直接应用勾股定理，如梯子顶端距离计算（题2）| |能力提升|折叠问题、圆柱最短路径、航海问题|需空间转化，如圆柱表面蚂蚁路径（题8）| |综合应用|台风影响、云梯救援、选址问题|结合方程与实际情境，如服务站选址（题10）|

1.3 勾股定理的应用 课后作业2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 2．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 3．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 4．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 5．如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，一枝长的花插在圆柱形花瓶中（壁厚不计），花瓶底面直径为，高为，则这枝花露在花瓶外面部分的长度最短为（   ） A． B． C． D． 7．一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 8．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 9．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 10．如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 二、填空题 11．如图，在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，则______． 12．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 13．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒． 14．如图所示，长方形地面上有一块地毯(阴影部分)，地毯因使用时间过长而变形，成为了一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径，且点、均在边上，点、均在边上，已知，，，，若一只蚂蚁要从点爬到点且必须翻过半圆柱凸起，则它爬行的最短路径长为_______． 15．按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则______． 三、解答题 16．如图，在中，，，，沿折叠，使点C落在边上的点E处．    (1)_____ (2)求线段的长． 17．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 18．小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 19．如图，小明在甲岛上的一个观测站处观测，发现在甲岛的正西方海里处点有一艘船向正北方驶去(即海里)，小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛处观测站海里的处（即海里），求该船的行驶速度． 20．综合与实践：【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，．    (1)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． (2)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D B C C A D C 1．【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】解：A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为米， 故选：A． 3．【答案】A 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．【答案】D 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 6．【答案】C 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据花瓶内这枝花的长度取值范围得出花瓶外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一枝长的花插在底面直径为，高为的圆柱形花瓶中， ∴在花瓶中花最短是等于花瓶的高，最长是等于花瓶斜边长度， ∴当花瓶中花最短是等于花瓶的高时，， 最长时等于花瓶斜边长度是， 此时， ∴h的取值范围是， 即h的最小值是． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设两个小时后两船的位置分别为、，由方向角得出；再由时间与速度之间的关系得出，然后运用勾股定理求的长，即可完成解答． 【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长， 由图可知：，， 为最短路径为：， 则蚂蚁爬的最短路线长为13， 故选：A． 9．【答案】D 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 10．【答案】C 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C、D两村庄到E站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 11．【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，分别求出，，和，根据，再由正方形，的面积相等，得出． 【详解】解：设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b， 则，，，， ∴，S正方形EFGH＝， ∵正方形，的面积相等， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题关键在于设出甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b． 12．【答案】/8米 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 13．【答案】32 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：如图，过点作， 米， 米米， 在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响， 米， 由勾股定理得米，米， 即米， 36千米/时10米/秒， 处受噪音影响的时间为：秒， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 14．【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理，最短路径的计算，理解最短路径，正确运用勾股定理是做题的关键．根据题意得到半圆的周长为，得到展开后图形的长，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，连接， 根据题意得到半圆的周长为：， ． 在长方形中，，，， 在中， 由勾股定理得，， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 16．【答案】(1)16 (2)． 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理． （1）直接利用勾股定理即可求解； （2）由折叠的性质可得，利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，∴， 故答案为：16； （2）解：∵将沿折叠， ∴， 设， 则， 即， 解得，即． 17．【答案】(1) 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； (2)持续小时 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当，时，正好影响港口，利用勾股定理得出，，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，假设当，时，正好影响港口， ∴，， ∴， ∵台风的速度为千米/小时， ∴（小时）， 答：海港受台风影响的时间会持续小时． 18．【答案】公里． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】先利用勾股定理求出的长，设公里，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：由题意得：公里，公里，，， （公里）， 设公里，则公里， 在中，，即， 解得（公里）， 答：小渝家到见面地点的距离为公里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 19．【答案】海里/小时 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解；先根据勾股定理求出的长度，再根据路程时间关系求出速度即可． 【详解】解：在，，，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得， （海里/小时） 答：该船的行驶速度为海里/小时． 20．【答案】(1)不是， (2)能 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用； （1）将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为，所以梯子顶端到地为米，根据勾股定理求出，再与作差，求出的长度； （2）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与比较，即可求得． 【详解】（1）解：云梯的底部在水平方向滑动到的距离不是．理由如下： 在中，． ∴． 在中，， ∴； （2）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为． ∵， ∴， 因此，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $