精品解析：四川达州市宣汉县天生中学2026-2027学年九年级上学期开学学情调研数学试题

宣汉县天生中学2026-2027学年九年级上学期开学学情调研数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古建筑墙上采用的八角形空窗的轮廓是一个正八边形．正八边形的一个外角是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 6. 如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式组有解，且使关于的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数的和为（ ） A. -9 B. -8 C. -5 D. -4 9. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 如图，等边△ABC中，，是上一点，且，点为边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 多项式有一个因式是，则多项式的另一个因式是______． 12. 如图，在中，AB的垂直平分线交BC边于点D，交AB于点F，AC的垂直平分线交BC边于点E，交AC于点G，连接AD、AE若，，则的长为_________． 13. 若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 ____． 14. 关于x的不等式组恰有两个整数解，m的取值范围为______． 15. 已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 计算 （1）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组：并求出它的整数解． 18. 解分式方程： （1）． （2）． 19. 先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 20. 如图，在中，是的角平分线，于点，连接，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）把向上平移个单位长度得(A、B、C的对应点分别是、、，请画出； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，请画出（A、B、C的对应点分别是，，，并写出的坐标； （3）在（2）条件下，求边扫过的面积． 22. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 23. 如图，在平行四边形中，线段与交于点O，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，， （1）若F为边上的中点，连接，求证：四边形为平行四边形． （2）若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 24. 如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出时，的取值范围． 25. 已知，为等腰直角三角形，，连接． （1）如图1，若C，B，E三点在一条直线上，且，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，点M为中点，连接，若C，B，E三点在一条直线上，且，请判断与的关系，并说明理由； （3）如图3，点M为中点，连接，当，，时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣汉县天生中学2026-2027学年九年级上学期开学学情调研数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．据此逐选项判断即可． 【详解】解：A选项是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 若，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．利用不等式的基本性质化简，判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，故本选项不符合题意； C．当时，，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 我国古建筑墙上采用的八角形空窗的轮廓是一个正八边形．正八边形的一个外角是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为，除以即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为， 又∵正八边形的8个外角都相等， ∴正八边形的一个外角为. 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的右边不是几个整式的积的形式(含有分式)，不是分解因式，故本选项不符合题意； C ．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； D．从左到右的变形是整式乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意； 故选 C． 【点睛】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式． 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 6. 如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质是解决问题的关键． 由题意，结合垂直平分线的性质得到，再结合即可得到答案． 【详解】解：的边，的垂直平分线交于点， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角的性质，熟练掌握相关性质，并灵活运用，是解题的关键．据平行四边形的性质，得到，进而得到，，设的度数为，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设的度数为，则：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8. 若关于的不等式组有解，且使关于的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数的和为（ ） A. -9 B. -8 C. -5 D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】先求不等式组的解集，根据不等式组有解，可得，然后再解出分式方程，再根据分式方程的解为非负数，可得，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵不等式组有解， ∴，解得：， ， 去分母得：， ∵分式方程的解为非负数，且不等于2 ∴，即且， ∴，且 ∴满足条件的所有整数有-5、-4、-3、-2、0、1、2、3， ∴满足条件的所有整数的和． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的基本步骤是解题的关键． 9. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定②正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形的性质确定和，进而得到，可判断③不正确． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵为中点， ∴．故①正确． ②如下图所示，连接，， ∵是中点， ∴． ∵、分别是、中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确． ③如上图所示：∵是中点， ∴． ∵是中点， ∴． ∵平行四边形的对角线、交于点， ∴是中点，． ∴． ∵是中点，是中点， ∴． ∴．故③不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键． 10. 如图，等边△ABC中，，是上一点，且，点为边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及矩形的判定与性质．通过等边三角形性质得出，再利用则当、、三点共线时，的周长最小，结合为矩形即可求解． 【详解】解：如图，作于点，作于点，则， ， 是等边三角形，， ，，， ， ， 由勾股定理得， 线段绕点按顺时针方向旋转至， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在到直线的距离为的一条直线上运动，设这条直线与的交点为，则，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则当、、三点共线时，的周长最小，如图： ，， ， 由轴对称的性质得，， 四边形是矩形 ，，即， ， 的周长． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 多项式有一个因式是，则多项式的另一个因式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分解因式的定义，设出未知因式，利用多项式相等时对应项系数相等求解. 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则 将等式右边展开，得， 由多项式相等，对应项系数相等，可得 解得， 因此多项式的另一个因式为， 故答案为 12. 如图，在中，AB的垂直平分线交BC边于点D，交AB于点F，AC的垂直平分线交BC边于点E，交AC于点G，连接AD、AE若，，则的长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质推出，，得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 13. 若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 ____． 【答案】且 【解析】 【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤是解题关键． 14. 关于x的不等式组恰有两个整数解，m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键确定不等式的解集，注意表示解集的不等式是否含等号． 可先用m表示出不等式组的解集，再根据有两个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围． 【详解】解： 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为， ∵该不等式组恰有两个整数解， ∴整数解为2，3， ∴ ∴m的取值范围为． 故答案为：． 15. 已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点问题、旋转的性质以及一元一次不等式，先求坐标，再根据旋转，利用坐标变换得点和点的坐标，最后代入直线方程求临界值确定的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 将代入中， 得， 即， 点在直线上， ， 即， 绕点顺时针旋转到， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 当点在直线上， 即 解得， 当点在直线上， 即 解得， 线段与直线相交， 的取值范围为． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式符合平方差公式形式，直接用公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 计算 （1）解不等式：，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组：并求出它的整数解． 【答案】（1） ，在数轴上表示： （2），整数解为： 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：， 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 整数解为：． 18. 解分式方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． （2）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． 【小问1详解】 解：在方程两边同乘以，得：， 整理得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 解：在方程两边同乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的解． 19. 先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】注意分式有意义的条件是分母不为0，故且，故只能选3代入求值． 【详解】解：原式 由，知且且，故取，代入得原式的值为 ． 20. 如图，在中，是的角平分线，于点，连接，求的长． 【答案】， 【解析】 【分析】利用直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半，可求得的长；利用证明，从而得到，又可求得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，证明等边三角形是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）把向上平移个单位长度得(A、B、C的对应点分别是、、，请画出； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，请画出（A、B、C的对应点分别是，，，并写出的坐标； （3）在（2）条件下，求边扫过的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求作， 的坐标； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，作出即可； （2）根据旋转的性质，作出即可； （3）根据勾股定理和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，，，， 边扫过的面积． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了作图平移变换，旋转作图，旋转的性质，扇形面积的计算，数形结合是解题的关键． 22. 年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． （1）求款、款手表每块的进价分别为多少元？ （2）该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】（1）款手表每块进价元，款手表每块进价元 （2）元 【解析】 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； 【小问2详解】 解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 23. 如图，在平行四边形中，线段与交于点O，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，， （1）若F为边上的中点，连接，求证：四边形为平行四边形． （2）若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵为边上的中点， ∴是的中位线， ， ∵为边上的中点， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2） 解：， 证明如下： 如图，延长，交的延长线于点， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，得，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）延长，交的延长线于点，证明，推出，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据可求出，从而可求出，进而可求出；联立，可求出，从而可求出，最后根据求解即可； （3）根据求时，的取值范围，即求的图象在的图象上方时，的取值范围，再结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：，解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可知． 对于，令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴； 联立，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据图象可知当时，的图象在上方，即此时， ∴的取值范围是． 25. 已知，为等腰直角三角形，，连接． （1）如图1，若C，B，E三点在一条直线上，且，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，点M为中点，连接，若C，B，E三点在一条直线上，且，请判断与的关系，并说明理由； （3）如图3，点M为中点，连接，当，，时，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 为等腰直角三角形，， ， 四边形为平行四边形； （2） 解：，理由如下： 如图1， 延长，交的延长线于F， 由知，， ， 点M是的中点， ， ≌， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）延长，交的延长线于，可证得，从而，由此可证△是等腰直角三角形，从而得到结论； （3）延长至，使，连接，可证得，进而得出是等腰直角三角形，从而，作，交的延长线于，作的垂直平分线，交于，设，则，根据得出方程，从而得出的值，进一步得出结果． 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2， 延长至F，使，连接， 由知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∵M是中点， 也是等腰直角三角形， ． 作，交的延长线于W，作的垂直平分线，交于V， 则， ， ， 设，则， 由得， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $