2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编模拟卷（广东省深圳市适用）

**基本信息** 立足深圳九年级月考，融合一元二次方程与特殊四边形，通过“邻根方程”定义题、几何折叠旋转探究及利润应用，考查运算能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|一元二次方程解、矩形性质、菱形计算|结合学生解题情境（阳阳漏解）| |填空题|5/15|方程解应用、增长率、菱形面积|第13题动态几何求最值| |解答题|7/61|解方程、矩形证明、利润问题、几何探究|“邻根方程”定义探究（18题）、正方形折叠与旋转综合（19-20题）|

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．阳阳在解方程，只得一个解，阳阳漏掉的那个解是（    ） A．x＝3 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝2 【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程，求出两个解，即可得出漏掉的解． 【详解】解：， 因式分解得， ∴ 或， ∴，， ∴ 阳阳漏掉的那个解是x＝0． 故选C． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，属于基础题，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 2．如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，对角线互相平分求解即可． 【详解】解∶∵矩形的对角线相交于点， ∴，， ∴， 故选∶D． 3．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（  ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0， ∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根， ∴， 解得：且k≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 4．在菱形ABCD中，AC是对角线，，连接DE．，，则DE的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】连接BD交AC于K．在Rt△AKD中，利用勾股定理求出DK，再求出EK，在Rt△DKE中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接BD交AC于K． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AK=CK=8， 在Rt△AKD中，DK= ， ∵CD=CE， ∴EK=CE-CK=10-8=2， 在Rt△DKE中，DE=． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型． 5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定，根据矩形的性质，折叠的性质，以及正方形的判定方法，即可得出结论． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形（邻边相等的矩形是正方形）； 故选A． 6．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（   ） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据所列方程，找出未知数x的含义是解题的关键．利用总利润=每顶帐篷的销售利润×日销售量，可找出及的意义，进而可找出x的意义，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价每降价10元，每天可多售出4顶， ∴所列方程中表示每顶帐篷的利润，表示平均每天售出帐篷的数量， ∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数． 故选：C． 7．如图，，点在上，是边长为10的等边三角形，过点作与垂直的射线，，过射线上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为（   ） A． B．20 C． D．40 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形性质，解题关键是证得平分，利用垂线段最短及含角的直角三角形性质求解．如图，连接，由矩形的对角线互相平分且相等，得，再由等边三角形的性质得，即可证得点在的垂直平分线上，再根据等腰三角形“三线合一”性质，得，根据垂线段最短，得当时，的值最小，然后根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形，对角线，的交点为， ， 是等边三角形， ，， ，且平分， 点在的垂直平分线上， 平分， ， 当时，的值最小， 此时， ，， ， 故选：A． 8．如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，则，同时由旋转得到，，先证明，得到，再证明，得到∴，进而利用勾股定理得到的长度． 【详解】解：作于点，则， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴，， 由旋转可知，，，， ∴，， 在与中，，，， ∴， ∴，， ∴， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D ． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．若a为方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，利用整体代入法是解题关键．根据一元二次方程的解的定义，得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：a为方程的一个解， ， ， 则， 故答案为：． 10．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 【答案】20% 【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可. 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x， 根据题意得25×（1-x）（1-x）=16， 整理得， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%， 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键. 11．已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形面积的计算公式：菱形的面积等于对角线的乘积的一半可解答． 【详解】∵菱形的面积等于对角线的积的一半， 那么这个菱形的面积为. 故答案为：. 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质. 12．已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 连接，先利用勾股定理可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， 即线段的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）解下列一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了用合适的方法解一元二次方程，涉及因式分解法，公式法； （1）先将方程变为一般式，再因式分解为，即可求解； （2）先将方程变为一般式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解. 【详解】（1）解：原方程化为 因式分解： 解得：，． （2）解：原方程化为 可得，， ∴ ∴方程有两个不等的实数根 由求根公式得： 解得：，． 15．（本题满分7分）如图，在中，对角线交于点O，且点E是边上一点，连接，若于点E，且， (1)求证：四边形为矩形； (2)延长交的延长线于点F，若，，求边的长度． 【答案】(1) 证明： 四边形为平行四边形 ∴，即， 又 ， 又四边形为平行四边形 ∴四边形为矩形； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解一元二次方程． （1）利用平行四边形的性质求得，推出，证明，证明，即可证明四边形为矩形； （2）证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2） 解：四边形为矩形 又∵，（公共角） ∴ 设，则 整理得， 解得（舍） ∴ ∴在中，． 16．（本题满分8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 17．（本题满分8分）已知是直角三角形且 (1)如图1，点在上，平分，点和点分别是边和上的点，请使用尺规作图作菱形（不写作法，保留作图痕迹），并证明四边形为菱形． (2)如图2，在（1）的条件下，连接和相交于点，若，，求菱形对角线的长． 【答案】(1) 证明：∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O，连接，此时菱形即为所作；根据垂直平分线和角平分线证明，可得，进而即可证明四边形为菱形； （2）先根据勾股定理求出，再结合菱形的性质可得，最后运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 18．（本题满分9分）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 19．（本题满分12分） 探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 【答案】(1) (2)． 证明：如图2，过点A作，交于点H，交于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵于M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点A作，交于点H，交于点N，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，进而可得结论； （3）连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N，由折叠性质得，同（2）方法可得，然后根据正方形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N， 由折叠性质得， 同（2）可得四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴． 20．（本题满分12分） 【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 (1)①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形顶点是矩形对角线的中点，相交于点，延长，，连接．矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 (3)如图3，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与边，相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；②； (2)解：；理由如下： 连接， ∵是矩形对角线的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． (3) 【分析】（1）连接，利用正方形的性质证明可得，进而得到，再利用勾股定理即可得到线段之间的数量关系； （2）连接，利用矩形的性质证明可得，易得垂直平分，即，再利用勾股定理即可得到线段，，之间的数量关系； （3）构造矩形，延长交于G，连接，利用（2）的方法可得，利用勾股定理可得，设，，构建方程可求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵正方形的对角线相交于点， ∴，，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴． 如图：构造矩形，延长交于G，连接， ∵D是矩形对角线的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，， ∴，解得：， 即， ∴的面积为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编模拟卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．阳阳在解方程，只得一个解，阳阳漏掉的那个解是（    ） A．x＝3 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝2 2．如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（  ） A． B．且 C． D．且 4．在菱形ABCD中，AC是对角线，，连接DE．，，则DE的长为（    ） A． B． C．或 D． 5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 6．某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（   ） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 7．如图，，点在上，是边长为10的等边三角形，过点作与垂直的射线，，过射线上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为（   ） A． B．20 C． D．40 8．如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．若a为方程的一个解，则的值为______． 10．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 11．已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的面积是__________． 12．已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 13．如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是________． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）解下列一元二次方程． (1)； (2)． 15．（本题满分7分）如图，在中，对角线交于点O，且点E是边上一点，连接，若于点E，且， (1)求证：四边形为矩形； (2)延长交的延长线于点F，若，，求边的长度． 16．（本题满分8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 17．（本题满分8分）已知是直角三角形且 (1)如图1，点在上，平分，点和点分别是边和上的点，请使用尺规作图作菱形（不写作法，保留作图痕迹），并证明四边形为菱形． (2)如图2，在（1）的条件下，连接和相交于点，若，，求菱形对角线的长． 18．（本题满分9分）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 19．（本题满分12分） 探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） (2)【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 20．（本题满分12分） 【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 (1)①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 (2)如图2，若矩形顶点是矩形对角线的中点，相交于点，延长，，连接．矩形可绕点转动，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 (3)如图3，在中，，，，，点在边的中点处，它的两条边和分别与边，相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $