1.3 勾股定理的应用（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本同步练习以勾股定理应用为核心，通过A/B/C组三级分层设计，实现从基础巩固到思维创新的递进，适配新授课分层教学需求，强化数学建模与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|13类基础应用（如筷子问题、梯子滑落等）|单选/填空/解答题结合，聚焦单一知识点直接应用| |B组|综合情境问题（如折叠与勾股综合）|多步骤推理题，强化知识迁移能力| |C组|复杂创新题（如立体最短路径）|跨情境建模题，发展空间观念与创新意识| |拓展|中考真题|对接中考题型，提升应试能力|

分层作业 目 录 A组 巩固过关 题型01 水杯中的筷子问题 题型02 求长方体中的最大长度问题 题型03 梯子的滑落问题 题型04 折叠问题与勾股定理 题型05 航海问题与勾股定理 题型06 利用勾股定理求河的宽度 题型07 求台阶上的地毯长度 题型08 求汽车超速问题 题型09 求受台风影响问题 题型10 构造双勾股解直角三角形 题型11 求立体图形的最短路径问题 题型12利用勾股定理求芦苇高度问题 题型13汽车通过隧道问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 1.3 勾股定理的应用 水杯中的筷子问题题型01 一、单选题 1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，铅笔的长度是，笔筒的内部底面直径是，内壁高，这只铅笔露在笔筒外部的长度为，则h的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20的直吸管露在罐外部分的长度的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则h的取值范围是_______． 5．一个圆柱形饮料罐，底面半径为3，高为4，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度范围是___________． 6．如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为_____． 求长方体中的最大长度问题题型02 一、填空题 1．有一根长的木棒，___________（填“能”或“不能”）放进长、宽、高分别为、、的空木箱中． 2．如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料管的最大长度是________．（忽略塑料管粗细） 二、解答题 3．如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ 梯子的滑落问题题型03 一、单选题 1．一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 3．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________． 三、解答题 4．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 5．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 6．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 7．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 折叠问题与勾股定理题型04 一、单选题 1．如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 4．如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 二、填空题 5．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 6．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 三、解答题 7．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 8．已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 航海问题与勾股定理题型05 一、单选题 1．如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 2．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 二、填空题 3．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 三、解答题 4．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． (1)求的长： (2)求船向岸边移动了多少米？ 利用勾股定理求河的宽度题型06 一、单选题 1．如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（    ） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 2．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 3．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 5．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进______米． 三、解答题 6．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 7．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 8．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 9．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 求台阶上的地毯长度题型07 一、单选题 1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 三、解答题 3．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 求汽车超速问题题型08 一、填空题 1．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 二、解答题 2．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 求受台风影响问题题型09 一、填空题 1．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 二、解答题 2．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 3．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 4．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 构造双勾股解直角三角形题型10 一、解答题 1．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 2．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为，到公交站（点）的距离为，现在公路边上建一个商店（点），使商店到学校及公交站的距离相等，求商店与公交站之间的距离． 3．如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 4．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 5．如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 求立体图形的最短路径问题题型11 一、单选题 1．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 2．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（  ）． A．12 B．13 C． D． 3．如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 5．如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 6．如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 7．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（）． A． B． C． D． 8．如图，圆柱形水桶的桶高为，底面周长为，在桶内壁离桶底的点A处有一滴污渍，此时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿，且与污渍A在同一轴截面相对的点B处，则小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（    ） A． B． C． D． 9．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（   ） A． B．10 C． D． 10．如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是________． 12．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 13．2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 14．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 15．如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 16．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点正对面的容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______． 三、解答题 17．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 18．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 19．如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 20．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 利用勾股定理求芦苇高度问题题型12 一、单选题 1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 二、解答题 4．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 汽车通过隧道问题题型13 一、解答题 1．某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 2．有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 一、单选题 1．如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 2．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 3．如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 4．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 5．如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 6．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 7．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（    ） A． B．5 C．4 D． 8．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 9．如图，东西方向上有，两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（    ） A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 10．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 11．已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 12．如图，每一个小正方形的边长为， (1)画出格点关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)直接写出的最大值为 ． 13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 14．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 15．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 16．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 17．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 18．综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 (1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ (2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 19．图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是；另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得到． ①的长为_______． ②请利用“双求法”，求边上的高． (2)如图3，在中，，，，求边上的高． 20．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 21．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 一、单选题 1．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______． 4．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上．若，点到的距离为6m，现要从点处靠墙和地面铺设管道至点处，则管道的长度最短为____________m． 5．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为_____米．       三、解答题 6．如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． (1)求证：． (2)若，，则的面积为__________． 7．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 8．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 9．课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（2020·广西·中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（  ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 二、填空题 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则________． 4．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为___________km． 5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.3勾股定理的应用 ● A组 巩固过关 颗型01 水杯中的筷子问题 一、单选题 1.C2.B3.C 二、填空题 4.4≤h≤5 5.4≤a≤56.16 题型02 求长方体中的最大长度问题 一、填空题 1.能2.17 二、解答题 3.(1)解：，AB=4cm、BC=3cm,∠ABC-90°， 对角线的长=V4+32=5 cm: (2)解：如图所示： F== B D 连接BD、ED, 在Rt△BCD中， :AB=4cm、BC=3cm,∠ABC-90°， 试卷第1页，共3页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD-军+3=5m, 在RINEBD中，BD=V12+5=I3cm 故这个盒子最长能放13cm的棍子. 题型03 梯子的滑落问题 一、单选题 1.D 二、填空题 2.2.4 3.2 三、解答题 4.（1)解：在RABE中，AE=VAB-BE=V25-07=24（米)； (2)解：CE=AE-AC=2(米)， ,滑动不会改变梯子的长度， .CD=AB=2.5米， 在RtCDE中，DE=VCD'-CE=V2S-2=l.5(米)， .BD=DE-BE=0.8(米). 答：梯子底端将向左滑动的距离BD是0.8米 5.解：由题意得AD=AC,∠AEB=∠ABC=90°， AE=0.7m,DE=2.4m .AC=AD=VAE2+DE2=V0.72+2.42=2.5m BC=1.5m, AB=√AC2-BC2=V2.52-1.52=2m ∴.BE=AE+AB=0.7+2=2.7m. 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE=2.7m」 6.(1)解：由题意可得，0E=4米，AB=25米，OA=15米， 由勾股定理可得， 0B=VAB2-0F=20(米)， BE=0B+OE=20+4=24(米)， 试卷第2页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则点B处与地面的距离为24米： (2)解：由题意可得，OD=OB+BD=20+4=24(米)，CD=25米， 根据勾股定理可得， 0C=CD2-0D=7(米)， .AC=OA-OC=15-7=8(米)， 则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米. 7.(l)解：由题意，得BC=6dm,AB+AC=18dm 设B=dnm,则1C=(8-x)dm 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2+AC2=AB2, 即6+18-x}= 解得x=10 答：AB的长为l0dm. (2)如图. D 由题意，得BE=9dm, BD=BE+ED=9+6=15(dm) 所以 在RtABD中，由勾股定理，得4B=VBD2+AD=ViS2+8=17(dm)】 17-10=7(dm) 答：物体C上升的高度为7dm. 题型04 折叠问题与勾股定理 一、单选题 1.C2.D3.B4.B 试卷第3页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.16.6 三、解答题 7.解：，四边形ABCD是长方形，将边AD沿直线AE折叠， AF=AD=BC=5,DE=EF,AB=CD=4,∠B=∠C=90°， 设EC=x,则DE=4-x. ∴EF=4-x, 在Rt△ABF中，BF=VAF2-AB=V52-4=3 .FC=BC-BF=2」 在RtCEF CE2+FC2=EF2 中，由勾股定理得： 即：+2=4- 解得x=1.5. .EC的长为l.5cm 8.解：由折叠知，BC=BE=I0,EF=CF, ~四边形ABCD为长方形， .AD=BC=10,∠A=∠D=∠C=90° 在Rt△1BE中，由勾股定理得：AE=√BE-AB=V10P-8=6 ∴.ED=AD-AE=10-6=4. 设CF=x,则EF=x, :.DF=DC-CF=8-x, 在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE2+DF2=EF2, :4+(8-=,解得x=5, ∴.CF=5, 在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=VBC+CF=Vi0+了=55 颗型05 航海问题与勾股定理 一、单选题 1.B2.C 试卷第4页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 3.15 三、解答题 4.(1)解：此人以0.5米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置， :.CD=13-0.5×6=10(米)， (2)解：·在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，由勾股定理得， 六AB=3-子=12（米）， ∴在Rt△ACD中，AC=5米，CD=10米，由勾股定理得， AD=VCD2-AC=0-5=55(米)， :BD=AB-AD=(2-55)米 答：船向岸边移动了2-5米」 题型06 利用勾股定理求河的宽度 一、单选题 1.C2.D3.C 二、填空题 4.125.1.2 三、解答题 6.解：，BD=12米，CD=16米，CB=20米， .BD2+CD2=122+162=144+256=400,CB2=202=400, .BD2+CD2=CB2, ∴△BCD是直角三角形，且∠D=90°， 又.AC=34米， :4D=V4C2-CD=34-16=30米， .AB=AD-BD=18米， 答：点A、B之间的距离为18米. 7.(1)解：BC=6米，BD=8米，CD=10米， 试卷第5页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BC2+BD2=100=CD2 ‘aBCD是直角三角形，且∠DBC=90°， .∠ABD=180°-∠DBC=90° (2)解：.AD=17米，∠ABD=90° 在RtAABD中，由勾股定理得， AB=√AD2-BD=172-8=15（米)， ∴A,B两点间的距离为15米. 8.解：根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m,AC=1.5m,AB=B, 0.5m A 1.5m 岸 所以BC即为河水深度，AB=BC+0.5m, :AC⊥AB ∴△ACB是直角三角形， .A'C2+BC2=A'B2 1.5+BC2=(BC+0.5)} BC=2(m) 解得： 答：河水的深度为2米. 9.(1)解：：AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，(BC+CE)的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保 持不变， .AC=BC+CE, (2)解：连接AB,则点A、B、F三点共线， 试卷第6页，共3页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B 在R△CAF中，AC=VAF+CF=i2+=IB(米)， :BF=AF-AB=12-4=8(米)， 在R△CBF中，BC=Gr+F=S+=v丽c米， .AC=BC+CE :CE=AC-BC=(13-V89) ∴男孩需向右移动的距窝为3-V89)米 题型07 求台阶上的地毯长度 一、单选题 1.C 二、填空题 2.5 三、解答题 3.(1)解：依题意图中直角三角形一直角边为5m,斜边为13m, 根据勾股定理一直角边长，即台阶的水平宽为： V132-52=12m 则需购买地毯的长为l2+5=17m, 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：17×4=68m2. 故共需购买68m的地毯. (2)解：由地毯的价格为120元/m2, 则购买地毯的费用为：120×68=8160元， 故购买地毯需花费8160元. 试卷第7页，共3页 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型08 求汽车超速问题 一、填空题 1.是 二、解答题 2.(1)解：依题意可得，AN⊥MN, ·∠ANM=90°，△AMN为直角三角形 AM=150米，AW=90米， MN=VaAM2-AW2=Vi50-90=120米， 108km/h=30m/s, .t=120÷30=4s 答共用时4秒： (2)解：超速，理由如下： 120:3=40m/s=144km/h. 144km/h>120km/h, 该车超速. 题型09 求受台风影响问题 一、填空题 1.24 二、解答题 2.(1)解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下： .600米<1000米， 报亭的人能听到广播宣传 P P (2)解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时， AP,AP 报亭的人开始听不到广播宣传，连接 由题意得， =B=100米，4B=600米，4BLMW 试卷第8页，共3页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P B PN 由勾股定理得B=R-AB=800米，BB=BA-4B=800米， PB=1600 米 .1600÷200=8(分)， 报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传. 3.(1)解：AC⊥BC, .∠ACB=90°， .AB=1000km,AC=600km. :BC=√AB2-AC2=V10002-6002=800(km)； (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作CD⊥AB, :ACx BC=CDX AB, 2 x600x800=1x1000xCD 1 ∴.CD=480(km） ~以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域，480<520， ∴·海港C受台风影响： (3)解：如图，当EC=520km,FC=520km时，正好影响C港口， .ED=EC2-CD2=200(km)FD=FC2-CD2 =200(km) .EF ED+FD=400(km) 台风的速度为100km/h, ∴.400÷100=4(h) 试卷第9页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 答：海港C受台风影响的时间会持续4h 4.(1)解：由题意可得AD⊥BC,AB=340km, 在直角△ABD中，BD=VAB2-AD2=V3402-1602=300km 答：BD的长为300k (2)解：如图，以点A为圆心，200km为半径作圆，交BC于点E、F, B 由题意可知，台风在EF段时，对A市有影响， 在直角△ADE中，DE=VAE2-AD=V2002-160=120km 同理，DF=120km. ∴.EF=DE+DF=240km, ∴.影响持续的时间为240÷20=12h 答：A市受到台风影响的时间持续12小时. 颗型10 构造双勾股解直角三角形 一、解答题 1.解：，C,D两村到E站的距离相等， ∴.DE=CE ,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B, ∴.∠A=∠B=90°， AE+AD=DE,BE2+BC=EC 试卷第10页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE2+AD2=BE2+BC2, 设E=x,则 E=AB-AE=(27-x) .DA=24km,CB =15km, +24=(27-x+15 解得：x=7, .AE =7km, 答：E站应建在离A站7km处. 2.解：如图，作AB⊥I于点B, BC D1 则AB=30m,AD=50m, .BD=√AD2-AB2=40(m) 设CD=x,则AC=x,CB=40-x, 在Rt△ACB中，AC2=BC2+AB2, x2=(40-x)2+302 ,即=1600+r2-80x+900 解得1空， 125 答：商店c与公交站D之间的距离为4米. 3.解：如图，连接AG,BG, 试卷第11页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设CG=m,则 G=(80-x)m 根据勾股定理可得AG2=AC2+CG=702+x2, BG2=DG+BD2=(80-x)2+102 AG=BG. .702+x2=(80-x)2+102 解得x=10」 答：该自动售货点G应该修建在离点C10m处. 4.解：设AE=km,则 BE=(100-x)km 根据题意，得CE=DE 202+x2=(100-x)2+602 解得x=66 .100-x=34 .AE =66km,BE=34km 5.如图，设CE=千米，则BE=(8-干米， 在Rt△ABE中，根据勾股定理，AB2+BE2=AE2, 在Rt△CDE中，根据勾股定理，CE2+DC2=DE2, AE =DE, ·4B+BE=CE2+D,即4+8-x=+6 解得：x=2.75, 即E到C的距离为2.75千米. D 试卷第12页，共3页 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 颗型11 求立体图形的最短路径问题 一、单选题 1.B2.B 3.A4.C5.A6.D7.B8.D9.B10.A 二、填空题 11.1312.V34 13.2014.6N4icm15.100cm,10 厘米 16.17 三、解答题 17.解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线 的和， D E ,底面周长约为6米，柱身高约16米， 六B=6,4征=方4n16=8, 1 在RtABAE中 .BE=VAB2+AE2=V62+82=10 ∴.雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2=20米. 18.解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， .长为7+2×1=9米；宽为4米 V92+42=V97 ∴最短路径为： (米)· M F N E B 19.解：将半圆面展开，如图所示， 试卷第13页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 12m C5m D .BC=12m,CD=5m.,∠BCD=90°」 ∴在RtBCD中，由勾股定理得BD=VBC2+CD=V22+5=13(m）) 答：他滑行的最短距离为13m. 20.解：(1)台阶平面展开图为长方形，长(3+2)x4=20dm, 宽15dm 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长. 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm, x2=152+[(2+3)×4=252 由勾股定理得： 解得：x=25 故答案为：25： (2)将圆柱体侧面展开，如图： B A 由题意得： 4Cx1(cm),BC=15cm, AB=V52+152=5W10(cm) “该蚂蚁爬行的最短路程50 厘米； (3)如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C, 连接AC,AC即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， 试卷第14页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B EF=AG=3cm CF=FB=(15-6)cm=9cm AE=x10cm=5cm CE EF+CF =12cm, 根据勾股定理有： AC=√AE2+CE2=V52+12=13(cm) ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为l3Cm, 颗型12 利用勾股定理求芦苇高度问题 一、单选题 1.D2.A 3.C 二、解答题 4.解：设水深为x尺，由题意可得， x2+52=(x+1 解得x=12 x+1=13 答：水深为12尺，芦苇的长是13尺. 颗型13 汽车通过隧道问题 一、解答题 1.解：这辆货车可以通过该隧道.理由如下： ,正中间有0.6m宽的双黄线， ∴点0到右边黄线的距离为0.3m ,现有一辆货运卡车高4m,宽2m, ∴.如图，在AD上取G,使OG=2.3m 过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆于点E,则GF=AB=lm. 试卷第15页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D R 圆的半径0E=)AD=)x8=4m 2 在R0BG中，由勾股定理得：EG=VOE-0G=军-232=V10.71>3. ·点E到BC的距离 EF=V10.71+1>3+1=4 ∴货车可以通过该隧道. 2.能通过. 如图中的长方形ABCD是卡车横截面的示意图： 00.8E 2.3米 2米 A 当桥洞中心线两边各为0.8米时，设EC=x米，在Rt△OEC中，由勾股定理得 0.82+x2=12 解得x=0.6, 2.5<2.3+0.6, .卡车能通过 B组 能力进阶 一、单选题 1B2.A3.B4.A5.D 6.D7.A 8.B9.A10.C 二、解答题 试卷第16页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.55 解：由折叠知，BC=BE=10,EF=CF, :四边形ABCD为长方形， AD=BC=10,∠A=∠D=∠C=90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=VBE-AB=V102-8=6 ∴.ED=AD-AE=10-6=4, 设CF=x,则EF=x, :.DF=DC-CF=8-x, 在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE2+DF2=EF2, :4+8-x=,解得x=5, .CF=5, 在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=VBC+CF=Vi0+S=5V5 12. 【答案】 D A (1) B E (2)解：作出点A的对应点A,连接CA',交DE于点P,点P即为所求， 此时PA+PC的值最小，即为CA'的值，图形略； (3)解：延长AB交DE于点Q,点Q即为所求， 此时D1-O8最大，即为4B的长，图形略， (4)解：由图可得，AB=V(2a}+a2=5a 试卷第17页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21-0的最大值为5a 13.(1)解：过点C作CD⊥AB于点D,如图. D B 由题意，得4C=80m,BC=60m,AB=100m, 802+602=1002, .AC2+BC2=AB2 aABC是直角三角形，∠ACB=90°， .CCCDB :CD=AC·BC_80x60 =48(m) AB 100 答：点C到铁路AB的距离为48m, (2)解：52>48」 ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染 如图，以点C为圆心，以52m为半径画圆弧，分别交AB于点E、F,连接CE、CF,则CE=CF=52m, 北 E D FB ,CD⊥AB DE=DF 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE=VCE-CD=V52-48=20(m) .EF=2DE=2×20=40(m). 260+40=10(S) ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为30 试卷第18页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为10s! 14.(1)解：在RtACDB中， 由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=342-16=900, .CD=30米（负值舍去）， .CE=CD+DE=30+1.7=31.7(米)， 答：风筝的高度CE为31.7米 (2)解：由题意得，CM=18米， M 米， B D ∴.DM=12 BM=VDM2+BD2=12+16=20(米)， .BC-BM=34-20=14(米)， .他应该往回收线14米 15.解：设0C=x尺，则 B=0A=(+尺， 由圈意得，BC=1x10×?5尺，∠OCB=90°， 在RtAOBC中，由勾股定理得OB2=OC2+BC2, :(x+12=x2+52 解得x=12. ∴.x+1=13, 答：水池的深度OC为12尺，芦苇的长度OA为13尺 16.(1)解：由题意可得AC=BC+CE, 在Rt△CFA中，由勾般定理得：4C=VF+CF=i2+3=I3(米)， 试卷第19页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意得，BF=AF-AB=12-8=4(米)， 在Rt△CFB中，由勾股定理符：BC=NCr+BF=N5+平=④（米）， :CE=AC-BC=(3-可米， 答：小亮需向右移动的距离为13-可米。 (2)解：0.5×20=10,10+5=15>13， ∴，小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置： (3)解：由题意可符：BF=CE=05米，8C=3-050米 在Rt△BCF中，由勾股定理可得BC2=BF2+CF2, 即03-0.50=(0.5}+52 解得1144 13’ 144 .t的值为13· 17.(1)证明：大的正方形的面积可以表示为(a+b},大的正方形的面积又可以表示为2+4×b, 。1 c2+4x)ab=(a+b)}, 2 .c2+2ab=a2+b2+2ab, a2+b2=c2. （2)解：空白部分的面积_边长为c的正方形的面积2个直角三角形的面积=2-2×)b, a=4,b=6, ÷空白部分的面积=4+6-2××4x6=28, (3)解：，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处. .AF=AD=5, 在RtAABF中，AF=5,AB=3, 试卷第20页，共3页 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得：BF=VAF2-AB=4 .CF BC-BF AD-BF=5-4=1, 设EF=x,则DE=EF=x,CE=CD-DE=3-x, 在RtACEF中，由勾股定理得：EF2=CE2+CF2, =(3-x2+12 5 解得：r= 3, 即 18.(1)解：延长AB交A'O于点D,则∠ADA'=90°，DO=4m. B A 28m 24m B 4m mmmR ：AA=25m.AD=A0-D0=24-4=20(m) ÷在RtAD4中，MD=VAH-AD=252-20-15(m). 即此时消防车距离着火楼距离是15米。 （2)解：：BD=B0-D0=28-4=24(m),8B=M=25m 在RtABDB'中，BD=VBB-B'O2=V252-24=7(m) AB=AD-BD=15-7=8(m) 即消防车靠近的AB为8米时才能完成B处救援任务. 试卷第21页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(1)解：①由题意得，4B=V3+4=5. CCD.5CD. 2 2 2 2CD=8, 解得CD=16 5 16 :边AB上的高CD的长为5 (2)解：设CD=x,则BD=BC+CD=4+x. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2=AC2-CD2=132-x2； 在R△1BD中，由勾股定理得D=AB-BD=152-(c+4 .132-x2=152-(x+4)2 解得x=5, AD=V132-52=12 20.(1)解：依题意得：△ABC中，AC=300km,BC=400km,∠ACB=90°， “根据勾股定理得AB=VAC2+BC2=500km 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km: (2)解：海港C受台风影响， 理由：△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB」 5awC-BC--CE. 1 .300×400=500CE, ∴.CE=240km<260km, ∴.海港C会受到此次台风的影响： (3)解：如图，以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D,F, 则CD=CF=260km,DF=2ED」 试卷第22页，共3页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 北 →东 F B 在Rt△CDE中， ED=VCD2-CE2=V2602-2402=100km ∴.DF=200km, :台风的速度为25kmh, .200÷25=8h 答：台风影响该海港持续的时间为8h 21.(1)解：如图，连接AB,过点B作BG⊥AC于点G, A G-------1 B -F EC D :AC⊥EF,BD⊥EF,BG⊥AC, 四边形CDBG是矩形， .CG=BD=100m,BG=CD=800m, .AG=AC-CG=700-100=600m, 在Rt△ABG中，AB=VAG2+BG2=V602+8002=1000m (2)解：设cG=m,则DG=CD-CG=(80-x)m AG=VAC2+CG=V7002+x,BG=VGD2+BD2=V(800-x)}+1002 ,G到A,B两处的距离相等， ∴.AG=BG :.V7002+x2=V(800-x)}+1002 解得x=100. 试卷第23页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.自动售货点G应修建在离点C100米处： (3)解：如图，作点B关于EF对称的点B',连接AB交EF于点M,连接BM,作B'H⊥AC交AC延长 线于H,则BD=B'D=100m,∠H=90°， A B ch 、ADF E h- H B 可知四边形B'HCD是矩形， .CH=B'D=100m,B'H=DC=800m, .'AH =AC+CH=800m=B'H, 4BH+BH=8002m AM+BM=AM+B'M, ∴.AM+BM的最小值为AB', 即M到A、B两处的距离之和最小值为800W2m C组 思维拔高 一、单选题 1.C2.A 二、填空题 3.5485 5.7.5 三、解答题 6.(1)解：四边形ABCD是长方形， .∠D=∠C=∠B=∠DAB=90°，AD=BC, ∠DAF+∠EAF=90°， 由折叠的性质，得∠FAB'=∠C=90°，∠B'=∠B=90°，AB=CB, AD=AB',∠D=∠B',∠B'AE+∠EAF=90°， .∠DAF=∠BAE. 试卷第24页，共3页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ADF和△AB'E中， 「∠D=∠B', AD=AB', ∠DAF=∠B'AE, ∴.△ADF≌aAB'E(ASA) (2)解：由折叠的性质，得AF=CF 设AF=CF=x,则DF=DC-CF=18-x. 在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2, 12+08-刘=r,解得x=3. △ADF≌△ABE, .AF=AE=13」 e4E4D=13x12=8 2 7.解：如图，连接BF交AE于点O. D 将 沿 折叠得到 △ABE AE △AFE ∴.BE=EF,∠AEB=∠AEF,AE垂直平分BF. E为BC的中点， BECE-EFC3 ∠EFC=∠ECF. ∠BEF=∠ECF+∠EFC=2∠ECF, .∠AEB=∠ECF, .AE‖CF .∠BFC=∠BOE=90° 试卷第25页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在R1a1BE中，由勾股定理，得AE=VAB+BE2=V军+32=5， :B0=AB:BE=4x312 AE55· BF=2B0=24 5· 在△BCr中，户白均题定理解CF=V6c-r7-6-- 8.(1)解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上， AC=3.BC=4-x.BF=x.DF-2,4B=(4-x)+3,BD=+2,CF=4-x+x=4, +2+4-x)+3=BD+4B2 4D :当4，B,D三点共线时，V+2+4-+3=AD最小， 作DH⊥AC,则DH=CF=4,CH=DF=2. .AH=AC+CH=5. :AD=V42+5=V4 ·代数式V+2+4-x+32的最小值为V④： F D (2)解：由题意，AP+P+QB为总路程， ..PO=8km “要求AP+P吧+QB的最小值，只需求得AP+QB的最小值. 如图1，将点A向上平移k"得到，连接40,4B则40=AP】 ,则 试卷第26页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP+QB=AQ+QB≥A,B A,O,B 40+BO AB 当 三点共线时，此时 的最小值为 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D. 图1 由题意，可得 AD=15km BD=8km :40+p AB=17km 的最小值为 ∴.最短路程为17+8=25km, (3)如图2，构造△ABC,CD1AB,垂足为D,AC=9,BC=12. 图2 设CD=x,则4D=V81-,BD=V144-x :AB=V81-2+V144-x=15 .92+122=152, ∴.∠ACB=90°」 1 .)×9×12=×15x,解得x=7,2, 12 .x的值为7.2 9.解：(1)展开后A、B、C构成直角三角形，两直角边分别为9cm和l2cm. 试卷第27页，共3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据勾股定理，最短路径为：V9+12=81+14=V25=15cm (2)底面是正方形，周长为3×4=12cm,垂直方向为直四棱柱的高10cm,绕一周高为0 10÷2=5(cm) 根据勾股定理， V122+52=V144+25=V169=13cm 绕两周彩条最短长度为：13×2=26cm: (3)底面是正六边形的直六棱柱，周长为4×6=24cm,绕一周垂直长度为7cm: 根据勾股定理，金属丝最短长度为：V24+7=V576+49=V625=25cm (4)底面是半圆长加一个半径，πr+r=3×2+2=8,高为6cm, 根据勾股定理，爬行最短长度为N⑧+6=0=10cm ● 拓展 链接中考 一、单选题 1.C2.C 二、填空题 3 3.24.505.10 试卷第28页，共3页 分层作业 目 录 A组 巩固过关 题型01 水杯中的筷子问题 题型02 求长方体中的最大长度问题 题型03 梯子的滑落问题 题型04 折叠问题与勾股定理 题型05 航海问题与勾股定理 题型06 利用勾股定理求河的宽度 题型07 求台阶上的地毯长度 题型08 求汽车超速问题 题型09 求受台风影响问题 题型10 构造双勾股解直角三角形 题型11 求立体图形的最短路径问题 题型12利用勾股定理求芦苇高度问题 题型13汽车通过隧道问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 1.3 勾股定理的应用 水杯中的筷子问题题型01 一、单选题 1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，铅笔的长度是，笔筒的内部底面直径是，内壁高，这只铅笔露在笔筒外部的长度为，则h的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当铅笔在笔筒内最大程度倾斜时，h取最小值，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，当铅笔在笔筒内最大程度倾斜时，h取最小值， 由题意知，， ， 即h的最小值是． 2．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 3．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是8，高是15，上底面中心有个小圆孔，则一根长20的直吸管露在罐外部分的长度的范围是（罐壁厚度和圆孔大小忽略）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面圆心时，直吸管露在罐外部分的长度最大，为， 如图，当直吸管的一端在圆柱形饮料罐的下底面边缘时，直吸管露在罐外部分的长度最小， ， 由勾股定理可得， ∴直吸管露在罐外部分的长度最小为， ∴直吸管露在罐外部分的长度的范围是． 二、填空题 4．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则h的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形，据此分别求出吸管露在盒外部分的最长长度和最短的长度即可得到答案． 【详解】解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为； 当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线的长，高为， 由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度， 吸管露在盒外部分的长度最短为， ∴． 5．一个圆柱形饮料罐，底面半径为3，高为4，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度范围是___________． 【答案】 【分析】当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，此时a可以利用勾股定理在中即可求出． 【详解】解：如图， 当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短， 此时a就是圆柱形的高，即； 当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，即线段的长， 在中，， ∴此时， 所以． 6．如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），连接，不妨设，利用勾股定理可得，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，不妨设， 由题意得：，，，，， ∴在中，， ∴在中，， ∵将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为， ∴此吸管的总长度为， 故答案为：16． 求长方体中的最大长度问题题型02 一、填空题 1．有一根长的木棒，___________（填“能”或“不能”）放进长、宽、高分别为、、的空木箱中． 【答案】能 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度； 在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长、宽、高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可. 【详解】解：设放入长方体盒子中的木棒的最大长度是， 根据题意可得：， 而， 因为， 所以长70cm的木棒，能放进长、宽、高分别为、、的空木箱中； 故答案为：能． 2．如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料管的最大长度是________．（忽略塑料管粗细） 【答案】17 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 连接、，首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接、，如图： 在中，， 在中，， ∴， 能完全装进盒子中的塑料管的最大长度为， 故答案为：17． 二、解答题 3．如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ 【答案】(1)5cm (2)13cm 【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果． （2）根据题意连接BD、ED，两次运用勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：∵、，∠ABC=90°， ∴对角线的长=cm； （2）解：如图所示： 连接BD、ED， 在Rt△BCD中， ∵、，∠ABC=90°， ∴BD=cm； 在Rt△EBD中，ED＝cm． 故这个盒子最长能放13cm的棍子． 梯子的滑落问题题型03 一、单选题 1．一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数量掌握勾股定理是解题的关键． 通过勾股定理计算初始墙高和移动后梯脚离墙的距离，求差即可得到移动距离． 【详解】初始状态：设墙高为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． 移动后：顶端下滑 2m，新墙高为 m， 设新梯脚离墙距离为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． ∴ 梯脚移动距离为m． 二、填空题 2．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 3．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________． 【答案】2 【分析】先由勾股定理求解，即可得到，根据梯子的长度不变，再由勾股定理求解，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴由勾股定理得 梯子顶端下滑至 在中，，， 由勾股定理得 ． 三、解答题 4．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 5．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 6．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)点处与地面的距离为米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 7．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【详解】（1）解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． （2）如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 折叠问题与勾股定理题型04 一、单选题 1．如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即弯折点与地面的距离为． 2．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 【详解】解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 4．如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 二、填空题 5．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 6．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】6 【分析】设，则，由折叠的性质得到，在中，，解得，即可求得三角形的面积． 【详解】解：长方形纸片中，， 设，则， 将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合， ， 在中，， ， 解得， ， ． 三、解答题 7．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】根据长方形以及折叠的性质可得，，，，设，则，，然后对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，将边沿直线折叠， ，，，， 设，则． ， 在中，， ． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得． 的长为． 8．已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 【答案】 【分析】根据折叠可得，在中利用勾股定理列方程求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠知，，， 四边形为长方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ，解得， ， 在中，由勾股定理得：． 航海问题与勾股定理题型05 一、单选题 1．如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】B 【分析】由题意可知，，海里，海里，利用勾股定理计算出，进而求出乙船的航速． 【详解】解：由题意可知，，（海里），海里， 在中，（海里）， ∴乙船的航速为（海里/时）． 2．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【答案】C 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时． 二、填空题 3．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 三、解答题 4．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． (1)求的长： (2)求船向岸边移动了多少米？ 【答案】(1)10米 (2)船向岸边移动了米 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． （1）用绳子的长减去收起的绳长即可求解； （2）先根据勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置， （米）， （2）解：在中，，米，米，由勾股定理得， （米）， 在中，米，米，由勾股定理得， （米）， 米. 答：船向岸边移动了米． 利用勾股定理求河的宽度题型06 一、单选题 1．如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（    ） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 【答案】C 【分析】由勾股定理求出的长即可． 【详解】由题意得：， 即A，C两点间的距离为米， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键． 2．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 3．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 二、填空题 4．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【答案】12 【分析】根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得： 米． 故答案为：12． 5．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于E，则米，，得到米，由勾股定理得出米，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于E，则米，， 米， 米， 米， 在中， 由勾股定理得：米， 米， 即这名学生从进入感应区到进门，需行进米， 故答案为：． 三、解答题 6．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 7．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 8．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 9．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 求台阶上的地毯长度题型07 一、单选题 1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 二、填空题 2．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， 根据勾股定理，得； 三、解答题 3．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 求汽车超速问题题型08 一、填空题 1．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 二、解答题 2．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 求受台风影响问题题型09 一、填空题 1．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 二、解答题 2．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析 (2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）根据垂线段最短，结合600米米即可得到结论； （2）如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下： ∵600米米， ∴报亭的人能听到广播宣传． （2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接． 由题意得，米，米，，    由勾股定理得米，米， ∴米． ∵ (分)， ∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传． 3．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 4．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)的长为 (2)市受到台风影响的时间持续小时 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在直角中，． 答：的长为． （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、， 由题意可知，台风在段时，对市有影响． 在直角中，， 同理，， ∴， ∴影响持续的时间为． 答：市受到台风影响的时间持续小时． 构造双勾股解直角三角形题型10 一、解答题 1．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 2．如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为，到公交站（点）的距离为，现在公路边上建一个商店（点），使商店到学校及公交站的距离相等，求商店与公交站之间的距离． 【答案】商店与公交站之间的距离为米 【分析】作于点B，勾股定理求得，设，则，，在中，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，作于点B， 则，， ．                     设，则，， 在中，， ，即．                解得．               答：商店与公交站之间的距离为米． 3．如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 【答案】该自动售货点应该修建在离点处 【分析】连接，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：如图，连接， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， ， 解得， 答：该自动售货点应该修建在离点处． 4．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 5．如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 【答案】E到C的距离为千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设千米，则千米，由根据勾股定理可得关于的方程，解方程即得结果． 【详解】如图，设千米，则千米， 在中，根据勾股定理，， 在中，根据勾股定理，， ∵， ∴，即， 解得：， 即E到C的距离为千米． 求立体图形的最短路径问题题型11 一、单选题 1．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 2．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（  ）． A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到圆柱形玻璃容器的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：圆柱形玻璃容器的展开图如下，，作于； ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 4．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 5．如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出木块展开后的平面图，对角线即为所求最短路径，用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将木块展开，则对角线即为所求最短路径， 由题意可知，（米），米，， 在中，（米）， 所以从点爬过木块到达处需要走的最短路程是17米． 6．如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：将正方体展开，连接A、B， 由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长， 由题意得，在中，， ∴， ∴蚂蚁走过的最短路程为． 7．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，，，， ∴； 如图所示，当沿着长把长方体展开时， 在中，，，， ∴； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，，，， ∴， ∵， ∴沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是． 8．如图，圆柱形水桶的桶高为，底面周长为，在桶内壁离桶底的点A处有一滴污渍，此时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿，且与污渍A在同一轴截面相对的点B处，则小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将水桶侧面展开，作B关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 将水桶侧面展开，作B关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 由题意得：，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴， 所以，小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为． 9．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是（   ） A． B．10 C． D． 【答案】B 【分析】最短路线就是两点间的最短距离，将纸箱展开连接两点此时有两种展开法，即有两条线，取最短的那条． 【详解】解：线段1： 线段2： 10．如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意把图形展开，连接，得出的长就是从处爬到处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出的长，再比较即可. 【详解】解：如图将正面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与后面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， ∴从处爬到处的最短路程是． 二、填空题 11．如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是________． 【答案】13 【分析】画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，连接， 根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：，， 由勾股定理得：． 12．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为，宽为， 由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为． 13．2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 【答案】20 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 从点滑到点，滑行的最短路程是． 14．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【答案】 【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中， ， ． 15．如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 【答案】/厘米 【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的长度最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的长度最小为． 16．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点正对面的容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______． 【答案】17 【分析】将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与蜂蜜相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是． 三、解答题 17．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 18．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键． 先画出展开图，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， 长为米；宽为4米． ∴最短路径为：（米）． 19．如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，展开后，、、三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出为最短距离，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：将半圆面展开，如图所示， ∵，，． ∴在中，由勾股定理得． 答：他滑行的最短距离为． 20．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 利用勾股定理求芦苇高度问题题型12 一、单选题 1．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够使用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题可知，，，则， 在中，． 2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，水深为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设芦苇的长度是尺，则水深为尺， 根据题意，得． 3．如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 【答案】C 【分析】如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 二、解答题 4．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【答案】水深为尺，芦苇的长是尺． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据勾股定理列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设水深为x尺，由题意可得， . 解得， 答：水深为尺，芦苇的长是尺． 汽车通过隧道问题题型13 一、解答题 1．某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 【答案】能通过该隧道，理由见解析． 【分析】此题考查了勾股定理的应用；如图，在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆于点E，则，利用勾股定理求得，再与车高比较即可． 【详解】解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下： ∵正中间有宽的双黄线， ∴点O到右边黄线的距离为 ∵现有一辆货运卡车高，宽， ∴如图，在上取G，使， 过G作于F反向延长交半圆于点E，则． 圆的半径， 在中，由勾股定理得：， ∴点E到的距离为， ∴货车可以通过该隧道． 2．有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 【答案】能通过，理由见解析. 【分析】首先画出卡车的横截面图，OE的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出CE的长度．如果BC的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过． 【详解】能通过． 如图中的长方形是卡车横截面的示意图： 当桥洞中心线两边各为0.8米时，设米，在中，由勾股定理得 ， 解得， ∵， ∴卡车能通过． 一、单选题 1．如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】圆柱的展开图如图： 根据题意：，，， ， 即蚂蚁需要爬行的最短路程是． 2．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 3．如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：由网格图可知， ，点到所在直线的距离为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ． 4．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 【答案】A 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 5．如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况，结合勾股定理计算，并比较大小即可得出结果． 【详解】解：分三种情况： 如图①，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图②，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图③，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是． 6．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 7．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，然后通过勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴． 8．《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：设木杆长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ∵， ∴． 9．如图，东西方向上有，两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（    ） A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 【答案】A 【分析】根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距3千米，根据题意可得： 千米，千米， ∵， 则， 解得：． 即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距3千米． 10．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得 ，利用折叠的性质得，设，则，再利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 二、解答题 11．已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 【答案】 【分析】根据折叠可得，在中利用勾股定理列方程求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠知，，， 四边形为长方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ，解得， ， 在中，由勾股定理得：． 12．如图，每一个小正方形的边长为， (1)画出格点关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)直接写出的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先作出三个顶点的对称点，和，再顺次连接即可； （2）先作出点A的对应点，连接，交于点，此时的值最小，即为的值； （3）延长交于点，此时最大，即为的长； （4）根据勾股定理，计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：作出点A的对应点，连接，交于点，点即为所求， 此时的值最小，即为的值，图形略； （3）解：延长交于点，点即为所求， 此时最大，即为的长，图形略； （4）解：由图可得，， 的最大值为． 13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 14．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为31.7米 (2)他应该往回收线14米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． 15．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 【答案】水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 【分析】设尺，则尺，利用勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设尺，则尺， 由题意得，尺，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 16．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 【答案】(1)米 (2)能 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）求出20秒小亮收绳的长度，再加上的长度后与的长度比较即可得到结论； （3）根据题意可得米，米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 答：小亮需向右移动的距离为米． （2）解：∵，， ∴小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； （3）解：由题意可得：米，米 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴t的值为． 17．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 18．综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 (1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ (2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【答案】(1)消防车距离着火楼距离是15米 (2)消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． （2）解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 19．图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法：一种是；另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理．这种用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，连接其中三个不同小正方形的各一个顶点，可得到． ①的长为_______． ②请利用“双求法”，求边上的高． (2)如图3，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1)①5；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理，网格中求三角形面积，熟知勾股定理是解题的关键． （1）①直接利用勾股定理求解即可；②根据等面积法求解即可； （2）设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①由题意得，； ②，， ， 解得， 边上的高的长为． （2）解：设，则． 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 20．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； （3）解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 21．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 一、单选题 1．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 2．如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度． 利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后． 在中，，，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：A． 二、填空题 3．如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，且 ；然后根据三角形面积公式求出点 到直线 的距离，确定点 的轨迹是一条平行于 的直线；最后利用轴对称性质（将军饮马模型），作点 关于该直线的对称点，发现对称点即为点 ，从而将 的最小值转化为线段 的长度 ． 【详解】解： 是直角三角形，且 ， ， 设点 到直线 的距离为 解得 点 在平行于 且到 距离为 的直线 上 ， 如图所示， 作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ， 直线 ， 直线 点 在直线 上 点 与点 关于直线 对称，且直线 到 的距离为 ， ， ，且点 在直线 右侧， 点 与点 重合， 的最小值 ． 4．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上．若，点到的距离为6m，现要从点处靠墙和地面铺设管道至点处，则管道的长度最短为____________m． 【答案】 【分析】可将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将墙面与地面展开如图， 过点作于点，连接，管道沿铺设长度最短． 在中，，， ． 在中，，， ． 故管道的长度最短为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 5．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为_____米．       【答案】 【分析】本题考查圆柱表面绕线最短问题，核心是将圆柱侧面展开为长方形，将空间曲线转化为平面直角三角形的斜边，再利用勾股定理求解． 将圆柱侧面展开，每圈龙的长度与高度的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图： 根据题意可得柱身高为米，底面周长为米， 有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，米， 米， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为米． 故答案为：． 三、解答题 6．如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． (1)求证：． (2)若，，则的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)78 【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用即可判定； （2）设未知数，将问题转化到中利用勾股定理建立方程求出结果即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， ． 由折叠的性质，得，，， ，，， ． 在和中， ． （2）解：由折叠的性质，得． 设，则． 在中，， ，解得． ， ， ． 【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题的关键． 7．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． 在中，由勾股定理，得． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 8．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 9．课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 一、单选题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 2．（2020·广西·中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（  ） A．寸 B．寸 C．寸 D．寸 【答案】C 【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E， 则DE=10，OE=CD=1，AE=． 在Rt△ADE中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 4．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为___________km． 【答案】50 【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即A，C两港之间的距离为50 km． 故答案为：50 【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键． 5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $