3.1.1 椭圆及其标准方程 预习训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习围绕椭圆及其标准方程，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，覆盖定义、方程、性质及综合应用，梯度衔接合理，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆定义、标准方程、焦点坐标|单选1-4直接考查定义判断与方程形式，填空12强化焦点位置与焦距计算，夯实概念理解| |中档|定义应用、几何性质、条件判断|单选5-8结合定义求距离、中点问题，多选9-11分析方程条件与焦点位置，填空13-14考查参数范围与周长计算，培养推理能力| |提升|轨迹问题、综合计算|解答题15-19涉及轨迹方程推导、面积最值及综合应用，如题8轨迹问题体现抽象能力，题18面积计算强化运算能力，发展模型意识|

2026-2027学年选择性必修一《3.1.1 椭圆及其标准方程》预习 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.到两定点，的距离之和为的点的轨迹是  (    ) A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆 2.若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为  (    ) A. B. C. D. 3.椭圆的焦点坐标为  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.“”是“方程为椭圆”的  (    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.椭圆的焦点分别为，，过点的直线交椭圆于点，若，则的值为  (    ) A. B. C. D. 6.椭圆上一点到焦点的距离为，为的中点，是坐标原点，则的值为  (    ) A. B. C. D. 7.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 8.在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在椭圆上运动时，线段的中点的轨迹方程为  (    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.对于曲线，下列说法正确的是(    ) A. 曲线可能是椭圆 B. “”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件 C. “曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件 D. “曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件 10.已知椭圆：，若在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，如图，则下列说法正确的有 A. 若，则 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11.已知，是椭圆的左、右焦点，是上一点，若是直角三角形，则可能为(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆的焦点在          轴上，焦距为          ． 13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是          ． 14.经过椭圆的左焦点，作不垂直于轴的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的右焦点，则的周长为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知椭圆的两个焦点分别为，，椭圆的弦过点，且的周长为，求椭圆的标准方程． 16.本小题分 已知椭圆的焦距为，且经过点，求它的标准方程． 求经过点与的椭圆的标准方程． 17.本小题分 已知椭圆上一点，且为椭圆的两个焦点求椭圆的标准方程． 18.本小题分 已知是椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点． 若，求的面积． 求的最大值． 19.本小题分 已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上的点满足求的面积． 2026-2027学年选择性必修一《3.1.1 椭圆及其标准方程》预习答案和解析 1.【答案】  解：到两定点和的距离之和为的点，，故动点为线段上任意一点，即动点的轨迹是线段．所求轨迹为线段． 2.【答案】  【解析】解：设所求距离为，由椭圆可得，根据椭圆的定义得：， ． 3.【答案】  解：由椭圆化为，，椭圆的焦点坐标为． 4.【答案】  解：若方程表示椭圆，则解得且， 所以是方程表示椭圆的必要不充分条件， 5.【答案】 解：由椭圆方程可求得，由椭圆定义知：，两式相加得，因为，所以． 6.【答案】  7.【答案】  解：由，是椭圆的两个焦点，点在上，得． 所以． 当且仅当时，取等号，即有最大值． 8.【答案】  解：设，由题意， 为线段的中点， ，即． 又在椭圆上， ，，点的轨迹方程为． 9.【答案】  【解析】当且时，曲线是椭圆，所以A正确 当时，，此时曲线是圆，所以B错误 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得， 所以“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，所以C正确 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得， 所以“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，所以D正确． 10.【答案】  【解析】在椭圆中，，，，且对于，当时，则为椭圆与轴的交点，故，在中，，所以，故A正确；对于，当点为椭圆与轴的交点时，点到轴的距离最大，所以面积的最大值为，故 B错误；对于，因为，即，所以，故 C正确；对于，由椭圆定义可知，所以，当且仅当时取等号，故D正确．故选ACD． 11.【答案】  【解析】解：由题意知，，若， 令，得，所以，故A正确 若，则，又，所以，故D正确 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确． 12.【答案】  解：椭圆，则，，其焦点在轴上，且， 所以该椭圆的焦距为． 13.【答案】  解：方程表示焦点在轴上的椭圆， ， 解得．实数的取值范围是．故答案为． 14.【答案】  解：由椭圆，可得； 椭圆的定义可得：． 的周长． 故答案为：． 15.【答案】  解：根据题意得，又因为的周长为，所以，解得， 所以，所以椭圆方程为． 16.【答案】解：因为椭圆的焦距是， 所以，所以，因为经过点， 所以若焦点在轴，则，则椭圆方程为 若焦点在轴上，则，则椭圆方程为， 所以椭圆方程为或． 设椭圆方程为， 因为经过与， 所以，所以 所以椭圆方程为． 17.【答案】解：令，，则， ， ，即，解得， 椭圆方程为， 点在椭圆上，，解得或， 又，舍去， 故所求椭圆方程为．   18.【答案】 由  ，得  ，当且仅当时等号成立 19.【答案】解：设，， 则 得， 所以的面积 ．  1 学科网（北京）股份有限公司 $