第3章 图形的相似 大单元教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学《图形的相似》大单元教学设计，系统整合比例线段、相似多边形、相似三角形判定与性质、位似及实际应用等核心内容，遵循从一般到特殊的逻辑，通过类比全等三角形构建知识网络，串联起概念、定理与应用的内在联系。 其亮点在于以“观察-猜想-操作-验证-证明”为主线，如通过测量、画图探究平行线分线段成比例定理，开展“测量校园大树高度”实践活动培养模型观念。分层设计基础与拓展训练，配合课时达成评价体系，助力学生提升几何直观与推理能力，也为教师提供精准复习教学支持。

( 第 3 章《 图形的相似 》 大 单元教学设计 )学 科 数学 年 级 九上 设计者 教材版本 北师大版 册、章 上册第三章 课标要求 1. 了解比例线段，理解相似多边形、相似三角形的概念，知道全等是特殊的相似，能识别相似图形，找准图形的对应边、对应角。 2. 掌握平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的判定定理与性质定理，能够利用定理开展几何计算与逻辑证明。 3. 经历 “观察 — 猜想 — 操作 — 验证 — 证明” 探究过程，发展合情推理与演绎推理，提升几何直观、模型观念。 4. 理解位似图形的概念，会利用位似将图形放大、缩小；能够运用相似三角形解决现实测量等实际问题，体会相似变换在生活、测绘、模型设计中的应用价值。 内容分析 图形的相似是平面几何重要内容，是全等图形的延伸与拓展，核心研究 “形状相同，大小可以不同” 的图形关系。本章建立在七年级全等三角形、八年级平行四边形、比例运算知识基础之上，从成比例线段入手，依次研究相似多边形、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、位似变换以及相似的实际应用。本章的学习既是对前面几何知识的巩固提升，也为后续学习解直角三角形、圆、投影与视图以及高中解析几何奠定重要基础。相似将代数比例运算与几何图形紧密结合，学生在探究过程中体会类比、转化、模型思想，提升几何推理、数形结合能力，丰富图形变换的数学活动经验。 学情分析 学生已经掌握全等三角形的定义、性质、判定，熟悉平行四边形相关几何推理，具备一定图形观察、简单逻辑证明能力，会基础比例计算。九年级学生已经可以接受较为复杂的几何探究，但从 “全等（量相等）” 过渡到 “相似（量成比例）” 存在思维难点。学生容易出现：找不准相似图形的对应边、对应角；混淆相似判定条件，误用两边成比例但非夹角；面积比错误等同于相似比；不会从复杂图形中剥离出相似三角形；代数比例运算与几何推理结合时思路混乱。部分学生分不清位似与一般相似的区别。教学中多用对比、动手操作、图形标记，强化对应关系识别，搭建从直观感知到严谨证明的台阶，加强代数运算和几何证明融合训练。 单元目标 （1） 教学目标 1. 经历现实情境中相似图形观察、操作、猜想、证明全过程，理解成比例线段，认识相似多边形与相似三角形，体会类比思想，丰富数学活动经验，发展合情推理与演绎推理能力。 2. 理解相似多边形、相似三角形、位似的概念，厘清全等与相似的包含关系；掌握平行线分线段成比例定理。 3. 探索并证明相似三角形判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），掌握相似三角形性质：对应角相等，对应边、对应高、中线、角平分线、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 4. 了解位似变换，会利用位似放大缩小图形；能建立相似三角形模型解决测量高度、距离等实际问题。 （二）教学重点、难点 教学重点：成比例线段；相似三角形判定定理、性质定理的理解与应用；平行线分线段成比例；利用相似解决实际问题。 教学难点：在复杂图形识别相似三角形；准确找准对应边、对应角；相似判定定理的灵活选用；面积比与相似比的区分；相似模型构建解决实际应用题；比例运算与几何证明综合。 单元知识结构框架及课时安排 （1） 单元知识结构框架 （2） 教材特点： 1.立足生活实例，直观引入概念。教材借助照片放大、地图、投影仪、建筑模型等现实素材引出相似图形，通过测量、画图、几何画板缩放操作，引导学生从直观感知上升到抽象定义，降低比例与相似的抽象难度。 2.遵循 “从一般到特殊” 编排逻辑：先研究成比例线段、相似多边形，再聚焦核心的相似三角形；先探究判定，再推导性质，最后拓展到位似变换与实际应用，体现类比思想，对比全等三角形开展学习。习题分层设置，基础训练巩固比例运算与定理识记，开放探究题训练 “添加条件使三角形相似” 等题型。 3.重视动手探究与推理论证结合。鼓励画图、度量、缩放实验，先猜想再进行严格证明，将合情推理与演绎推理相结合；相似三角形判定由原来选学调整为必学内容，重视定理完整证明过程，规范证明书写格式。 4.强化代数与几何融合。将比例代数运算融入几何，打通代数计算与几何证明，为后续圆、三角函数做好铺垫。 5.突出模型思想与实际应用。设置综合实践活动，利用影子、标杆、镜子反射完成物体高度测量，把现实问题抽象为相似三角形几何模型，提升学生解决真问题能力。 （三）教学设计思路建议： 1. 类比旧知导入，搭建认知桥梁。从全等三角形提问：“如果图形形状不变，大小改变，对应边不再相等，而是成倍数关系，图形是什么关系？” 对比全等与相似，激活已有几何知识，完成从 “相等” 到 “成比例” 思维过渡。 2. 落实 “操作 — 观察 — 猜想 — 验证 — 证明” 探究流程。例如，通过画平行线，度量被截线段长度，猜想平行线分线段成比例，再进行证明，避免死记硬背定理。 3. 强化对比辨析，厘清易混点。用表格对比全等与相似；区分判定定理条件，重点强调两边成比例必须夹角相等；专项辨析周长比、面积比与相似比，训练标注对应顶点找对应边、对应角的习惯。 4. 重视图形识别训练，突破复杂图形难点。教会学生从复杂组合图形中标记、剥离出基础相似三角形；示范如何根据已知条件，选择最简判定路径，规范几何证明书写。 5. 开展实践活动，落实模型应用。创设真实情境：“如何测量校园大树的高度？” 引导学生构建相似三角形模型，思考影子法、标杆法、镜面反射法不同方案，体会数学建模价值。 6. 分层教学兼顾不同学生。基础薄弱学生重点训练识别相似图形、比例基础运算、简单证明；学有余力学生拓展：相似综合模型（A 字型、8 字型）、位似坐标变换、多步综合证明、开放探究题，提升综合推理能力。 （二）课时安排 课时编号 单元主要内容 课时数 3.1.1 3.1.1 相似多边形（1） 1 3.1.2 3.1.2相似多边形（2） 1 3.2.1 3.2.1 探索三角形相似的条件(1) 1 3.2.2 3.2.2 探索三角形相似的条件(2) 1 1.3.2 3.2.3 探索三角形相似的条件(3) 1 3.2.4 3.2.4 探索三角形相似的条件(4) 1 3.3.1 3.3.1 相似三角形判定定理的证明(1) 1 3.3.2 3.3.2相似三角形判定定理的证明(2) 1 3.4.1 3.4.1 相似三角形的性质(1) 1 3.4.2 3.4.2 相似三角形的性质(2) 1 3.5.1 3.5.1 图形的位似(1) 1 3.5.2 3.5.2 图形的位似(2) 1 达成评价 课题 课时目标 达成评价 评价任务 3.1.1 相似多边形（1） 1. 结合生活实例认识相似图形，理解相似多边形的定义，明确相似多边形需要同时满足 “对应角相等，对应边成比例” 两个条件。 2. 能够在相似多边形中准确识别对应顶点、对应角、对应边，会依据定义简单判断两个多边形是否相似。 3. 经历观察、对比、辨析的探究过程，提升几何直观，发展观察归纳能力。 1. 能说出相似多边形的定义，准确找出相似多边形的对应角与对应边。 2. 会利用定义辨析简单多边形是否相似，知道两个条件缺一不可。 活动一：情境导入，展示放大照片、地图、缩放的几何图形，引导学生观察形状相同的图形，引出相似图形概念。 活动二：探究新知，对比两组多边形，小组交流归纳相似多边形定义，辨析 “只角相等不一定相似、只边成比例不一定相似”。 活动三：例题精讲，给出四边形、五边形实例，标注对应顶点，书写对应角、对应边。 活动四：针对训练，完成识图、判断题，学生作答展示，教师纠错点评。 3.1.2相似多边形（2） 1. 理解相似比的概念，知道相似比具有顺序性；掌握相似多边形的性质。 2. 能够利用相似多边形的性质求多边形的边长、内角；理解全等是相似比为 1 的特殊相似。 3. 通过变式练习，提升学生利用相似多边形性质进行计算的能力。 1. 理解相似比的顺序性，会求两个相似多边形的相似比。 2. 能利用相似多边形性质完成角度、边长的相关计算，分清全等与相似的关系。 活动一：复习导入，回顾相似多边形的定义，提问对应角、对应边的关系。 活动二：探究新知，引出相似比概念，通过实例说明顺序性，对比全等多边形得到全等和相似的包含关系。 活动三：例题精讲，已知相似多边形，求未知边长与内角度数。 活动四：变式训练，完成易错题练习，对易错点进行辨析讲评。 3.2.1 探索三角形相似的条件(1) 1. 类比全等三角形的判定，猜想三角形相似的判定方法。 2. 探究并掌握 “两角分别相等的两个三角形相似” 这一判定定理。 3. 能在基础图形中识别两组相等角，完成简单的三角形相似推理，认识 A 字型基本图形。 1. 熟记两角分别相等的三角形相似判定定理。 2. 能在简单图形中找出两组相等角，判定两个三角形相似，写出简单推理过程。 活动一：复习导入，回顾相似三角形定义，对比全等三角形判定，提出问题：判定相似是否需要全部条件？ 活动二：合作学习，画图、度量，猜想两角分别相等的两个三角形相似。 活动三：例题精讲，结合 A 字型图形，示范书写相似推理步骤。 活动四：巩固练习，学生独立完成习题，展示答题过程。 3.2.2 探索三角形相似的条件(2) 1. 掌握 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 判定定理。 2. 通过反例辨析，明确 “两边成比例但不是夹角，不能判定三角形相似”。 3. 会根据已知边、角条件选择判定，提升逻辑辨析能力。 1. 理解两边成比例且夹角相等的判定条件，重点把握 “夹角” 这一关键。 2. 能够识别反例，排除非夹角的错误判定，完成基础证明。 活动一：复习导入，回顾上节课两角判定相似的定理。 活动二：类比全等 SAS，动手画图开展探究，归纳判定定理；画图举出反例，说明非夹角不能判定相似。 活动三：例题精讲，示范如何找夹角、列比例式判定三角形相似。 活动四：针对训练，选择条件判断三角形是否相似，对错误选项进行分析。 3.2.3 探索三角形相似的条件(3) 1. 掌握 “三边成比例的两个三角形相似” 判定定理。 2. 学会把三角形三边按大小排序，列出对应比例式，依据三边关系判定三角形相似。 3. 类比全等 SSS，体会类比的数学思想。 1. 掌握三边成比例判定三角形相似的定理。 2. 会将边长排序，找准对应边，通过计算比例判断三角形相似。 活动一：复习导入，回顾前两个三角形相似判定定理。 活动二：小组探究，类比全等 SSS，画图猜想：三边对应成比例，两三角形相似。 活动三：例题精讲，给出两个三角形三边长度，示范排序、求比值、判定相似完整步骤。 活动四：巩固训练，完成数字型判定习题，学生展示计算过程。 3.2.4 探索三角形相似的条件(4) 1.理解黄金分割的概念． 2.探索并掌握黄金比，能够进行黄金分割的有关计算． 3.感受黄金分割所蕴含的文化价值，发展学生应用意识和审美意识． 1.应用黄金分割解决实际问题． 2.会推导黄金比，能够运用相似三角形证明某个点是一条线段的黄金分割点． 活动一：理解探索并掌握黄金比。 活动二：例题精讲，能够进行黄金分割的有关计算，培养学生分析问题和解决问题的能力。 3.3.1 相似三角形判定定理的证明(1) 1. 理解 “两角分别相等的两个三角形相似” 的证明思路，掌握作平行线、构造全等三角形的辅助线方法。 2. 能看懂完整证明过程，说出每一步推理依据，体会 “将相似转化为全等” 的转化思想。 1. 理解两角分别相等判定定理的完整证明逻辑。 2. 能说出辅助线的作用，复述关键推理步骤。 活动一：复习导入，回顾两角相等的相似判定定理。 活动二：探究新知，引导学生思考证明思路，作平行线截取线段，构造全等三角形，完成定理证明板书。 活动三：拆解证明，逐句分析已知、辅助线、全等推导、得到相似的逻辑链条。 活动四：课堂任务，学生口头复述证明思路，完成证明填空练习。 3.3.2相似三角形判定定理的证明(2) 1. 完成 “两边成比例且夹角相等”“三边成比例” 两个判定定理的证明。 2. 进一步体会作平行线构造全等的统一证明方法，感悟转化的数学思想。 3. 提升学生阅读理解几何证明、识别辅助线作用的能力。 1. 读懂另外两个判定定理的证明过程，理解辅助线的设计目的。 2. 能区分三个判定定理证明的相同思路与不同点。 活动一：复习导入，回顾上节课 “作平行线构造全等” 的证明思想。 活动二：探究新知，依次推导两边成比例夹角相等、三边成比例的判定证明。 活动三：对比归纳，总结三个判定定理证明的共同思路。 活动四：针对训练，补全定理证明的关键步骤，写出推理依据。 3.4.1 相似三角形的性质(1) 1. 探究并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2. 会利用对应线段的性质进行简单的计算与推理。 3. 经历性质推导证明，发展演绎推理能力。 1. 掌握相似三角形对应高、中线、角平分线之比等于相似比。 2. 已知相似比，能够求解对应线段的长度。 活动一：复习导入，回顾三角形相似的判定方法。 活动二：探究新知，分别推导证明相似三角形对应高、中线、角平分线与相似比的关系。 活动三：例题精讲，利用对应线段的性质完成相关计算。 活动四：基础巩固训练，完成对应线段的求值习题。 3.4.2 相似三角形的性质(2) 1. 掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 2. 分清相似比、周长比、面积比之间的关系，纠正面积比等于相似比的常见错误。 3. 能够综合运用相似三角形的性质完成计算和简单证明。 1. 厘清周长比、面积比和相似比的关系，规避面积比易错点。 2. 综合运用性质完成边长、周长、面积相关计算与简单证明。 活动一：复习导入，回顾相似三角形对应线段的性质。 活动二：探究新知，推导周长比、面积比，重点辨析 “面积比是相似比的平方”。 活动三：例题精讲，已知面积比反求相似比、周长。 活动四：易错点专项练习，讲评学生高频错题 3.5.1 图形的位似(1) 1. 理解位似图形、位似中心、位似比的概念，知道位似是一种特殊的相似变换。 2. 能够识别位似图形，找出位似中心，区分位似图形与一般相似图形。 3. 感知位似在图形放大、缩小中的作用 1. 掌握位似的概念，分清位似与普通相似的联系和区别。 2. 会判断图形是否为位似图形，准确找出位似中心。 活动一：情境导入，观察图片缩放，感知位似变换。 活动二：探究新知，归纳位似图形定义、性质，对比普通相似图形。 活动三：例题精讲，识别位似图形，标记位似中心。 活动四：判断辨析训练，区分相似和位似。 3.5.2 图形的位似(2) 1. 掌握利用位似把图形放大或缩小的作图方法。 2. 掌握平面直角坐标系中位似变换点的坐标变化规律，能进行相关坐标计算。 3. 能完成简单位似作图，提升动手作图能力与数形结合意识 1. 可以完成简单的位似放大、缩小作图。 2. 理解坐标系中位似点的坐标变化，会求位似变换后的对应点坐标。 活动一：复习导入，回顾位似图形、位似中心、位似比概念。 活动二：探究新知，学习位似作图步骤；探究平面直角坐标系中位似的坐标变化规律。 活动三：例题精讲，在坐标系中完成位似作图，求变换后点的坐标。 活动四：综合训练，完成作图题与坐标计算题，展示学生成果。 学科网（北京）股份有限公司 $