1.1探索勾股定理同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习围绕勾股定理，通过基础应用、模型综合到动态探究的三层设计，实现从概念理解到创新应用的巩固路径，培养抽象能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理直接计算、简单实际应用|如已知直角边求斜边（题1）、直角边扩大对斜边影响（题11），夯实运算能力| |提升|经典模型（赵爽弦图、月牙面积）、情境应用|如“赵爽弦图”面积关系（题5、14）、电杆钢缆距离（题10），发展几何直观| |拓展|动态几何、函数与相似综合|如动点求最值（题3）、动态问题函数关系（题19），培养推理能力与创新意识|

1.1探索勾股定理 一、单选题 1．在中，，，，则（    ）． A．4 B．5 C．2.4 D．2 2．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后从中点垂直向上拉伸至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 3．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（    ） A． B． C．10 D． 4．如图，已知是直角三角形，分别以它的三条边为边向外作正方形，面积分别记为．若，，则的值为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 5．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为，．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（    ） A．19 B．15 C．12 D．6 8．在中，，，．以A为圆心，的长为半径作弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点P．连接，并延长交于D．过D作于点E，垂足为E，则的长度为（） A． B． C．2 D．1 二、填空题 9．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____． 10．如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是________．      11．若直角三角形的两直角边均扩大到原来的5倍，则斜边扩大到原来的____________倍． 12．如图，在中，，分别以，，边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，阴影部分的面积为________． 13．已知在△ABC中，AB= 8，BC =5，∠A=30°，则△ABC的面积是_______． 三、解答题 14．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． (1)若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； (2)若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 15．如图，一木杆在点处折断，离地面的距离，木杆顶端点落在地面，离木杆底端的距离，，求木杆折断之前有多高？ 16．用四个图（1）所示的直角三角形拼成图（2）．在图（2）中，用“两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和”，验证勾股定理． 17．四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图①所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为26，每个直角三角形的面积为4，求中间小正方形的边长； 18．在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)已知，，求a的值； (2)已知，，求a、c的值． 19．如图，在中，，是边上的中线，，，点Q是延长线上的一动点，过点Q作，交的延长线于点P．    (1)当点B为的中点时，求的长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)过点B作交于F，当和相似时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 《1.1探索勾股定理同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B C B D A A 9．69 10． 11．5 12．24 13．/或 14．(1) (2) 15． 16．解：由题意得，图（2）中大正方形边长为，小正方形边长为， ∵图（2）中，两个正方形的面积之差四个直角三角形的面积之和， ∴， ∴， ∴． 17． 18． (1)； (2)， 19．(1)； (2)y关于x的函数关系式，x的取值范围为； (3)的长为4或． 学科网（北京）股份有限公司 $