1.1 探索勾股定理 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础认知、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到实际应用再到规律探究的巩固路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|勾股定理基本表达式与直接计算|以正方形面积（第1题）、直角三角形边关系（第2题）等情境，强化概念理解| |综合应用|实际情境与多步推理|结合梯子（第3题）、折断树（第5题）等生活问题，培养几何直观与运算能力| |拓展探究|跨情境综合与规律探究|通过阅读材料（第14题）、安全距离计算（第12题），发展推理能力与创新意识|

1.1 探索勾股定理 1. （2026·江油期中） 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，分别以AC，AB为边向外作正方形，面积分别为S₁ ， S₂ ， 若S₁ = 3, S₂ = 7,则BC的长为 ( ) A. 4 B. 2 C.  D.  2. 在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是 ( ) A.  B.  C.  D.  3. 如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为（ ） A. 1.5 m B. 1.8 m C. 2 m D. 2.5 m 4.（2026春·瓦房店市期末） 《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有 ( ) 亩 (1亩=240平方步) A．2 B．3 C．4 D．5 5.（2026·玉林期中） 如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（ ） A．8米 B．6米 C．5米 D．3米 6.（2026·北京期中） 如图，∠C=∠ADB=90°，AD=1，BC= CD=2，则AB= ________ . 7.（2025·敦化期末） 如图，这是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长为26cm， 底边上的高为10cm，则底边BC = ________ cm ． 8.（2025·贵阳期中）木工师傅做一个三角形屋梁架 ABC，如图所示，上弦 AB=AC=4m，跨度 BC 为 6m， 为牢固起见，还需做一根中柱 AD（AD 是△ABC 的中线） 加以连接，现有一根长为 3m 的木料，请你通过计算说明这根木料的长度是否适合加工成中柱 AD. 9.（2026·西安期末） 如图，在中，D是边AB的中点，E是边BC上一点，且AE=BE，若，则DE的长为 （ ） A. 3 B.  C. 2 D.  10.（2025秋·兴宁市期末） 如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 ( ) A. 13m B. 17m C. 18m D. 26m 11.  如图，D，E，F均为正方形，△ACB为直角三角形，D的面积为25，E的面积为16，则F的面积为________． 12.  如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有A处需要爆破．已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400m和300m，且CA⊥AB于点A．为了安全，爆破点A周围半径250m的区域内不能有车辆和行人，在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么？如要封闭，至少需要封闭多长距离？ 13. 如图，已知Rt△ABC的三边长分别为6，8，10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 14.（2026春·长乐区期末）阅读材料，解答问题： 背景 如图，在勾股定理的学习过程中，我们知道，把4张全等的直角三角形纸片拼成以弦长c为边长的正方形“弦图”，利用图形面积的不同计算方法可以验证直角三角形的勾股定理：. 应用 （1）其他图形的计算，可以通过转化为直角三角形解决问题. 如是等边三角形，且边长为4，则可求出的面积.  探究 （2）如图，在中，，，，所对的边分别记为a，b，c，请利用勾股定理推导出a，b，c之间的等量关系. 验证 （3）参考用“弦图”验证勾股定理的证明方法，请用n个如图所示的三角形，画出拼图并利用面积的不同算法，验证探究（2）中得出的含角的三角形三边a，b，c之间的等量关系. 请完成材料中应用、探究、验证的解答过程. 1.1 探索勾股定理 1. B.　解析：因为∠ACB = 90°，所以在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC² + BC² = AB² ，由题意知AC² = S₁ = 3，AB² = S₂ = 7，所以BC² = AB² - AC² = 7 - 3 = 4，所以BC = 2. 故答案为：B. 2. B. 解析：在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，∴b是斜边，∴， 故选：B. 3. C. 解析：由题意得∠C = 90°，AB = 2.5m，BC = 1.5m，∵在Rt△ABC中，，∴(m)，∴梯子的顶端距地面为2m 故答案为：C． 4. A. 解析：设长方形田的宽为x步，根据题意得x²+30²= ( 50－x ) ²，解得x=16，∴长方形田的宽为16步，∴长方形田的面积为16×30÷240=2亩 故选：A． 5. A. 解析：由题意可得：AB = 3米，AC = 4米，∠BAC = 90°，由勾股定理可得：BC = 米，∴这棵大树在折断前的高度为AB + BC = 3 + 5 = 8米， 故选：A. 6.   解析：∵∠C=90°，BC=CD=2，∴BD==2.∵∠ADB=90°，BD=2，AD=1， ∴AB==3. 7. 48 解析：∵AB = AC = 26cm，AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，BC=2CD，在Rt△ADC中，DC =  =  = 24cm ，BC = 2DC = 2×24 = 48cm ， 故答案为：48. 8. 解：∵AB=AC=4m，AD是△ABC的中线，BC=6m， ∴AD⊥BC，BD=BC=3m． 由勾股定理，得AD=m， ∵， ∴这根木料的长度适合做中柱AD． 9. C. 解析：因为D是边AB的中点，AE=BE，所以，，所以在Rt中，由勾股定理得： 故答案为：C. 10. B. 解析：∵高为5m，坡面长为13m的楼梯，由勾股定理得：楼梯的水平宽度为：（m），∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12 + 5 = 17（m）． 故选：B. 11. 41 解析：∵△ACB为直角三角形，∴，又∵正方形D的面积为，正方形E的面积为，∴正方形F的面积为． 12. 解：如图，过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=400m，AC=300m， 由勾股定理得：（m）， ， 则（m）， ∵240＜250， ∴在进行爆破时，公路BC段需要暂时封闭， 在Rt△ADE中，（m）， 同理可得：DF=70m， ∴至少需要封闭的距离为：70+70=140（m）， 答：至少需要封闭140m． 13. 解：如图，设以BC为直径的半圆的面积为，以AC为直径的半圆的面积为，以AB为直径的半圆的面积为， ∵Rt△ABC的三边长分别为6，8，10， ∴，，，， ∴ 14. （1）过点A作AM⊥BC于点M，如图1所示： ∴∠AMB = 90°， ∵△ABC是等边三角形，且边长为4， ∴AB = BC = 4， ∵AM⊥BC于点M， ∴BM = 1/2BC = 2， 在Rt△AMB中，∠AMB = 90°， 由勾股定理得：， ∴△ABC的面积为： （2）过点A作AN⊥BC于点N，如图2所示： ∴∠ANB = ∠ANC = 90°， 在Rt△ANB中，∠ANB = 90°，∠B = 60°， ∴∠BAN = 30°， ∴BN = AB = ， 由勾股定理得：AN =  =  = ， ∴CN = BC - BN = a - ， 在Rt△ACN中，∠ANC = 90°， 由勾股定理得：AC² = AN² + CN²， ∴b² = ()² + (a - )²， ∴b² = a² + c² - ac， 即a² + c² = b² + ac （3）用3个含60°角的三角形拼成一个边长为a + c的等边三角形ABC，如图3所示： 则△DEF是一个边长为b的等边三角形， 过点A作AH⊥BC于点H，FK⊥DE于点K，ET⊥BC于点T， ∴∠AHB = ∠FKE = ∠ETB = 90°， 根据等边三角形性质得：BH = BC = ，EK = DE = ， 在Rt△AHB中，∠AHB = 90°， 由勾股定理得：AH =  =  = ， ∴S_{△ABC} = BC·AH = ×(a + c)× = ， 在Rt△FKE中，∠FKE = 90°， 由勾股定理得：FK =  =  = ， ∴S_{△DEF} = DE·FK = ×b× = ， 在Rt△ETB中，∠ETB = 90°，∠B = 60°， ∴∠BET = 30°， ∴BT = BE = ， 由勾股定理得：ET =  =  = ， ∴S_{△BDE} = BD·ET = ×a× = ， ∵S_{△ABC} = 3S_{△BDE} + S_{△DEF}， ∴ = 3× + ， 整理得：a² + c² = b² + ac． 学科网（北京）股份有限公司 $