1.3矩形的性质与判定新课预习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础、中档、提高三层设计，覆盖矩形性质与判定从单一应用到综合探究的知识路径，适配新授课巩固需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形性质与判定基础应用|选择1直接考查矩形与平行四边形性质差异| |中档|结合勾股定理/折叠的综合计算|选择6融合角平分线与等边三角形判定| |提高|动态问题与探究性证明|解答20以旋转为背景证明角平分线及中点|

· 1.3 矩形的性质与判定新课预习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 4．如图，在中，，分别以B，C为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D，E，作直线交，于点F，G，连接，若，则的长为（ ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 5．如图，矩形的对角线相交于点，过点作交于点，若，，则的长为（　　）    A． B．6 C． D．5 6．如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在中，，，垂足为，，点是边的中点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，矩形，对角线交于点，过点作分别交于点，点．若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．6 B．8 C．12 D．24 9．如图，有一张矩形纸片，，，为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值是（　　）    A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，在矩形中，点E在边上，于F，若，，则线段的长是______．    12．如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与交于点O，若，则_________． 13．如图，在中，点D是的中点，，则_______． 14．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG=62°，则∠EGB等于______． 15．如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为___________．    三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16．如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 17．如图，在矩形中，，，与交于点．求与的周长差． 18．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 19．如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． (1)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若，，，求AC的长． 20．如图，将矩形绕点A顺时针方向旋转得到矩形，使点G落在边上． (1)连接，求证：平分； (2)连接交于点H，求证：H为中点． 21．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知的面积为4，点E在上，若，求的面积． 22．如图，在矩形中，点E在边上，，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A C B C C A B 1．D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 2．A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，可得当时，平行四边形为矩形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 当时， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的判定及平行四边形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键． 3．A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的尺规作图以及垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 尺规作图，可得直线垂直平分，然后根据勾股定理算出，再通过角度计算可知，进而得到即可求出答案． 【详解】根据尺规作图，可得直线垂直平分， ∴，即得，，， ∴根据勾股定理可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】根据矩形的性质可得，由可得，设，则，利用勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，   矩形， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、线段垂直平分线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 6．B 【分析】根据矩形的性质得出，，，证出，得出．证出为等边三角形，得出，则可得出答案． 【详解】解：在矩形中，平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 7．C 【分析】根据含度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】在中，，， ， ， ，点是边的中点， ． 8．C 【分析】根据矩形的性质证明，得出阴影部分面积等于矩形的面积的即可求解． 【详解】：四边形是矩形， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 9．A 【分析】根据折叠的性质可得，，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． 根据折叠的性质，得，，，，． ∵经过点， ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴． 设，则， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． ∴． 10．B 【分析】连接，根据矩形的判定和性质得出，根据当时，的值最小，即的值最小，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， ∵时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 即的最小值为． 故选：B．    【点睛】此题考查矩形的判定和性质，垂线段最短，关键是根据矩形的判定和性质得出解答． 11．4 【分析】如图所示，连接，由矩形的性质可得，，，，则，证明得到，，进而证明，得到，设，则在中，由勾股定理可得，解得，即，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则 在中，由勾股定理可得，即， 解得，即， ∴， 故答案为：4．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判断，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键． 12．2 【分析】先求出矩形的对角线的长，得到的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到的值． 【详解】解：∵矩形的对角线与交于点O， ∴，， ∴， ∵线段为等腰的底边， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决本题的关键是理解相关概念与性质，能灵活运用题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的几何语言表述的能力以及基本功． 13． 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 14．124°/124度 【分析】在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠DEF=∠EFG=62°，∠EGB=∠DEG，又由折叠可知，∠GEF=∠DEF，可求出∠DEG的度数，进而得到∠EGB的度数． 【详解】解：在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFG=62°，∠EGB=∠DEG， 由折叠可知∠GEF=∠DEF=62°， ∴∠DEG=124°， ∴∠EGB=∠DEG=124°． 故答案为：124°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质等，掌握折叠前后角度之间的关系是解题的基础． 15． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴矩形的面积为48，， ∴， ∵对角线交于点， ∴的面积为12， ∵ ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 16．(1) 如图，线段即为所求； (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中线的作法、含的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握中线的作法，并熟练运用相关知识解决问题． （1）直接利用线段垂直平分线的尺规作图方法作出直线交于点即可得解； （2）利用含的直角三角形的性质求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质得到的长； 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 由（1）作图可知，为边上的中线． ∴． 17．2 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．利用矩形的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，， ， 与的周长之差为2． 18．(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）证四边形是平行四边形，得，结合题意，得，即可求解； （2）根据题意可证得，则，再由矩形的性质得，则，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：，四边形是矩形， ∴， ∵， 设，则， ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．(1) 解：，分别为，的中点， 是的中位线． ． ， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明平行关系，再结合一组对边平行且相等证明平行四边形，最后根据直角证明矩形； （2）先利用等腰直角三角形性质求 ，结合矩形性质求，再通过三角形中位线和勾股定理求的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， 是等腰直角三角形，． ， ， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，，， ， ． 为的中点， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用中位线定理推导平行和线段关系，结合勾股定理求解线段长度． 20．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据性质的性质得到AD=AG，则∠ADG=∠AGD，再由矩形的性质推出∠CGD=∠ADG，则∠CGD=∠AGD，由此即可证明结论； （2）如图所示，过点D作DM⊥AG于M，只需要证明△DMH≌△EAH得到DH=EH，即可证明结论． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知AD=AG， ∴∠ADG=∠AGD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴∠CGD=∠ADG， ∴∠CGD=∠AGD， ∴DG平分∠AGC； （2）解：如图所示，过点D作DM⊥AG于M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠BAD=90°，CD=AB， 由旋转的性质可得∠GAE=∠BAD=90°，AE=AB， ∴CD=AE， ∵DG平分∠AGC，∠C=90°，DM⊥AG， ∴DC=DM=AE， 在△DMH和△EAH中， ， ∴△DMH≌△EAH（AAS）， ∴DH=EH， ∴H是DE的中点． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．(1) 证明：，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ∴平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）证，再证，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形外角性质，等腰三角形性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 22．(1) 证明：四边形是矩形， ，． ． 又， ． ， ． ∴． (2)16 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．解题的关键是熟练运用矩形的性质推导角的关系，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，再利用特殊角度的直角三角形性质求解边长． （1）利用矩形对边平行和四个角为直角的性质，得到角相等的条件，结合垂直的定义和已知边相等，通过证明三角形全等，进而得出线段相等； （2）根据全等三角形的性质得到对应边相等，结合已知角度求出相关角的度数，再利用含角的直角三角形中斜边是直角边两倍的性质计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ． 又， ． ． ． 23．(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴（等边对等角）. ∴ (2) 证明：如图：连接 由（1）得，. ∵恰好平分， ∴（等腰三角形三线合一） 在和中， ∴, ∴（全等三角形的对应边相等）， 又∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出、，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定，然后根据等量代换即可证明结论； （2）如图：连接，由（1）得，，由等腰三角形三线合一可得，再证明，即，再结合即可证明结论． 答案第14页，共15页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $