3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质，以8类题型构建“基础理解-技能应用-综合拓展”三阶分层，覆盖a/b/c关系、标准方程等核心知识点，通过选择填空与综合题结合，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|a/b/c计算、标准方程、焦点焦距|选择填空为主，直接应用定义（如题型01求标准方程）| |技能应用|点求方程、取值范围、距离最值|引入动态问题（如题型06距离和差最值），培养几何直观| |综合拓展|离心率、长轴短轴及综合应用|结合生活情境（如阿基米德椭圆面积），提升模型意识|

函学科网·上好课 www zxxk.com 分层作业 3.1.2椭圆的简单几何性质 目录 A组 巩固过关 题型01根据a、b、c求椭圆标准方程 题型02求椭圆的焦点、焦距… 题型03根据椭圆方程求a、b、c.… 题型04根据椭圆过的点求标准方程.…. 题型05椭圆中X、y的取值范围.… 题型06椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值…… 题型07求椭圆的离心率或离心率的取值范围… 题型08 求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴。… B组 能力进阶 c.e C组 思维拔高 拓展 链接高考 1/10 8T 8[ 9t... ... 0L" 8 S E Z (L) 盖系一母并丁 品学科网·上好课 www.zxxk.com A组 巩固过关 颗型01 题型O1根据a、b、c求椭圆标准方程 x2,y2 1.(25-26高二上湖北荆州阶段检测)己知椭圆。+护=1的一个焦点为F( 椭圆的标准方程为() A号-1 =1 c.4* 0.42 =1 2(2026河张家口三模)已知椭圆C:。+5a>6>0的离心率为 A.2+2=1 x2 y2 8.3+21 x2,y2 C,4+31 3.2026天南保山二模)设椭圆a2b214>b>0) √5 的离心率为5，， PFF 点P为椭圆E短轴的一个端点，且 的面积为2，则椭圆F的方程为( 2 x2,y2 A.5 y B.54 十 =1 6+4 =1 3 题型02 题型02求椭圆的焦点、焦距 4.（2026河南安阳·模拟预测)已知椭圆22メ上 √2 +片=(a>万)的焦距为之 a A.2 c.2v2 2/10 上好每一堂课 1,0,且过点M0,3),则 则C的方程可以为() x2.y2 =1 D.64 F,分别为其左、右焦点， x2,y2 D.5+2 =1 则a=() D.4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高三下广东揭阳阶段检测)已知椭圆C的右焦点为F,O为坐标原点，其中C的长半轴长为 3,P为C上一点，点为PF中点，若△QOF的周长为4，则C的焦距为() A.1 B.2 C.3 D.4 x2y2 6（2026陕西：模拟预测)将椭圆a+云-1(a>b>0), 的长轴AB分成6等份，过每个分点作x轴的垂线， 交椭圆的上半部分于 ，乃， 五点，F是椭圆的右焦点.若 PF +PF +...+PF =13b ,则椭圆的离心 率为() A月 2 B.13 C.13 D.6 题型03 题型03根据椭圆方程求a、b、c 7（2526商二下海南省直县级单位价段检测)椭圆C等+号-1的个焦点F坐标为() A(0,-) 8.(-L0) c.(2,0) D.(2,0) 8.(2026新疆乌鲁木齐·二模)己知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是(0,8)，一个焦 点是(6,0)，以下为椭圆顶点的是() A.（-10,0) B.（-6,0) C.(8,0) D.(0,10) 9(25:26高二上山东青岛期中)椭圆2+ +2=1的左顶点的坐标为() A.(1,0) B.（1,0) c.(2, D.(2,0) 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 题型04根据椭圆过的点求标准方程 v x 10.(2425高二上江苏徐州阶段检测)与椭圆4+21有相同的焦点，且经过点(V5,2)的椭圆的标准方 程为一 11.(25-26高二下贵州毕节期中)焦点在x轴上的椭圆经过P(4,0),(2,V5) 则下列说法正确的是 () A.长轴为4 B.短轴为2 3 C.焦距为25 e= D.离心率2 (2,0)(0,4) 12.(25-26高二上陕西榆林阶段检测)中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点 的椭圆的标 准方程是() x2.y2 y2,x2 x2.y2 A.42 =1 B 2 x2 =1 42 c,16+41 十 D.164 =1 颗型05 题型05椭圆中x、y的取值范围 13.(25-26高二上·天津：期中)过椭圆c:16+)=1的中心作直线1交椭圆于MT两点，F是椭圆的左 △MFT 焦点，则 周长的最小值是() A17 814 c.6+2V万 D 8+2V7 x2 y2 14.(2425高二上~浙江台州：期末)己知椭圆的标准方程为4+31，下列说法正确的是() A.椭圆的长轴长为2 B.椭圆的焦点坐标为(V7,0)(√万，0 C.椭圆关于直线y=x对称 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.当点)在椭圆上时，网s5 x 15.(24-25高二上天津期中)F,E是椭圆4+y=1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则P听·PF的 最大值是() A.4 B.5 C.2 D.1 题型06 题型06椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 x2,y2 16.(2026陕西咸阳三模)已知椭圆C:)+=1的左焦点为F,点p在椭圆c上，点Q在圆 M:(x-2y+y=1上，则lPO+P的最小值为() A.4 B.5 C.6 D.7 17.(2026高二全国专思练习)已知椭圆C:mm-41(m>4 的右焦点为F,点A(-2,2)为椭圆C内 点.若椭圆C上存在一点P,使得P4+PF=8,则m的取值范国围为《) A.6+2V5,25] B.(6+2V5,25] C.(9,25] D.[9,25] 18.(24-25高二上·重庆铜梁阶段检测)椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反 C: 射光线都汇聚到椭圆的另个焦点上已知能因C:子十尔-10<<2)，R、乃为其左、右焦点.M是C 上的动点，点0)，且+M的最大值为6，则b= ·动直线为椭圆C的切线，右 P(m,n) 焦点5关于直线的对称点为 则点P到直线r+y+6N2=0 的距离的取值范围为 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 题型07求椭圆的离心率或离心率的取值范围 19.(25-26高三下·重庆阶段检测)若椭圆C的焦距是短轴长的√2倍，则椭圆C的离心率是() 2 6 √5 √2 A.3 B.3 C.2 D.2 0.2024河南商正模拟预测)若动直线+心=2m+mER始终与椭圆C:, a+31（a>0且 a≠V3 )有公共点，则的离心率的取值范围是() 2 3 0, 2 x- 4y2 21.(25-26高二上辽宁大连期末)从椭圆。示+京=1（a>b>0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰好为左 焦点5.椭圆与”轴正半轴交点为，椭圆与'轴正半轴交点为8，若1B少OP为原点)，则艇圆的 F 离心率等于() B.2 c.3 √5 A D.3 颗型08 题型08求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 21.(25-26高三上河北秦皇岛期未)已知椭圆C:+片 :京+尔=1Ka>b>0)的左焦点与上顶点都在函数 y=-2x2+2 的图象上，则的长轴长为() A25 8.4 C v5 D.2 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(2525前=上-宁夏期末)已知箱国导+若-1>6>0)约两个售点分别为5(30,50)， 上顶点为P,且 PF3=60 ,则此椭圆长轴长为() 4.6 8.6V5 C12 D.12V5 23。(2026:贵州黔南模拟预测)椭圆M:+上 25+。1与贿圆N259人=1(k<9)的<)7 A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 B组 能力进阶 1(2026重庆万州模)苄点，月为椭黄C:号+号=1份两个能点，P为0上一点，且△R乃的内切阳 16 的半径小于5则点P横坐标的取值范围是() A.（5,-u15) B.[5,-(5] c.（5.-42) D.（5-2(25) 2.(24-25高二上黑龙江哈尔滨阶段检测)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆 的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长的乘积。已知椭圆C: y2 。+存=1(a>b>0)的面积为6x'两个焦点分别为R,乃，点4是椭圆c上的动点， 点B是点A关于原点的对称点，若四边形 AFBF AFBE 的周长为12，则四边形 面积的最大值为() A.45 B.2V5 c.2v35 D.V35 3.(24-25高三上北京海淀期末)已知椭圆C:上4” :2+存=16>0)的焦点在x轴上，点PL,),则() A.P在C外 B.C的长轴长为√2 C.P在C内 D.C的焦距为2b x2,y2 4(25-26高二上江西赣州：期末)椭圆100+64=1的焦距为（） A.6 B.12 C.16 D.20 + 5.(23-24高二上浙江杭州期中)过点(V2,2,且与椭圆25+16 1有相同焦点的椭圆的标准方程为 () B.189 c.123 =1 D.123 ,x2,y2 6.(25-26高二上~重庆期末)过点(-1,2)的直线，与椭圆2+8=1交点个数有() A.0个 B.1个 C.1个或2个 D.2个 C组 思维拔高 1(2526有上t京期中)P加20820，动点ck则“C.C之0”是“号+若1 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 8/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2(25-26高二下陕西安康期中)记椭圆6：号+) 8+4=1的上顶点为A,右焦点为R,则以A为圆心，4F 为半径的圆与E的交点个数为()· A.0 B.2 C.3 D.4 3。(2025四二模)已知储面C若+若=a>b>0的么、右顶点分别为A,及.点加在c上，且 BM=55,AM =13,tanZBAM-5 12,则C的离心率为() 1 1 V114 2V5 A.3 B.2 C.12 D.3 x2.y2 4(25-26高二上：安微卓阳期未)己知椭圆京+京=1a>b>0)的左、右顶点分别为4,4，点M在直线 a2 x=。上运动，c为半焦距，若∠4M4,的最大值为45，则椭圆的离心率e=(） √2 23 √5+1 A.2 B.2 C.3 D.2 拓展 链接高考 1.(2026河南三模)“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指 相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具.如图，现有一椭圆经某同学以 “矩”量之得FA-3cm,R阳-1m,其中厂为精圆的左焦点，P口经过坐标原点0，则该椭圆的短轴长 为() 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6】 A.2cm B.4cm C.2cm D.6cm 2 2.(2526高三全国二轮复习)已知椭圆4+31的右顶点和上顶点为4，B,P为椭圆上的一点，直线P4 与'轴相交于点M,直线PB与'轴相交于点N,则MWBM的值为《) A.3 8.2V5 c.3V5 0.4V6 10/10 分层作业 3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时） 目 录 2 题型01 根据a、b、c求椭圆标准方程 2 题型02求椭圆的焦点、焦距 3 题型03根据椭圆方程求a、b、c 5 题型04根据椭圆过的点求标准方程 6 题型05椭圆中x、y的取值范围 8 题型06椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 10 题型07求椭圆的离心率或离心率的取值范围 13 题型08 求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 14 16 18 18 题型01 根据a、b、c求椭圆标准方程题型01 1．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的顶点坐标 【分析】根据已知条件可知，椭圆的焦点在轴上且，为椭圆的上顶点，求出，进而得出，即可求出椭圆的标准方程． 【详解】椭圆的一个焦点为，则椭圆的焦点在轴上，且， 因为椭圆过点，可知为椭圆的上顶点，所以， 所以， 则椭圆的标准方程为． 故选：C． 2.（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 3.（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中焦点三角形的面积问题 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 题型02求椭圆的焦点、焦距题型02 4.（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 5.（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距 【分析】结合椭圆的定义确定的周长为，进而可求解. 【详解】 设椭圆的长半轴为，半焦距为，由题意得， 设椭圆左焦点为​，原点是的中点， 因为是中点，是中点，所以是 的中位线， 得： ， ， ， 所以的周长为 由椭圆定义， ， 故的周长为 ，得，椭圆的焦距为. 6.（2026·陕西·模拟预测）将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长 【分析】利用椭圆的对称性转化焦半径之和，结合已知条件构造关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的长轴为，分成6等份时5个分点的横坐标依次是： ， 对应点和，和关于轴对称， 右焦点，左焦点， 由椭圆定义可知， 由对称性可得， ， 已知， ，故， ，故， ． 题型03根据椭圆方程求a、b、c题型03 7.（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【详解】由椭圆方程为，可得，，且； ； 又，. ，焦点在轴上，可得焦点坐标为； 椭圆的一个焦点F坐标为. 8.（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的顶点坐标 【分析】依题意求出椭圆所有顶点坐标判断选项即可. 【详解】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆方程为，则有，得， 所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为， 只有A选项符合. 9.（25-26高二上·山东青岛·期中）椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的顶点坐标 【分析】根据椭圆标准方程有，即可得左顶点坐标. 【详解】由椭圆标准方程为，则，故左顶点的坐标为. 故选：B 题型04根据椭圆过的点求标准方程题型04 10.（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 【答案】 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据椭圆过的点求标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 11.（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 12.（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的顶点坐标 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 题型05椭圆中x、y的取值范围题型05 13.（25-26高二上·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆的对称性、椭圆中x、y的取值范围、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆的几何性质可得，进而将三角形的周长转化为，再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值. 【详解】由椭圆：，得，即，. 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，. 所以的周长为. 设，则，， 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 故选：B. 14.（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【答案】D 【知识点】椭圆的对称性、椭圆中x、y的取值范围、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 15.（24-25高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆中x、y的取值范围、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由题意表示出点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 题型06椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值题型06 16.（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【详解】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 17.（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、点和椭圆的位置关系 【分析】椭圆的左焦点为，求出椭圆的两个焦点的坐标，根据椭圆定义得，结合得，根据几何关系求出的范围，从而可得到一个不等式组，进行求解可得m的一个范围；再根据A在椭圆内可得m的另外一个范围；综合两个范围即可得到答案． 【详解】设椭圆的左焦点为， 因，则，则，则，， 由椭圆的定义可知，，∴， ∴，∴， ∵， ∴，当三点共线时，等号成立， ∵椭圆上存在一点，使得， ∴，解得， 又∵点为椭圆内一点， ∴，解得或， 综上可得的取值范围为， 故选：B． 18.（24-25高二上·重庆铜梁·阶段检测）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 【答案】 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆与反光镜的设计问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 题型07求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型07 19.（25-26高三下·重庆·阶段检测）若椭圆C的焦距是短轴长的倍，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】由题意可得，得到，即. 20.（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、点和椭圆的位置关系、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由直线方程得出直线过定点，再由直线与椭圆有公共点列出不等式，结合椭圆离心率公式计算即可． 【详解】由直线得，直线过定点， 由题意得，点在椭圆上或椭圆内部， 所以，则，所以椭圆焦点在轴上， 所以， 故选：C． 21.（25-26高二上·辽宁大连·期末）从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点．椭圆与轴正半轴交点为，椭圆与轴正半轴交点为，若（为原点），则椭圆的离心率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可设(为半焦距)，由于，由斜率相等可求出的坐标，代入椭圆方程即可得出答案. 【详解】由题意可设(为半焦距)，则，又， 因为，所以，得，所以， 把代入椭圆方程得，得， 所以. 故选：B.    题型08 求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴题型08 21.（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】求出，，得到，得到长轴长 【详解】椭圆的上顶点为，代入，可得， 左焦点为，代入，可得，解得， 故，故，故长轴长为. 故选：A 22.（25-26高二上·宁夏·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据焦点坐标得到，再由得到，的关系求解. 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为， 则，又上顶点为P，且，，， 则解得，所以. 故选：D. 23.（2026·贵州黔南·模拟预测）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】A选项，椭圆的长轴长为，椭圆的长轴长为，所以A选项错误； B选项，椭圆的短轴长为，椭圆的短轴长为，所以B选项错误； C选项，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，所以C选项错误； D选项，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以D选项正确. 1.（2026·重庆万州·三模）若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中x、y的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】利用等面积法建立方程，表示出P横坐标，再根据△PF1F2的内切圆的半径取值范围求解. 【详解】由题可知，所以，， 设△PF1F2的内切圆的半径为， 所以， 又，所以，即 又，所以，所以， 所以，因为 所以所以， 所以或，所以点P横坐标的取值范围是 2.（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆定义及辨析、椭圆中x、y的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据椭圆面积得出，结合四边形的周长求得，进而得出椭圆方程，得出，设，根据四边形的面积为即可求解最大面积． 【详解】由题可知，，即， 由四边形的周长为12得，，即，所以， 所以椭圆，则， 设，，则， 所以四边形的面积为， 故选：A．    3.（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【知识点】点和椭圆的位置关系、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 4.（25-26高二上·江西赣州·期末）椭圆的焦距为（   ） A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】直接由求椭圆焦距. 【详解】因为椭圆，所以，则， 所以椭圆的焦距为. 故选：B 5.（23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求共焦点的椭圆方程 【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点为或， 设所求椭圆方程为， 则，解得，所以椭圆方程为. 故选：D 6.（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【知识点】点和椭圆的位置关系、讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 1.（25-26高二上·北京·期中）已知，，动点，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、用定义求向量的数量积、判断点与圆的位置关系、点和椭圆的位置关系 【分析】列出向量，，然后得到，由条件“”得点与圆的位置关系，由条件“”得点与椭圆的位置关系，数形结合即可得到结论. 【详解】，，则， 当时，，表示点在圆上或圆外， ，表示点在椭圆上或椭圆外， 如图 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2.（25-26高二下·陕西安康·期中）记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断两曲线交点的个数、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的顶点坐标 【分析】求出圆的方程，再与椭圆方程联立，转化为求出直线与椭圆交点个数即可. 【详解】椭圆的上顶点，右焦点，， 因此以A为圆心，为半径的圆方程为， 由消去得，而，解得， 直线与椭圆交于两点，所以所求交点个数为2. 3.．（2026·四川·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】因为，所以点在轴右侧，过点作轴，垂足为点， 因为，所以，则, ，, 所以,则， 则点的坐标为或， 代入椭圆方程，得，所以， 所以. 4.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，点M在直线上运动，c为半焦距，若的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，则，根据两角差的正切公式，结合基本不等式，可得，结合条件，可得，根据离心率公式，即可得答案. 【详解】不妨设点在第一象限，设直线与x轴交于点， 且由题可知， 设，则， 又， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故， 因此，即，则， 所以离心率. 故选：A 1.（2026·河南·三模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的短轴长为（    ） A．2cm B．4cm C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆的定义可得，利用垂直关系可得，再求出可得椭圆的短轴长. 【详解】为椭圆的右焦点，连接， 根据椭圆的对称性可知，又，有， 由，有，得， 由，得， 由得，所以椭圆的短轴长为． 2.（25-26高三·全国·二轮复习）已知椭圆的右顶点和上顶点为为椭圆上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的顶点坐标、椭圆中的定值问题 【分析】先确定椭圆的顶点坐标，再设点的坐标，求过该点与顶点连线的方程，算出截距，再得到截距相关线段长度乘积，化简即可. 【详解】   椭圆的右顶点和上顶点为， ，， 设，又点为椭圆上的一点，，即， 又直线的斜率，直线的方程为， 令，可得，则， 又直线的斜率，直线的方程为， 令，可得，则， ， 化简上式 把代入，得 ， 故选：D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $