第十三章《三角形》一 三角形中的基本模型（1） 专项训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以三角形基本导角模型为核心，通过“A”字型、“8”字型等六大模型的结论提炼与阶梯训练，构建系统化的几何直观与推理能力培养体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |“A”字型|4题|导角结论①②|从基础图形到角的转化应用| |“8”字型|3题|对顶角与三角形内角和结论|构建相交线中的角关系模型| |飞镖型|5题|燕尾型角关系结论|复杂图形中角的拆分与整合| |风筝型|4题|折叠后角的等量关系|结合轴对称性质的角推理| |双垂直模型|4题|直角三角形角互余结论|垂直条件下角的数量关系推导| |一线三角模型|2题|三垂直/三等角全等结论|从特殊到一般的角与线段关系|

第十三章《三角形》 专题一 三角形中的基本模型（1） ——基本导角模型 1． “A”字型 结论： ①， ② 1．如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数是（    ） A. B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查三角形的内角和定理，四边形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2. 将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质。 根据三角形外角的性质可得，根据平行线的性质可得． 【详解】解：如图， 由题意知，， ，， ， ， ． 故选：A． 3. 如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝30°，∠BDC＝50°，则∠BDE的度数是 　20°　 ． 【分析】利用三角形的外角性质先求∠ABD，再根据角平分线的定义，可得∠DBC＝∠ABD，运用平行线的性质得∠BDE的度数． 【详解】解：∵∠A＝30°，∠BDC＝50°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝20°． ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠DBC＝∠ABD＝20°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠DBC＝20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，涉及到平行线的性质及三角形内角与外角的关系，熟知以上知识是解题的关键． 2． “8”字型 结论： ①， ②． 5. 如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（    ） A. B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】根据对顶角相等可得，然后根据余角定义和三角形内角和定理进行分析即可．此题主要考查了三角形内角和、对顶角及余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 【详解】解：A、对顶角相等可得，A说法正确，不符合题意； B、， ，说法正确，不符合题意； C、与是对顶角，， 不能得出，说法错误，符合题意； D、，， ，， ，说法正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 7. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 3． 飞镖型（燕尾型） 结论： 8. 一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．当∠BCD是下列哪个度数时，这个零件才有可能是合格的（   ） A．150° B．140° C．130 ° D．120° 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】 延长BC，交AD于点E，根据三角形外角的性质，可得∠1＝∠B＋∠A＝110°，再根据三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠1＋∠D＝140°． 【详解】如图，延长BC，交AD于点E， ∵∠1是ΔABE的外角，∠A＝90°，∠B=20°， ∴∠1=∠B+∠A=20°+90°=110°， ∵∠BCD是ΔDEC的外角，∠D＝30°， ∴∠BCD=∠1+∠D=110°+30° =140°； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和． 9. 如图， 度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 10. 在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中，，，，，则∠D的度数为（    ）    A．35° B．45° C．30° D．24° 【答案】C 【分析】如图，延长交延长线于点，交于点M，可证，再根据，求出、度数，根据四边形内角和计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，交于点M，    ，， ， ，， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质等知识，解题关键是学会添加辅助线． 11. 如图，则的度数是 ．    【答案】/180度 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图，    ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键． 12. 问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现： （1）观察“规形图”，试探究∠D与∠BAC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　50　 °； （ii）如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠P＝130°，∠D的度数 　85°　 ． 【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据三角形外角性质即可得到∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系； （2）（i）由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A，再根据∠A＝40°，∠D＝90°，即可得出∠ABD+∠ACD的度数； （ii）根据（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，再根据BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，即可得出∠BDC的度数． 【详解】解：（1）如图①，连接AD并延长至点F， 根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD， 又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C； （2）（i）由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A； 又∵∠A＝40°，∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50； （ii）由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP， ∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD， ∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°， 又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP， ∴， ∴∠BDC＝45°+40°＝85°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 4． 风筝型 结论： ． 13. 如图，在中，，将沿折叠，使点A落在边上处，下列结论正确的是（    ） A. B． C． D．无法判断与的大小关系 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．由折叠的性质得，，从而求出，由三角形内角和可求出，从而可得． 【详解】解：如图， 由折叠的性质得，，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 14. 如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．由，得，再由折叠的性质得，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， 把沿对折， ， 故选：D． 15. 如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：， 中，， 又，， ， 故答案为：． 16. 探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______； (2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； （2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1）、（2）中思路即可求解； （4）根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，由外角性质可知： ， ， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图所示： 在中，由外角性质可知： ，， ∵， ∴ ． （3）解：由（1）、（2）中思路，由三角形外角性质可知： ，， ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：． （4）解：与的关系为：，理由如下： 如图， ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系． 【点睛】主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 5． 双垂直模型 结论：①， ②． 结论：①， ②． 17. 如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 18. 将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 【答案】75度/ 【详解】解：由题意得，， ∴， ． 19. 如图，中于D，于E，则与的关系是________ 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的两个锐角互余可得，，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． （1）根据同角的余角相等解答； （2）根据同角的余角相等解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． 6． 一线三角模型 类型一 一线三垂直 条件：． 结论：①， ②． 类型二 同侧一线三等角 条件：． 结论：①， ②． 类型三 异侧一线三等角 条件：． 结论：①， ②． 21. 如图，P是内一点，，过点P作直线，交分别于E，F．若，则 ． 【答案】56 【分析】如图，连接，由题意知，，则，由，可知，则，根据，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：56． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 22. 如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据，可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等即可求证． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章《三角形》 专题一 三角形中的基本模型（1） ——基本导角模型 1． “A”字型 结论： ①， ② 1．如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数是（    ） A. B． C． D． 2. 将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3. 如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 4. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝30°，∠BDC＝50°，则∠BDE的度数是 　　 ． 2． “8”字型 结论： ①， ②． 5. 如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（    ） A. B． C． D． 6. 如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 7. 下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 3． 飞镖型（燕尾型） 结论： 8. 一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．当∠BCD是下列哪个度数时，这个零件才有可能是合格的（   ） A．150° B．140° C．130 ° D．120° 9. 如图， 度． 10. 在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中，，，，，则∠D的度数为（    ）    A．35° B．45° C．30° D．24° 11. 如图，则的度数是 ．    12. 问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现： （1）观察“规形图”，试探究∠D与∠BAC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　 　 °； （ii）如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠P＝130°，∠D的度数 　　 ． 4． 风筝型 结论： ． 13. 如图，在中，，将沿折叠，使点A落在边上处，下列结论正确的是（    ） A. B． C． D．无法判断与的大小关系 14. 如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15. 如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 16. 探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______； (2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 5． 双垂直模型 结论：①， ②． 结论：①， ②． 17. 如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 18. 将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 19. 如图，中于D，于E，则与的关系是________ 20. 如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 6． 一线三角模型 类型一 一线三垂直 条件：． 结论：①， ②． 类型二 同侧一线三等角 条件：． 结论：①， ②． 类型三 异侧一线三等角 条件：． 结论：①， ②． 21. 如图，P是内一点，，过点P作直线，交分别于E，F．若，则 ． 22. 如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $