1.1 探索勾股定理 同步练习题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学八年级上册1.1探索勾股定理同步练，以基础巩固为核心，通过三层递进设计实现从概念理解到综合应用的知识内化，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理直接计算|单选1-3直接应用定理求边长，填空8-9巩固基本公式，解答15-16强化运算能力| |发展层|分类讨论与简单应用|单选4-5涉及折叠、四边形多直角关系，填空10-11训练高位置分类、周长面积关联，解答17-18结合围栏、电线杆场景培养模型意识| |提高层|复杂应用与综合探究|单选6-7融入"折竹抵地"古算题、支架动态问题，填空12-14渗透最短路径、文明行为数学化，解答19-20通过几何证明、风筝测量提升推理与应用能力|

2026-2027学年北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是（   ） A．斜边长为625 B．三角形的周长为84 C．斜边长为25 D．三角形的面积为168 3．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作三个正方形，若其中两个正方形的面积为，，则正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，D是边上一点，连接，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 5．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（    ） A． B． C． D． 7．现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面高度，则此时的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．一直角三角形两边分别为3和4，则斜边长为_____，斜边上的高为_____． 9．在中，，的对边分别为a、b、c，若，则____． 10．在中，，是边上的高，，则__________ ． 11．一个直角三角形斜边长为20，周长为48，则此直角三角形的面积为_______ ． 12．如图，在中，，，，过点B作，垂足为B，，连接，则的长为______． 13．如图，在一条公路的同一侧有、两个村庄，、与公路的距离、分别为和，且、两地相距，若要公路旁（在上）建一个车站，则、两村庄到车站的距离之和最短是______． 14．在生活中，我们经常会看到这种为抄近道而踩踏草坪的不文明现象．我们从实物图中抽象出如图所示的，其中表示两条互相垂直的小路，表示在草坪上踩踏出来的“小路”．经测量得，，那么抄近道可以少走_____．多走几小步，文明一大步！让我们做文明的使者，敢于向不文明行为说！ 三、解答题 15．在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 16．学校操场角落有一块直角三角形空地，两条互相垂直的地面边长分别为12米和16米，学校计划在空地边缘铺设防护围栏． (1)计算该直角三角形空地斜边的边长； (2)计算完整铺设整块空地外围围栏的总长度． 17．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是米．梯子底端B在上，，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米，．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米． 18．为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 19．如图，，，，，交于F． (1)求证：，； (2)连接、，若，，求的值． 20．实践探究小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，如图，表示水平地面，他们进行了如下操作：测得牵线放风筝同学小明的头顶与风筝的水平距离长为米（），放出的风筝线长为米（其中风筝本身的长宽忽略不计），牵线放风筝同学小明的身高为米． (1)求此刻风筝离地面的垂直高度； (2)实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降米，若小明同学站在原地收线，请问他应该往回收线多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 解：在中，，，， ∴， ∴． 2．C 解：∵一个直角三角形的两直角边长分别为和， ∴由勾股定理可得该直角三角形的斜边长为 ， ∴该三角形的周长为， 该直角三角形的面积为， ∴四个选项中只有C选项中的说法正确，符合题意． 3．C 解：如图， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为． 4．B 解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵点C落在边上的点E处， ∴． 5．C 解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 6．A 解：设竹子折断处离地面x尺，则折断处离抵地处尺， 根据勾股定理可得． 7．C 解：由题意得，，， 在中，， ， 在中，． 8．解：①当3，4为直角边时，由勾股定理可得：斜边长2＝32+42＝25， 则斜边长＝5， 直角三角形面积S＝×3×4＝×5×斜边的高， 可得：斜边的高＝． ②当4为斜边时，斜边上的高为 故答案为：5或4，或． 9．解： 设，则， 在中，， ， 又， ， 解得（负值舍去）， ． 10．解：∵是边上的高， ∴， ∴， 分两种情况： ①如图1，点在线段上，由勾股定理得， ， ∴； ②如图2，点在线段延长线上，同①得：， ∴； 综上所述，的长为21或11． 11．解：设此直角三角形的两条直角边长分别为，， ∵斜边长为，周长为， ， ∴， 根据勾股定理得 ， 对两边平方，由完全平方公式得： ， 将代入得 ， 整理得， 即， 此直角三角形的面积为． 12．解：如图，过点D作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 13．解：延长到，使，则与点A关于对称， 连接交于点P，连接，则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 过点B作的垂线，垂足为点E， 在直角中，，， 由勾股定理得： ， ∴， 故A、B两村庄到车站的距离之和最短是． 14．解：根据题意，， 在中，，， ∴， ∴， 即抄近道可以少走． 15．（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ． 16．（1）解：该直角三角形空地斜边的边长， 答：该直角三角形空地斜边的边长为； （2）解：， 答：铺设整块空地外围围栏的总长度为． 17．解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，则米， 由题意列方程为：， 解得， 答：此时梯子底端到右墙角点的距离是米． 18．（1）解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 19．(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设交于点，则， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∴ ． 20．（1）解：由题意得：米，米，米， 在中，由勾股定理得：（米）， （米）， 答：此刻风筝离地面的高度为米； （2）如图，设风筝沿方向下降米至点， 则米， （米）， （米）， （米）， 答：放风筝的同学要使风筝沿方向下降米，若该同学站在原地收线，他应该往回收线米 $