精品解析：四川达州市开江县讲治中学2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

开江县讲治中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 数轴上某不等式的解集表示如图所示，则该不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得线段中B落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   　） A. B. C. D. 7. 如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 8. 若关于的分式方程的解为，则m的值是（ ） A. 2 B. 0 C. -2 D. 3 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 使代数式有意义的x的取值范围是_____． 10. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 11. 一个多边形所有的内角与它所有的外角之和是，过这个多边形的一个顶点可画出________条对角线． 12. 如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ___________ ． 13. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点，若，，则的长为 _____．     三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）求不等式的正整数解； （2）解方程：． 15. （1）解不等式组： （2）先化简：，然后在中选取一个合适的数作为代入求值． 16. 在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 17. 如图，都是等边三角形，，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． （1）求的值； （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围； （3）已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则_________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为__________． 21. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 22. 若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为_____． 23. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折得到，连接，则的长为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 按要求解答下列问题： （1）若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； （2）已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 25. 随着中国动画电影哪吒之魔童闹海的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵元按售价购买，用元购买的“哪吒”手办的数量是用元购买的“敖丙”手办的数量的倍． （1）求每个“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别是多少元． （2）某班举办爱心义卖活动，准备从该玩具公司购进“哪吒”手办和“敖丙”手办共个进行售卖，且将每个“哪吒”手办的售价定为元，每个“敖丙”手办的售价定为元若本次购进“哪吒”手办的数量不少于购进“敖丙”手办数量的，应如何设计购买方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 26. 在中，E，F分别是边，上的点，与相交于点M． （1）如图1，若，，，求证：； （2）在（1）的条件下，连接，，．若，以，，三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形？请说明理由； （3）如图2，当，，连接，若，求线段的长（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开江县讲治中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 数轴上某不等式的解集表示如图所示，则该不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向右可知，根据表示数的点是实心点，所以，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集为． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，因式分解错误，不符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 4. 要使分式有意义，需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 5. 如图，在中，是高，是的中点，的面积与的面积相等，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查三角形中线的性质，根据三角形中线性质得到的面积与的面积相等，由此推出的面积的面积，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵D是的中点， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积与的面积相等， ∴的面积的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴， ∴， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得线段中B落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点及其对应点坐标确定平移规律，再计算点对应点坐标即可得到答案． 【详解】解：点平移后得到对应点， 横坐标变化为，纵坐标变化为， 可得平移规律为：横坐标减，纵坐标减， 点的坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， 即． 7. 如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点M， ∵是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 8. 若关于的分式方程的解为，则m的值是（ ） A. 2 B. 0 C. -2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 使代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】且x≠3 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，列不等式求解. 【详解】解：要使在实数范围内有意义，必须 解得且x≠3． 故答案为且x≠3 10. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】设另一个因式为x+n，得x2-3x+k=（x-2）（x+n），则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，据此求出k、n的值各是多少，并把多项式x2-3x+k分解因式即可． 【详解】解：设另一个因式为x+n， ∴x2-3x+k=（x-2）（x+n），即x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n， ∴ ， 解得：n=-1，k=2， ∴另一个因式为x+1， 故答案为2 【点睛】此题主要考查因式分解的意义和应用，以及多项式乘多项式的方法，要熟练掌握． 11. 一个多边形所有的内角与它所有的外角之和是，过这个多边形的一个顶点可画出________条对角线． 【答案】 【解析】 【分析】根据n边形的内角和是，边形的内角和是，可以先求出多边形的边数．再根据过多边形的一个顶点的对角线的条数与边数的关系，即可得到过这个多边形的一个顶点的对角线的条数． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：． 那么过这个多边形的一个顶点可作条对角线． 故答案为：2． 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点的对角线的条数边数． 12. 如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ___________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点，若，，则的长为 _____．     【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 的角平分线交于点E，的角平分线交于点， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）求不等式的正整数解； （2）解方程：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查求一元一次不等式的整数解，解分式方程，掌握解一元一次不等式的步骤，分式方程的计算方法是关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤求解，得到解集，根据解集的情况得到正整数解； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的步骤计算即可． 【详解】解：（1）， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的正整数解为：，； （2）， 等式两边同时乘以，去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 15. （1）解不等式组： （2）先化简：，然后在中选取一个合适的数作为代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟知以上运算法则是解题的关键． （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的a的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：； （2） ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 16. 在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，绕点顺时针旋转得到， 的坐标为． 17. 如图，都是等边三角形，，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2） （3） 证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． （1）求的值； （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围； （3）已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用正比例函数的解析式求出点，再代入一次函数的解析式求出的值； （2）结合图象判断的取值范围即可； （3）分类讨论，当点为直角顶点时，由可直接得出点的坐标；点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则，利用勾股定理求出和，再构造方程求出的值． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得，， 解得； 【小问2详解】 解：由图可知，点的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象， ∴当时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵与轴不垂直， ∴点不是直角顶点， ①当点为直角顶点时，如图， ∵， ∴点的坐标为； ②当点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则， 由勾股定理可得，，， 在中，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式化简求值，解题的关键是将待求式子根据已知条件适当变形．将分式进行约分，然后将代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得，结合直线与直线交于点，利用数形结合思想解答即可，本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】根据得， ∵直线与直线交于点，， ∴， 故答案为：． 21. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 22. 若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，一元一次不等式组的解法，理解题意是解本题的关键. 根据一元一次不等式组的解集可得，解分式方程，再进一步可得答案． 【详解】解：∵ 不等式组整理得：， 由解集为，得到，即， 解得：， ∵关于的方程有解 ∴即 ∴ 解得 ∵关于的方程的解为非负整数， ∴为非负整数， 即可取， ∴所有整数的和为， 故答案为：． 23. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折得到，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据平行四边形性质和折叠性质可知为等边三角形，即可求出的长，根据，得出为直角，利用勾股定理可以求出的长． 【详解】解：如图：连接， 四边形为平行四边形， ， 由折叠性质可知，，, ， 为等边三角形， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠性质，平行四边形性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，利用折叠性质推出为等边三角形是解答本题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 按要求解答下列问题： （1）若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； （2）已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2） 是等腰三角形，理由如下： ， ， ． a，b，c是的三条边， ． 且， ，即， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）先解关于，的二元一次方程组，得出，，再代入，得出，最后解不等式即可； （2）先对进行因式分解，再利用三角形边长性质即可判断三角形的形状． 【小问1详解】 解：， 将两个方程相加消去，可得， 解得，， 把代入方程， 解得，． ， ， 解得，． 【小问2详解】 解：略． 25. 随着中国动画电影哪吒之魔童闹海的大火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵元按售价购买，用元购买的“哪吒”手办的数量是用元购买的“敖丙”手办的数量的倍． （1）求每个“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别是多少元． （2）某班举办爱心义卖活动，准备从该玩具公司购进“哪吒”手办和“敖丙”手办共个进行售卖，且将每个“哪吒”手办的售价定为元，每个“敖丙”手办的售价定为元若本次购进“哪吒”手办的数量不少于购进“敖丙”手办数量的，应如何设计购买方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每个“哪吒”手办的售价是元，每个“敖丙”手办的售价是元 （2）购进“哪吒”手办个，“敖丙”手办个才能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设每个“哪吒”手办的售价是元，则每个“敖丙”手办的售价是元，根据用元购买的“哪吒”手办的数量是用元购买的“敖丙”手办的数量的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进“哪吒”手办个，则购进“敖丙”手办个，根据本次购进“哪吒”手办的数量不少于购进“敖丙”手办数量的，列出一元一次不等式，解得，再设利润为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每个“哪吒”手办的售价是元，则每个“敖丙”手办的售价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， （元）， 答：每个“哪吒”手办的售价是元，每个“敖丙”手办的售价是元； 【小问2详解】 解：设购进“哪吒”手办个，则购进“敖丙”手办个， 由题意得：， 解得：， 设利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值， 此时，（个）， 答：购进“哪吒”手办个，“敖丙”手办个才能获得最大利润，最大利润是元． 26. 在中，E，F分别是边，上的点，与相交于点M． （1）如图1，若，，，求证：； （2）在（1）的条件下，连接，，．若，以，，三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形？请说明理由； （3）如图2，当，，连接，若，求线段的长（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图1，过点D作交的延长线于点H， 在中，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ； （2）直角， 理由：， ， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， ∵， ∴， ∵， ， 以，，三条线段为边构成的三角形是直角三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，过点D作交的延长线于点H，在中，，证明四边形是矩形，得出，结合，得出，证明，即可证出； （2）根据勾股定理得出，根据，得出，根据四边形是矩形，得出，结合，得出，则，，设，则，勾股定理得出，，根据，即可证明以，，三条线段为边构成的三角形是直角三角形． （3）如图，延长至，使，连接，设，则，证明是等边三角形，得出，再证明是等边三角形，，从而证出是等边三角形，得出，从而证明，得出，，，如图，过点作，过点作，过点作，则，证明，再证明，得出，则，表示出，则，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至，使，连接， 设，则， ， 是等边三角形， ， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作，过点作，过点作， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 则， ， ， ， ． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识点．解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $