第十三章 三角形几何模型同步提升练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦双内角平分线，通过设角转化与内角和推导，构建“性质应用-角度计算-等量证明”的方法体系，体现几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双内角平分线与垂线结合|典例1(2问)+变式1(3问)+变式2(选择)|设角参数+内角和定理推导|角平分线定义→三角形内角和→角的转化计算| |双内角平分线证等角|典例2+变式|角平分线性质+等量代换证等角|角平分线性质→角关系推导→等角证明|

图形研究 角度转换——平行凸凹型 模型 AB∥CD 结论 模型： AB∥CD 结论 ∠BAE=∠E+∠C 模型三 AB∥CD 结论 题型一 对顶三角形与平行线相结合 【典例1】如图,点 E 在CA 延长线上,DE,AB 交于F,AC∥BD,AB∥CD.∠EAF,∠BDF的平分线交于G,∠EDC=40°,求∠G 的大小. 题型二 两内角平分线与平行线相结合 变式.如图1,AD∥BC,DE平分∠ADB 交AB 于E,∠BDC=∠BCD. (1)求证:∠1+∠2=90°; (2)如图2,BF 平分∠ABD 交CD 的延长线于F 点,若∠ABC=70°,求∠F 的大小. 【典例2】在△ABC中,D为AC上一点,DE∥AB交BC于点E. (1)如图1,BG 平分∠ABC 交AC 于点G,DF 平分∠CDE 交 BG 于点 F.探究∠BFD 与∠C的数量关系，证明你的结论； (2)如图2,∠ABG=2∠CBG,∠EDF=2∠GDF,若∠C=α,直接写出∠BFD 的度数为 (用含α的式子表示). 图形研究 角度转换——平行凸凹型 【典例1】解:设∠EAG=∠FAG=α, ∠EDG=∠BDG=β. ∵AB∥CD,∠EDC=40°, ∴∠DFB=40°, ∠B=∠C=∠EAF=2α, ∴2α+2β=140°,α+β=70°. ∴∠G=180°-40°-β-α=140°-70°=70°. 变式.解:(1)设∠ADE=α,∠BDC=β, ∵AD∥BC, ∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴2α+2β=180°, ∴α+β=90°, ∴∠EDC=α+β=90°,∴∠1+∠2=90°; (2)设∠ABF=∠FBD=α, ∴∠DBC=70°-2α, ∠BDC+∠BCD=180°-(70°-2α)=110°+2α, ∴∠BDC=∠BCD=55°+α, ∴∠F=∠BDC-∠FBD=55°+α-α=55°, ∴∠F=55°. 【典例2】解:( 设∠ABC=2α,∠A=2β, ∵2α+2β=180°-∠C, α+β=180°-∠BFD, 学科网（北京）股份有限公司 $ 教材变式训练 角度转换——一笔画图形 【典例1】求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数. 题型 将不规则图形转化为三角形 变式1.如图,求∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E 的度数. 变式2.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数. 【典例2】如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数. 变式.如图,若∠E=80°,求∠A+∠B+∠C+∠D 的大小. 【典例1】方法1:∠1+∠2=∠B+∠E, ∴∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=180°. 方法2:∠1=∠A+∠C, ∠2=∠B+∠E, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 方法3:∠3=∠4+∠A=∠A+∠B+∠D, ∴∠B+∠D+∠C+∠A+∠E=180°. 变式1.解:连接CD, 则∠DBE+∠E=∠ECD+∠BDC, ∴∠A+∠DBE+∠ACE+∠ADB+∠E=180°. 变式2.解:连接CD,同理得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 【典例2】解:连接DE,同理得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 变式.解:连接CD, 则∠A+∠B=∠ACD+∠BDC, ∴∠A+∠B+∠EDB+∠ACE=100°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 图形研究 角度转换——燕尾型运用 题型一 模型的运用 【典例1】求证:∠BDC=∠B+∠C+∠A. 题型二 模型的运用 变式1.如图 1,∠A=52°,∠B=25°,∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°,那么∠F 的度数是( ) A.70° B.73° C.65° D.60° 题型三 二次模型的运用 变式2.如图2,若∠AED=100°,∠BFC=110°,则∠A+∠B+∠C+∠D= . 【典例2】如图,BP 平分∠ABD,CP 平分∠ACD,∠A=80°,∠D=160°.求∠P 的度数. 变式.如图,∠ABP=2∠DBP,∠ACP=2∠PCD. (1)∠P=120°,∠D=160°,求∠A 的大小; (2)探究∠A,∠P,∠D 间的数量关系 . 【典例1】方法1：延长BD 交AC 于E，二次运用外角定理 方法2：连接BC，二次运用内角和 方法3：连接AD 并延长至E，二次运用外角定理 变式 1. A 提示:连接AD,∠E+∠F=∠B+∠C+∠D+∠A. 变式2.210° 【典例2】解:延长 BP 交AC 于E 点, 设∠ABP=x,∠ACP=y, 则∠P=x+y+80°, ∠D=x+y+∠P=160°, ∴2x+2y+80°=160°, ∴x+y=40°, ∴∠P=40°+80°=120°. 变式.解:(1)设∠PBD=α,∠PCD=β, ∴α+β=40°, ∴2α+2β=80°, 120°=80°+∠A, ∴∠A=40°. (2)3∠P=∠A+2∠D 学科网（北京）股份有限公司 $ 图形研究 角度转换——双角平分线模型的运用 模型一 双内角平分线 结论 模型二 一内一外型 结论 模型三双外角平分型 结论 【典例1】如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB 的角平分线交于点E,CD⊥BE 于D,且∠A=α,求∠DCE 的度数. 变式.如图,∠ABC=90°,∠1=∠2,∠3=∠4,求∠P 的度数. 【典例2】如图,△ABC 中,∠ACB=90°,PA 平分∠CAB,PB 平分∠ABC 的外角,求∠P 的大小. 变式.如图,在△ABC 中,BE 是角平分线,CF 平分外角∠BCD,BF⊥CF 于F,∠A=62°,求∠EBF 的度数. 【典例1】解：易知 变式.解:设∠1=α,∠3=β,∴2α+2β=360°-90°=270°,α+β=135°, 在△ACP 中, ∠P=180°-(α+β)=45°. 【典例2】解:设∠CAP=α,∠PBC=β, β=α+∠P,2β=2α+90°, ∴∠P=45°. 变式.解:延长BE,FC 交于H, 易知 ∴∠EBF=59°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 双内角平分线 题型一 双内角平分线与垂线相结合 【典例1】如图,△ABC 三条角平分线相交于O,OE⊥BC. (1)∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠COE 的大小为 ; (2)∠BOD=α,求∠COE 的大小. 变式1.在△ABC 中,BD平分∠ABC,CE 平分∠ACB,BD与CE 交于点M. (1)如图1,若∠ABC=70°,∠ACB=50°,求∠BMC 的度数; (2)如图2,若MN⊥BC 于N,∠A=60°,求∠1-∠2的值; (3)若∠BEC=x,∠BDC=y,那么∠BMC= . 变式2.如图,已知点 P 为△ABC 三条内角平分线AD,BE,CF的交点,作DG⊥PC 于G,则∠PDG等于( ) A.∠ABE B.∠DAC C.∠BCF D.∠CPE 题型二 结合双内角平分证等角 【典例2】如图,I为△ABC角平分线的交点,过I点作DE⊥AI,分别交AB,AC 于D,E,求证:∠BIC=∠BDI=∠CEI. 变式.如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥OB 交AB 于点 D,求 的值. 【典例 1】(1)55° (2)解:设∠BAD=∠CAD=β,∠ABG=∠CBG=γ,则∠BOD=α=β+γ, ∠BCO=90°-β-γ=90°-α,∠COE=90°-(90°-α)=α. 变式1.解:(1)∠BMC=120°; (2)∠1-∠2=30°. 设∠ABD=α,∠ACE=β,则∠2=α,∠1=90°-β, ∵∠A+2α+2β=180°,∴α+β=60°,∴∠1-∠2=30°; (3)∴x+2α+β=180°,y+α+2β=180°, ∴x+y+3(α+β)=360°, 而∠BMC=180°-(α+β),∴∠BMC=60°+x+3. 变式2. A 【典例2】解：易知 又∵∠CEI=∠BDI=90°+ ∠BAC, ∴∠BIC=∠BDI=∠CEI. 变式.解： 学科网（北京）股份有限公司 $