广东省湛江市赤坎区2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 本试卷聚焦九年级上册一元二次方程与二次函数核心知识，通过周瑜年龄问题、无人机方阵等情境化题目，融合运算能力与模型意识，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数顶点坐标|第9题结合诗词文化考查方程建模，体现数学眼光| |填空题|5/12|二次函数增减性、根与系数关系|第15题以无人机方阵为背景，强化应用意识| |解答题|8/68|方程应用、二次函数综合、利润问题|20题脐橙销售问题分层设计，23题二次函数与几何综合，发展推理能力与模型观念|

2026-2027学年广东省湛江市赤坎区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝0 B．3x2﹣2x+1＝0 C． D．2x2﹣1＝y 2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7 3．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是直线x＝1 B．顶点坐标为（1，3） C．当x＝﹣1时，y的最大值是3 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 4．（3分）已知代数式，，，若x＝y＝1，且z为方程m2﹣2026m+1＝0的一个实根，则的值为（　　） A．2026 B．2028 C．4052 D．4054 5．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 6．（3分）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 7．（3分）已知（﹣6，y1），（﹣4，y2），（2，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣18x+m上的点，则（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 8．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 9．（3分）嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年龄的个位数字是x，则下列说法正确的是（　　） A．列方程为x2＝10（x+3）+x B．列方程为x2﹣10x+30＝0 C．列方程为x2＝10（x﹣3）+x D．周瑜去世时25岁 10．（3分）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7 B．8 C．448 D．512 二．填空题（共5小题，满分12分） 11．（3分）关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 12．（3分）设A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）是抛物线y＝3（x﹣1）2+k图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　 　 （用“＜”连接）． 13．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 　 　 ． 14．（3分）已知抛物线的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＞x2＞x3＞1，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 ． 15．国产某品牌无人机凭借它在AI和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成3行4列，后又增加了30架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为x行，根据题意可列方程为　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程：（x﹣1）2＝3x﹣3． 17．（7分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式． 18．（7分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）已知函数（m为常数）． （1）当m为何值时，y是关于x的一次函数？ （2）当m为何值时，y是关于x的二次函数？ 20．（9分）又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是30元，如果销售单价定为每箱40元，那么日销售量将达到100箱．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2箱． （1）若销售单价定为每箱x元（x＞40），请用含x的式子表示日销售量； （2）要使每天销售这种脐橙盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？ 21．（9分）如图，已知一次函数y＝ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3、﹣1，若二次函数的图象经过A、B两点． （1）求一次函数的表达式； （2）求△ABO的面积． 五．解答题（共2小题，满分14分） 22．2025年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件40元的价格购进一款玩偶，以每件58元的价格出售．经统计，2024年10月份的销售量为256件，2024年12月份的销售量为400件． （1）求该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率． （2）从2025年1月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价1元，月销售量就会在12月份销售量的基础上增加20件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达4800元？ 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，直线y＝kx+b经过点A，B． （1）求A，B，C三点的坐标及直线AB的函数解析式． （2）P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m（m＜0），PQ的长为L．求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； （3）设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点N，使得△NAM为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年广东省湛江市赤坎区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．3x+2＝0 B．3x2﹣2x+1＝0 C． D．2x2﹣1＝y 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一判定四个选项中的方程即可． 【解答】解：A．∵方程3x+2＝0的未知数的最高次数为1， ∴方程3x+2＝0不是一元二次方程，选项A不符合题意； B．方程3x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项B符合题意； C．∵方程y1不是整式方程， ∴方程y1不是一元二次方程，选项C不符合题意； D．∵方程2x2﹣1＝y含有两个未知数， ∴方程2x2﹣1＝y不是一元二次方程． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．1，﹣6，7 B．1，6，﹣7 C．1，6，7 D．1，﹣6，﹣7 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣7＝0的二次项是x2，一次项是﹣6x，常数项是﹣7， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，﹣6，﹣7． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 3．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是直线x＝1 B．顶点坐标为（1，3） C．当x＝﹣1时，y的最大值是3 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 【分析】由二次函数的顶点式可得抛物线的对称轴及顶点坐标，根据二次函数的性质判断即可． 【解答】解：A．对称轴是直线x＝﹣1，故不符合题意； B．顶点坐标为（﹣1，3），故不符合题意； C．当x＝﹣1时，y的最大值是3，故符合题意； D．当x＞1时，y随x的增大而减小，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质与最值，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 4．（3分）已知代数式，，，若x＝y＝1，且z为方程m2﹣2026m+1＝0的一个实根，则的值为（　　） A．2026 B．2028 C．4052 D．4054 【分析】由A，B，C，x＝y＝1，可求出2（z）+2，由z为方程m2﹣2026m+1＝0的一个实根，利用一元二次方程的解，可得出z2026，再将其代入原式＝2（z）+2中，即可求出结论． 【解答】解：∵A，B，C，x＝y＝1， ∴1+z，1+z，， ∴1+z+1+z2z2＝2（z）+2， ∵z为方程m2﹣2026m+1＝0的一个实根， ∴z2﹣2026z+1＝0， ∴z≠0， 方程两边同时除以z得：z﹣20260， ∴z2026， ∴2（z）+2＝2×2026+2＝4054． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式化简求值，通过化简，将原式变形为2（z）+2是解题的关键． 5．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【解答】解：已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点， ∵抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+m， ∴a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴的距离： 点（﹣1，y1）的距离：|﹣1﹣2|＝3， 点（2，y2）的距离：|2﹣2|＝0， 点（4，y3）的距离：|4﹣2|＝2． ∵0＜2＜3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键． 6．（3分）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的求根公式x，即可解答． 【解答】解：∵可以表示一元二次方程的根， ∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 7．（3分）已知（﹣6，y1），（﹣4，y2），（2，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣18x+m上的点，则（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】由抛物线解析式可判断抛物线的开口方向与对称轴，根据各点与对称轴的距离大小求解． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2﹣18x+m＝﹣3（x+3）2+m+27， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，距离对称轴越远的点的函数值越小， ∵|﹣4﹣（﹣3）|＝1＜|﹣6﹣（﹣3）|＝3＜|2﹣（﹣3）|＝5， ∴y3＜y1＜y2， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 8．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 【分析】两边加上一次项系数的一半的平方即可． 【解答】解：x2﹣2x＝2， x2﹣2x+1＝3， （x﹣1）2＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 9．（3分）嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年龄的个位数字是x，则下列说法正确的是（　　） A．列方程为x2＝10（x+3）+x B．列方程为x2﹣10x+30＝0 C．列方程为x2＝10（x﹣3）+x D．周瑜去世时25岁 【分析】根据个位平方与寿符，列出式子，然后求解即可． 【解答】解：假设周瑜去世时年龄的个位数字是x，则十位数字为x﹣3， 由题意可得：x2＝10（x﹣3）+x，化简可得：x2﹣11x+30＝0， 解得x1＝5，x2＝6， 则周瑜去世时年龄为25或36岁， 即C选项正确，A、B、D选项错误，不符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程． 10．（3分）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感． A．7 B．8 C．448 D．512 【分析】由每轮传染中平均一人传染了x人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入64（1+x）中，即可求出结论． 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x人， ∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝64， 整理得：（x+1）2＝64， 解得：x1＝7，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了7人， ∴经过三轮传染后患流感的人数为64（1+x）＝64×（1+7）＝512． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分12分） 11．（3分）关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　﹣2　 ． 【分析】先根据一元二次方程的定义列出方程组，再求出m的值即可． 【解答】解：由题意可知：， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，关键掌握一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12．（3分）设A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）是抛物线y＝3（x﹣1）2+k图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为y1＜y2＜y3 （用“＜”连接）． 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数对称性和增减性判断即可． 【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+k的开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴C（﹣4，y3）关于称轴是直线x＝1的对称点是（6，y3）， ∵2＜3＜6， ∴y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 13．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 　25　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合“α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根”，得到α+β＝2，α2＝2α+4，代入α3+8β+1，经过整理变化，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得：α+β＝2，α2＝2α+4， α3+8β+1 ＝α•α2+8β+1 ＝α（2α+4）+8β+1 ＝2α2+4α+8β+1 ＝4α+8+4α+8β+1 ＝8α+8β+9 ＝8（α+β）+9 ＝16+9 ＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14．（3分）已知抛物线的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＞x2＞x3＞1，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＜y2＜y3 ． 【分析】根据二次函数的增减性来判断，本题二次函数开口向下，对称轴为直线x＝1，当x＞1时，y随x增大而减小，进而可以判断． 【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x增大而减小， ∵x1＞x2＞x3＞1， ∴y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点评】本题考查二次函数的函数值大小比较，解题关键是能根据解析式确定函数的增减性，根据增减性来比较大小． 15．国产某品牌无人机凭借它在AI和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成3行4列，后又增加了30架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为x行，根据题意可列方程为　（3+x）（4+x）＝3×4+30　 ． 【分析】设方阵增加的行数为x行，则新方阵增加了x列，根据增加了30架，使得方阵增加的行、列数相同，列出一元二次方程即可． 【解答】解：设方阵增加的行数为x行，则新方阵增加了x列， 由题意得：（3+x）（4+x）＝3×4+30． 故答案为：（3+x）（4+x）＝3×4+30． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程：（x﹣1）2＝3x﹣3． 【分析】移项后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：移项得， （x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣1﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝4，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选用合适的方法是解答本题的关键． 17．（7分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式． 【分析】设抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），将顶点（﹣1，﹣2）及点（1，10）代入即可解答． 【解答】解：设解析式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）， 则y＝a（x+1）2﹣2， 由条件可得a（1+1）2﹣2＝10，解得：a＝3， ∴y＝3（x+1）2﹣2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，正确设出二次函数解析式是解题的关键． 18．（7分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，且k为正整数，求k的值并求此时方程的解． 【分析】先根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k≥0，解不等式得到k≤1，则正整数k为1，然后利用配方法解此时的一元二次方程． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0， 解得k≤1， ∵k为正整数， ∴k＝1， 此时方程为x2﹣2x+1＝0， （x﹣1）2＝0， 所以x1＝x2＝1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）已知函数（m为常数）． （1）当m为何值时，y是关于x的一次函数？ （2）当m为何值时，y是关于x的二次函数？ 【分析】（1）根据一次函数的定义得m2﹣2＝1且﹣（m+2）≠0，由此解出m即可； （2）根据二次函数的定义得m2﹣2＝2且﹣（m+2）≠0，由此解出m即可． 【解答】解：（1）∵函数是关于x的一次函数， ∴m2﹣2＝1且﹣（m+2）≠0， 由m2﹣2＝1，解得：m， 由﹣（m+2）≠0，解得：m≠﹣2， ∴当m时，函数是关于x的一次函数； （2）∵函数是关于x的二次函数， ∴m2﹣2＝2且﹣（m+2）≠0， 由m2﹣2＝2，解得：m＝±2， 由﹣（m+2）≠0，解得：m≠﹣2， 综上所述：当m＝2时，函数是关于x的二次函数． 【点评】此题主要考查了一次函数和二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义是解决问题的关键． 20．（9分）又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是30元，如果销售单价定为每箱40元，那么日销售量将达到100箱．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2箱． （1）若销售单价定为每箱x元（x＞40），请用含x的式子表示日销售量； （2）要使每天销售这种脐橙盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？ 【分析】（1）根据销售单价每提高1元，日销售量将减少2箱，列出代数式即可； （2）设脐橙的售价单价应定为每箱x元，则每箱的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为（180﹣2x）件，根据总利润＝单件利润乘以销量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意得：100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）（件）； （2）设脐橙的售价单价应定为每箱x元，则每箱的销售利润为（x﹣30）元，日销售量为（180﹣2x）件， 由题意得：（x﹣30）（180﹣2x）＝1600， 整理得：x2﹣120x+3500＝0， 解得：x1＝50，x2＝70（不符合题意，舍去）， 答：这种脐橙的售价单价应定为每箱50元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（9分）如图，已知一次函数y＝ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3、﹣1，若二次函数的图象经过A、B两点． （1）求一次函数的表达式； （2）求△ABO的面积． 【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）利用二次函数的性质可得出点C的坐标，设一次函数与y轴的交点为D，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出△ABO的面积． 【解答】解：（1）当x＝3时，yx2＝3，∴点A的坐标为（3，3）； 当x＝﹣1时，yx2， ∴点B的坐标为（﹣1，）． 将A（3，3）、B（﹣1，）．代入y＝ax+b， ，解得：， ∴一次函数的表达式为yx+1． （2）设一次函数与y轴的交点为D，则点D的坐标为（0，1）， ∴OD＝1， ∴S△OAB•OD（xA﹣xB）1×4＝2． 【点评】本题考查了二次函数的性质、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标． 五．解答题（共2小题，满分14分） 22．2025年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件40元的价格购进一款玩偶，以每件58元的价格出售．经统计，2024年10月份的销售量为256件，2024年12月份的销售量为400件． （1）求该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率． （2）从2025年1月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价1元，月销售量就会在12月份销售量的基础上增加20件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达4800元？ 【分析】（1）设该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款玩偶售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣40）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）只，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）， 所以该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该款玩偶售价为y元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）只， 根据题意得：（y﹣40）（1560﹣20y）＝4800， 解得：y1＝48，y2＝70（舍去）， 所以当该玩偶的售价为48元时，月销售利润达4800元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，直线y＝kx+b经过点A，B． （1）求A，B，C三点的坐标及直线AB的函数解析式． （2）P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m（m＜0），PQ的长为L．求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； （3）设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点N，使得△NAM为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将抛物线变形为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1），令y＝0，即可求出A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），用待定系数法可求直线AB的解析式； （2）设P（m，﹣m2+2m+3），令﹣x+3＝﹣m2+2m+3，可求出Q点横坐标为m2﹣2m，故PQ＝m2﹣3m，即L＝m2﹣3m（﹣1＜m＜0）； （3）由y＝﹣x2+2x+3可知抛物线的顶点坐标M（1，4），设N（0，n），分成以下三类利用勾股定理建立方程讨论直角三角形的存在性，即当∠MAN＝90°时、当∠MNA＝90°时、当∠AMN＝90°时． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）， 令y＝0，则x1＝3，x2＝﹣1， 故A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）， 设直线AB表达式为y＝kx+b，代入A（3，0），B（0，3）， 即，解得， 故直线AB表达式为y＝﹣x+3； （2）设P（m，﹣m2+2m+3）， 令﹣x+3＝﹣m2+2m+3，解得x＝m2﹣2m， 故Q点横坐标为m2﹣2m，PQ＝m2﹣2m﹣m＝m2﹣3m， 即L＝m2﹣3m（﹣1＜m＜0）； （3）存在点N，理由如下： 由y＝﹣x2+2x+3可知抛物线的顶点坐标M（1，4）， 设N（0，n）， ∴AN2＝32+n2＝9+n2，AM2＝22+42＝20，MN2＝12+（n﹣4）2＝（n﹣4）2+1， 当∠MAN＝90°时，由勾股定理可得AM2+AN2＝MN2， 即20+9+n2＝（n﹣4）2+1，解得n； 当∠MNA＝90°时，由勾股定理可得MN2+AN2＝AM2， 即（n﹣4）2+1+9+n2＝20，解得n＝3或1； 当∠AMN＝90°时，由勾股定理可得AM2+MN2＝AN2， 即20+（n﹣4）2+1＝9+n2，解得n， 综上，N的坐标为（0，）或（0，3）或（0，1）或（0，）． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合，直角三角形的判定与性质，勾股定理，两点间的距离公式熟练掌握以上内容并分类讨论是解题关键 学科网（北京）股份有限公司 $