专题13一元一次不等式组的应用同步培优讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦一元一次不等式组的应用，系统梳理从实际问题中提取多重不等关系，通过“一审二设三列四解五验六答”步骤建立模型，解决取值范围、整数解、方案设计与最值问题，搭建不等式组解法与实际应用的学习支架。 该资料特色为题型系统归纳（含经济、分配等8大题型），结合易错提醒强化规范解题。通过实际情境培养学生用数学眼光抽象不等关系，用数学思维推理解集取舍，如阶梯收费问题列不等式组。课中辅助分层教学，课后小练助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题13一元一次不等式组的应用同步培优讲义 ✺知识框架 从实际问题中识别多重不等约束条件，建立一元一次不等式组模型，求出公共解集，结合实际背景筛选合理的解，解决取值范围、整数解、方案设计与最值相关问题。 ✅本节学习利用一元一次不等式组解决多条件限制的实际问题，核心是数学建模，在得到解集后结合现实意义取舍，重点培养学生分析条件、规范列式与检验结果的能力。 ✺学习目标 1.理解运用一元一次不等式组解决实际问题的基本原理，能从文字情境中准确提取多重不等关系，规范列出一元一次不等式组。 2.熟练掌握不等式组应用题的完整解题流程，能结合实际意义对解集进行取舍，独立解决取值范围、整数解、方案设计、最值分析等常考题型。 3.体会数学建模与数形结合的核心思想，提升文字信息转化为代数式子的能力，养成规范解题、严谨检验的学习习惯。 ✺题型归纳 题型1.列一元一次不等式组 题型2.不等式组的行程问题 题型3.不等式组的经济问题 题型4.不等式组的分配问题 题型5.不等式组的方案选择问题 题型6.不等式组的阶梯收费问题 题型7.一元一次不等式组的其他应用 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、一元一次不等式组应用的定义 ▲当实际问题存在两个或两个以上并列的不等约束条件时，可以列出含有同一个未知数的多个一元一次不等式，组成一元一次不等式组求解，再结合实际情境确定合理答案。 关键特征：题干常出现“至少、至多、不低于、不超过、大于、小于”等多重限制性词语。 知识点二、列不等式组解应用题标准步骤 一审：审题，梳理已知量与未知量，找出全部不等关系。 二设：设未知数，一般直接设所求量为x。 三列：依据不等关系列出一元一次不等式组。 四解：分别求解各个不等式，借助数轴确定不等式组的公共解集。 五验：结合实际意义检验解集，舍去负数、不合题意的小数；人数、物品数等量常取正整数解。 六答：规范写出答案，完整回应题干问题。 知识点三、关键词与不等号对应关系 至少、不少于、不低于：； 至多、不多于、不超过： 大于、多于、超出： ； 小于、少于、不足： 提示：不大于等价于；不小于等价于。 知识点四、解集取舍原则 1.人数、物品数量、车辆数等计数类量，必须取正整数； 2.长度、价格、质量等连续量，可取实数，无需取整； 3.解集端点要和题意保持一致，含有等号时端点可取，使用闭区间；不含等号时端点不可取，使用开区间。 【易错提醒】 1.遗漏不等条件：题目存在多重约束，只列单个不等式，列式不完整； 2.不等符号写错：混淆“至少”“至多”，不等方向判断错误； 3.忽略实际背景：直接使用代数解集，未舍去负数、不符合现实的小数； 4.数轴运用不当：不会借助数轴找公共解集，造成解集范围判断出错； 5.答题格式疏漏：缺少检验环节，作答未完整回应问题。 ✺题型精讲 题型1.列一元一次不等式组 1．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 2．如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用（单位：）表示新注入水的体积，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】直接利用长方体的体积公式得出答案． 【详解】解：∵某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm， ∴长方体容器的体积为：5×3×8＝120（立方厘米）， ∵容器内原有水的高度为2cm， ∴容器内原有水的体积为：5×3×2＝30（立方厘米）， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的应用，正确求出立体图形的体积是解题关键． 3．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式． 【答案】 【分析】根据矩形的周长公式及面积的计算方法，结合不等关系：面积大于平方米，周长小于米列出不等式组求解即可． 【详解】∵矩形的面积大于平方米，周长小于米，矩形的一边长为，临边长为 ∴ 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意正确列出不等式组是解题关键． 题型2.不等式组的行程问题 1．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 2．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 3．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型3.不等式组的经济问题 1．某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“原本未达到满减，加购元后满足满减优惠”列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵小王需要加购商品才能满足优惠条件，说明原本元未达到满减门槛，加购后总金额满足满减要求， ∴可得不等式组 ， 解得， ∴的取值范围是． 2．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 3．滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 【答案】有3种建设方案 【分析】设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点，根据题意列不等式求出范围，找出其中的正整数解即可求解． 【详解】解：设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点． 根据题意，得     解得，     又因为为正整数，所以可以取1，2，3．    因此，共有3种建设方案： ①建设1个大型租赁点，7个小型租赁点； ②建设2个大型租赁点，6个小型租赁点； ③建设3个大型租赁点，5个小型租赁点． 题型4.不等式组的分配问题 1．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得到钢笔总数，再表示出最后一名同学分得的钢笔数量，结合数量范围列出不等式组即可. 【详解】解：班级共有名学生，每人分支剩余支， 钢笔总数为支， 若每人分支，只有最后一名同学分得的数量不足支，则前名同学共分得支， 最后一名同学分得的钢笔数量为支， 最后一名同学分到钢笔数量大于，且不足支， ． 2．一些书分给若干个小朋友，若每个小朋友分3本，则剩2本；若每个小朋友分4本，则有一个小朋友没分到，且最后一个分到书的小朋友分得的书的数量不足3本．已知小朋友人数是奇数，那么小朋友的人数是________． 【答案】 【分析】设小朋友的人数为，先得到书本总数，再根据最后一个分到书的小朋友分得书本数的范围列出不等式组，求解后结合是奇数的条件得到最终结果．本题主要考查列一元一次不等式组解应用题，正确地列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：设小朋友的人数为，为正整数，则书本的总数量为本． 根据题意得 ， 化简得， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 又∵小朋友人数是奇数，因此． 3．某码头现有甲种货物和乙种货物．拟用A、B两种集装箱将其运走，已知甲种货物和乙种货物可装满一个A型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个B型集装箱，若共使用了50个集装箱，几种具体的运输方案？你会怎样设计？ 【答案】共有3种运输方案，具体方案为：①A型集装箱28个，B型集装箱22个；②A型集装箱29个，B型集装箱21个；③A型集装箱30个，B型集装箱20个． 【分析】设安排A中集装箱个，则安排B中集装箱个，根据题意建立不等式组，然后求出其解集，根据解集就可以确定装运方案． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，； 当时，； 当时，． 故有三种运输方案： 方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 题型5.不等式组的方案选择问题 1．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 2．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 3．利用一元一次不等式（组）解决问题： 某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆，其中A型车至少10辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示： 类型 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 27 27.8 B型 24.4 25.8 为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润要超过20.5万元，那么该公司有哪几种购买方案，哪种购买方案的利润最大，最大利润是多少万元？请通过计算说明． 【答案】A型新能源汽车一辆车的利润为（万元）， B型新能源汽车一辆车的利润为（万元）， 设购买A型新能源汽车x辆，B型新能源汽车辆， 根据题意得，， 解得， ∴x可以为10，11，12， ∴分别为10，9，8， ∴共有3种购买方案：①购买A型10辆，B型10辆，利润为（万元）； ②购买A型11辆，B型9辆，利润为（万元）； ③购买A型12辆，B型8辆，利润为（万元）； ∵∴购买A型10辆，B型10辆利润最大，最大利润是22万元． 答：共有3种购买方案：①购买A型10辆，B型10辆；②购买A型11辆，B型9辆；③购买A型12辆，B型8辆；购买A型10辆，B型10辆利润最大，最大利润是22万元 【分析】首先求出A型新能源汽车和B型新能源汽车一辆车的利润，然后设购买A型新能源汽车x辆，B型新能源汽车辆，根据题意列不等式组求出，然后根据x为正整数分情况求解比较即可． 【详解】略 题型6.不等式组的阶梯收费问题 1．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 2．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 3．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 题型7.一元一次不等式组的其他应用 1．某校组织学生参加STEM教育教学竞赛的机器人编程挑战环节，需要将若干任务指令卡分配给参赛小组．若每个小组分配6张指令卡，还剩余15张；若每个小组分配7张指令卡，则最后一个小组有指令卡但不足3张，设参赛小组有x个，则下列列式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出指令卡总数量，再根据最后一个小组的卡片数量范围列出不等式组即可． 【详解】∵参赛小组共有个，每个小组分张剩余张， ∴指令卡总数量为张， 若每个小组分配张，仅最后一个小组不足张， 则前个小组共分配张， 最后一个小组分得的指令卡数量为张， ∵题目要求最后一个小组有指令卡但不足张， ∴可得不等式组． 2．某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音．已知小华、小欧的体重分别为45公斤、70公斤．小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意找出不等关系，列出不等式组即可求解． 【详解】解：两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤， 由题意可得， 解得． 3．某校组织线下教研交流会，后勤工作人员统一采购会议专用铅笔．附近一家文具店有如下规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．如果给每位参会人员配发1支铅笔，只能按零售价结算，一共花费120元；如果再多采购60支，便可享受批发价结算，总费用依旧为120元． (1)本次教研交流会的参会人员总数在什么范围内？ (2)已知按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支铅笔的花费相等，求本次交流会的参会人员有多少人？ 【答案】(1)本次教研交流会的参会人员总数满足，即大于240人且不超过300人； (2)本次交流会的参会人员有人． 【分析】（1）根据文具店的批发零售规则，列出关于参会人数的不等关系，求解得到人数范围； （2）设参会人数为未知数，分别表示出铅笔的零售价和批发价，根据给定等量关系列分式方程求解，检验后得到符合范围的结果． 【详解】（1）解：设本次教研交流会的参会人员总数为人． 由题意，给每位参会人员买1支铅笔只能按零售价付款， 因此； 多购买60支可按批发价付款， 因此， 解得； 因此本次参会人员总数的范围是； （2）解：设本次交流会的参会人员有人，则铅笔的零售价为每支元，批发价为每支元， 根据题意列方程得： 解得， 检验：当时，，且满足，符合题意． 答：本次交流会的参会人员有300人． ✺课堂小练 一、单选题 1．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总工艺品数量得到B型工艺品数量，再分别计算两种原料的总用量，根据总用量不超过剩余原料量列出不等式组即可. 【详解】∵ 制作个A型工艺品，一共制作100个工艺品， ∴ B型工艺品的数量为个. ∵ 制作个A型需甲原料千克，制作个B型需甲原料千克， 甲原料总用量不能超过剩余的29千克， ∴ . ∵ 制作个A型需乙原料千克，制作个B型需乙原料千克， 乙原料总用量不能超过剩余的千克， ∴ . 综上，可得不等式组：． 2．某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 3．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些图书有（     ） A．23本 B．24本 C．25本 D．26本 【答案】D 【分析】设有名同学，本图书，根据题意列出方程和不等式组，利用人数和图书数为正整数确定人数，再计算图书总数即可． 【详解】解：设有本图书，名同学，根据题意得 ，， 将代入不等式组，得 化简得 解不等式，得 解不等式，得 ∴ ∵ 为正整数， ∴ 将代入，得 ， 即这些图书有26本． 二、填空题 4．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． 【答案】6 【分析】根据“一间宿舍不空也不满”的条件列出正确的不等式组，结合房间数为正整数的限制即可求解． 【详解】解：设安排住宿的房间有间，则住宿生总人数为人 根据题意，得 由①得，； 由②得， ∴不等式组的解集为， 故取整数，那么安排住宿的房间有间． 5．某市地铁票收费标准如下： 不超过，2元/人次；超过到（含），3元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为________． 【答案】 【分析】先根据收费标准确定花费9元时，乘坐里程超过，再根据超过后的收费规则列出一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据收费标准可知，乘坐里程不超过时，最高票价为7元，现票价为9元， ∴， 根据题意列不等式组得：， 解得：， ∴x的取值范围为． 6．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】第一次敲进长度为，第二次敲进长度为，第三次敲进长度最大值为，根据前两次敲进长度之和小于铁钉总长度，前两次敲进长度与第三次敲进长度的最大值之和大于等于铁钉总长度，列一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 解得． 的取值范围是． 三、解答题 7．为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制在每千克8元到14元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，与应满足等式．为使市场价格不高于9元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？ 【答案】政府补贴至少应为0.93元/千克 【分析】先根据与应满足等式，变形得到，然后再根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：； ， ∵要使市场价格不高于9元/千克，由题意得：， 解之得， ∴政府补贴至少应为0.93元/千克． 8．把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 【答案】学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个 【分析】设学生人数为人，则苹果有个，解不等式组，取整数值即可解决问题． 【详解】解:设学生人数为，则苹果有个, 依题意得， 解得， 学生人数为整数， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）． 答：学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个． 9．为坚决阻断新冠肺炎疫情传播途径，有效遏制疫情扩散和蔓延，我市自4月17日起启动Ⅰ级应急响应，同时对宿城区临时实施封闭管理．某地红十字会计划将一批物资打包成箱捐赠给疫情严重的双庄街道，其中口罩200箱，防护服120箱；现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批口罩和防护服全部运往双庄街道．已知甲种货车最多可装口罩40箱和防护服10箱，乙种货车最多可装口罩和防护服各20箱．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； 【答案】 共有3种安排方案，方案1：租用甲种货车2辆，乙种货车6辆；方案2：租用甲种货车3辆，乙种货车5辆；方案3：租用甲种货车4辆，乙种货车4辆 【分析】设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆，再根据两种货车一次性运完所有物资的要求，列出关于的一元一次不等式组，求解得到的取值范围，结合为正整数，即可得到所有可行方案； 【详解】解：设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆， 根据题意可得：， 解得：， 为正整数， 可取的值为， 因此共有3种安排方案： 方案1：租用甲种货车2辆，乙种货车6辆； 方案2：租用甲种货车3辆，乙种货车5辆； 方案3：租用甲种货车4辆，乙种货车4辆． 10．玩具厂家生产出A、B两种类型的福娃纪念娃娃，某商场计划从厂家购进A、B两种类型的福娃纪念娃娃销售，购进A类纪念娃娃花费了450元，购进B类纪念娃娃花费了150元，且购进A类纪念娃娃数量是购进B类纪念娃娃数量的2倍，已知购进一个A类纪念娃娃比购进一个B类纪念娃娃多花5元． (1)求商场从厂家购进A、B两类福娃纪念娃娃每个价格分别是多少元？ (2)商场销售A、B两类福娃纪念娃娃，每个售价分别为25元和18元，若商场购进的A、B两类福娃纪念娃娃共200个，其中购进A类福娃纪念娃娃个，A、B两类纪念娃娃全部售出时所获总利润是多少元？（用含的式子表示） (3)在（2）的条件下该商场计划购进这两类纪念娃娃总费用不低于2100元且不超过2200元，当值为多少时，所获得总利润最大？最大总利润为多少元？ 【答案】(1)A类福娃纪念娃娃每个15元，B类每个10元； (2)总利润为元； (3)当时，所获总利润最大，最大总利润为1680元． 【分析】（1）设A类福娃纪念娃娃每个元，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据题意可知，购进A类福娃纪念娃娃个，B类福娃纪念娃娃个，再根据每个纪念娃娃的利润列式即可； （3）根据题意列一元一次不等式组求出的取值范围，再结合（2）所得代数式即可得解． 【详解】（1）解：设A类福娃纪念娃娃每个元，则B类每个元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：A类福娃纪念娃娃每个15元，B类每个10元； （2）解：若商场购进的A、B两类福娃纪念娃娃共200个，其中购进A类福娃纪念娃娃个， 则购进B类福娃纪念娃娃个， 此时总利润为元； （3）解：由题意得：， 解得：， ， ， 由（2）可知，总利润为元， 当时，所获总利润最大，最大总利润为1680元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13一元一次不等式组的应用同步培优讲义 ✺知识框架 从实际问题中识别多重不等约束条件，建立一元一次不等式组模型，求出公共解集，结合实际背景筛选合理的解，解决取值范围、整数解、方案设计与最值相关问题。 ✅本节学习利用一元一次不等式组解决多条件限制的实际问题，核心是数学建模，在得到解集后结合现实意义取舍，重点培养学生分析条件、规范列式与检验结果的能力。 ✺学习目标 1.理解运用一元一次不等式组解决实际问题的基本原理，能从文字情境中准确提取多重不等关系，规范列出一元一次不等式组。 2.熟练掌握不等式组应用题的完整解题流程，能结合实际意义对解集进行取舍，独立解决取值范围、整数解、方案设计、最值分析等常考题型。 3.体会数学建模与数形结合的核心思想，提升文字信息转化为代数式子的能力，养成规范解题、严谨检验的学习习惯。 ✺题型归纳 题型1.列一元一次不等式组 题型2.不等式组的行程问题 题型3.不等式组的经济问题 题型4.不等式组的分配问题 题型5.不等式组的方案选择问题 题型6.不等式组的阶梯收费问题 题型7.一元一次不等式组的其他应用 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、一元一次不等式组应用的定义 ▲当实际问题存在两个或两个以上并列的不等约束条件时，可以列出含有同一个未知数的多个一元一次不等式，组成一元一次不等式组求解，再结合实际情境确定合理答案。 关键特征：题干常出现“至少、至多、不低于、不超过、大于、小于”等多重限制性词语。 知识点二、列不等式组解应用题标准步骤 一审：审题，梳理已知量与未知量，找出全部不等关系。 二设：设未知数，一般直接设所求量为x。 三列：依据不等关系列出一元一次不等式组。 四解：分别求解各个不等式，借助数轴确定不等式组的公共解集。 五验：结合实际意义检验解集，舍去负数、不合题意的小数；人数、物品数等量常取正整数解。 六答：规范写出答案，完整回应题干问题。 知识点三、关键词与不等号对应关系 至少、不少于、不低于：； 至多、不多于、不超过： 大于、多于、超出： ； 小于、少于、不足： 提示：不大于等价于；不小于等价于。 知识点四、解集取舍原则 1.人数、物品数量、车辆数等计数类量，必须取正整数； 2.长度、价格、质量等连续量，可取实数，无需取整； 3.解集端点要和题意保持一致，含有等号时端点可取，使用闭区间；不含等号时端点不可取，使用开区间。 【易错提醒】 1.遗漏不等条件：题目存在多重约束，只列单个不等式，列式不完整； 2.不等符号写错：混淆“至少”“至多”，不等方向判断错误； 3.忽略实际背景：直接使用代数解集，未舍去负数、不符合现实的小数； 4.数轴运用不当：不会借助数轴找公共解集，造成解集范围判断出错； 5.答题格式疏漏：缺少检验环节，作答未完整回应问题。 ✺题型精讲 题型1.列一元一次不等式组 1．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用（单位：）表示新注入水的体积，则的取值范围是_________． 3．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式． 题型2.不等式组的行程问题 1．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 2．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 3．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型3.不等式组的经济问题 1．某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 3．滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 题型4.不等式组的分配问题 1．把若干支钢笔分给班级同学，若每人分支，剩余支；若每人分支，则最后一名同学也分到了钢笔，但钢笔数量不足支．设班级共有名学生，据此列出不等式组为（     ） A． B． C． D． 2．一些书分给若干个小朋友，若每个小朋友分3本，则剩2本；若每个小朋友分4本，则有一个小朋友没分到，且最后一个分到书的小朋友分得的书的数量不足3本．已知小朋友人数是奇数，那么小朋友的人数是________． 3．某码头现有甲种货物和乙种货物．拟用A、B两种集装箱将其运走，已知甲种货物和乙种货物可装满一个A型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个B型集装箱，若共使用了50个集装箱，几种具体的运输方案？你会怎样设计？ 题型5.不等式组的方案选择问题 1．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 3．利用一元一次不等式（组）解决问题： 某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆，其中A型车至少10辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示： 类型 进价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 27 27.8 B型 24.4 25.8 为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润要超过20.5万元，那么该公司有哪几种购买方案，哪种购买方案的利润最大，最大利润是多少万元？请通过计算说明． 题型6.不等式组的阶梯收费问题 1．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 2．大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 3．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型7.一元一次不等式组的其他应用 1．某校组织学生参加STEM教育教学竞赛的机器人编程挑战环节，需要将若干任务指令卡分配给参赛小组．若每个小组分配6张指令卡，还剩余15张；若每个小组分配7张指令卡，则最后一个小组有指令卡但不足3张，设参赛小组有x个，则下列列式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音．已知小华、小欧的体重分别为45公斤、70公斤．小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x的取值范围是_________． 3．某校组织线下教研交流会，后勤工作人员统一采购会议专用铅笔．附近一家文具店有如下规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．如果给每位参会人员配发1支铅笔，只能按零售价结算，一共花费120元；如果再多采购60支，便可享受批发价结算，总费用依旧为120元． (1)本次教研交流会的参会人员总数在什么范围内？ (2)已知按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支铅笔的花费相等，求本次交流会的参会人员有多少人？ ✺课堂小练 一、单选题 1．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 2．某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 3．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本．这些图书有（     ） A．23本 B．24本 C．25本 D．26本 二、填空题 4．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． 5．某市地铁票收费标准如下： 不超过，2元/人次；超过到（含），3元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为________． 6．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是_____． 三、解答题 7．为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制在每千克8元到14元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，与应满足等式．为使市场价格不高于9元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？ 8．把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 9．为坚决阻断新冠肺炎疫情传播途径，有效遏制疫情扩散和蔓延，我市自4月17日起启动Ⅰ级应急响应，同时对宿城区临时实施封闭管理．某地红十字会计划将一批物资打包成箱捐赠给疫情严重的双庄街道，其中口罩200箱，防护服120箱；现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批口罩和防护服全部运往双庄街道．已知甲种货车最多可装口罩40箱和防护服10箱，乙种货车最多可装口罩和防护服各20箱．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； 10．玩具厂家生产出A、B两种类型的福娃纪念娃娃，某商场计划从厂家购进A、B两种类型的福娃纪念娃娃销售，购进A类纪念娃娃花费了450元，购进B类纪念娃娃花费了150元，且购进A类纪念娃娃数量是购进B类纪念娃娃数量的2倍，已知购进一个A类纪念娃娃比购进一个B类纪念娃娃多花5元． (1)求商场从厂家购进A、B两类福娃纪念娃娃每个价格分别是多少元？ (2)商场销售A、B两类福娃纪念娃娃，每个售价分别为25元和18元，若商场购进的A、B两类福娃纪念娃娃共200个，其中购进A类福娃纪念娃娃个，A、B两类纪念娃娃全部售出时所获总利润是多少元？（用含的式子表示） (3)在（2）的条件下该商场计划购进这两类纪念娃娃总费用不低于2100元且不超过2200元，当值为多少时，所获得总利润最大？最大总利润为多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $