精品解析：江西九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年度上学期开学考 高三数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 故. 2. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再由复数模长计算公式求结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知向量，，，其中，，若，，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设向量坐标，再应用向量平行的坐标关系列式排除A，B，C，再应用模长公式计算D选项符合题意即可. 【详解】由，可设，设， 结合得，即，A，B,C选项错误； 再结合得，代入验证仅选项D满足上述条件，故D为正确选项； 4. 已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角函数的图象和性质，先求出的图象向左平移个单位长度的解析式，再由所得图象关于y轴对称即可求得. 【详解】由函数的最小正周期为π，得，所以， 将的图象向左平移个单位长度，得 ， 由于图象关于y轴对称，那么 , ,故的一个值是. 5. 椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为. 由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需 即即 两边除以得即 得，又， ． 6. 已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答. 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 7. 我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ） A. B. 64π C. 80π D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据刍童的几何性质确定外接球球心位置，再借助几何关系求出外接球半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，连接，设，连接， 由棱台侧棱相等，得该棱台的外接球球心在直线上， 设外接球球心为，而， 由，得球心在线段的延长线上，如图所示： 由，得，则，， 所以所求外接球表面积为. 8. 如果一个正整数中没有数字重复出现，不包含数字0，且没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大，那么称其为“平衡数”．例如，23，196，12463均为平衡数，但1546，320，34321则不是．问共有多少个平衡的正整数？（ ） A. 511 B. 2584 C. 9841 D. 17711 E. 19682 【答案】C 【解析】 【分析】题中“一个正整数没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大”等价于“该正整数从左往右不会出现先减后增”，再对“平衡数”按照数字个数分类讨论即可. 【详解】题中“一个正整数没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大”等价于“该正整数从左往右不会出现先减后增”，也等价于“该正整数从左往右单调递增或单调递减，或先增后减”， 因为平衡数中没有数字重复出现，不包含数字0，所以只能从中不重复地选取， 先从中选个数，除了最大数，每个其他数字可以选择放在左边或右边，且一旦选定左右分组，顺序就被唯一确定：左边递增，右边递减，但注意：如果所有数字都在左边（递增）或都在右边（递减）也算，所以总数恰好. ，从中选个数，有种选法，排列方法有种，， ，从中选个数，有种选法，排列方法有种，， ，从中选个数，有种选法，排列方法有种，， 一共有， 设， 所以，解得. 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线MN与直线所成角为 B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质定理可得可判断A正确；由平行的传递性可判断B不正确；先证明，由线面平行的性质定理可判断C正确；由锥体的体积公式可判断D正确. 【详解】对于A，因为平面， 因为平面，所以， 所以直线MN与直线所成角为，故A正确； 对于B，因为相交，而，所以不平行，故B错误； 对于C，连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面，故C正确； 对于D，由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，使得 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB,根据题意，求出等比数列以及等差数列的通项公式分析判断，对于C，根据指数函数与一次函数的增长速度分析判断，对于D，根据错位相减法求解判断. 【详解】设公比为，，则 ， 两式作比得 ，进而，因此，故选项B正确. ，因此公差 ，因此，选项A错误. ，指数函数增长速度远快于一次函数， 当时 .因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确. 则， 所以 ， 因此，选项D正确. 11. 已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）. A. 的图象关于直线对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知可判断是偶函数，是奇函数.由及是奇函数，可得，判断C对；由C及是偶函数可判断的周期为4，进而求和判断D错；由，可判断关于对称，A错；由，及是奇函数，可得，B对. 【详解】对于C，由①，得， 因为，所以，故②， ①＋②，得，所以的图象关于点对称， 且，故C正确； 对于D，因为关于对称，所以关于对称，所以偶函数， 所以， 所以， 故，所以的周期为4， 在中，令，得， 所以， 结合的周期性得，，， 所以，故D错误； 对于A，①－②，得， 所以， 所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误； 对于B，由得， 因为是奇函数，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故B正确. 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 13. 在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】先求总均值，再用“层内方差+均值差平方”按样本占比加权求和 【详解】由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则， 分层抽样方差 14. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 【答案】45 【解析】 【详解】， ， ，又展开式的通项为， 当，解得， ，即展开式中的含项的系数为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 【答案】（1）根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，设点， 则， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直； （2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四棱锥体积，解得， ，则，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设二面角为，则， 由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为． 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值． （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，结合导函数判断即可； （2）结合函数的单调性判断最值即可. 【小问1详解】 对函数求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 由单调性可知，当时，函数取得极小值，将代入函数可得： ，函数无极大值. 【小问2详解】 由可知函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以函数在上的最小值为，最大值为 17. 某果园种植“糖心苹果”已有十余年,为了提高利润,该果园每年投入一定的资金,对种植､采摘､包装､宣传等环节进行改进.如图是2009年至2018年,该果园每年的投资金额(单位:万元)与年利润增量(单位:万元)的散点图: 该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量,建立了关于的两个回归模型; 模型①:由最小二乘公式可求得与的线性回归方程:; 模型②:由图中样本点的分布,可以认为样本点集中在曲线:的附近,对投资金额做交换,令,则,且有,,,. (1)根据所给的统计量,求模型②中关于的回归方程; (2)分别利用这两个回归模型,预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数); (3)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数,并说明谁的预测值精度更高､更可靠. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 102.28 36.19 附:样本的最小乘估计公式为,; 相关指数. 参考数据:,. 【答案】(1).(2)(万元)(3)答案见解析 【解析】 【分析】(1)根据题设中的数据和公式，求得 的值，即可得到回归直线的方程； (2)把时,代入回归直线的方程，即可求得求得模型①的年利润增量的预测值和模型②的年利润增量的预测值； (3)由,可得模型①的小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好，得到结论. 【详解】(1)由题意，知,,可得,, 又由, 则 所以,模型②中关于的回归方程. (2)当时,模型①的年利润增量的预测值为(万元), 当时,模型②的年利润增量的预测值为 (万元), (3)由表格中的数据,可得,即, 所以模型①的小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好, 所以当时,模型②的预测值比模型①的预测值,精度更高､更可靠. 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据题设数据和公式准确运算，合理预测是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于常考题. 18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）设过点且斜率不为的直线的方程为，设， 由椭圆方程可知，联立， 整理得， 由根与系数的关系得， 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得， 所以， 即， 又由可得， 化简整理得， 因为直线的斜率不为，不能同时为，且若假设， 代入到，得； 代入到，得， 将代入到中，整理得，即矛盾，故假设不成立， 即， 故只能，即， 因此点在定直线上. （ii） 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义和离心率求方程； (2)（i）设直线的方程，并与椭圆方程联立整理得到根与系数的关系，同时表示出直线和的方程，利用两个方程得到交点的横坐标，得以证明点在定直线上； （ii）先表示出两个三角形的面积比的形式，结合求得的根与系数的关系进行化简整理得到 的关系，代入分析最终得到的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆的定义得，解得，又因为离心率， 所以，则， 因此椭圆标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题可知， 且，， 所以. 由（i）可知，且， 设，则，代入到根与系数关系中， 即， 将上式化简整理得， 再结合消去， 得， 可得，解得， 所以，则， 则， 故的取值范围为. 19. 现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. （1）若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； （2）当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； （3）当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的数学期望公式计算即可. （2）根据全概率公式计算即可. （3）根据二项分布和组合数的性质计算即可. 【小问1详解】 设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为，则由题意可知. 所以正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望为. 【小问2详解】 当传感器的数目为2时，一半为1. 根据题意得，无人机执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目不少于1. 设第次判断时，每个传感器作出正确判断的概率为. 设事件表示第次判断为“正常情况”，即；事件表示第次判断为“降级情况”，即； 由题意知，第1次为正常情况，所以. 根据题设条件，若第次执行了错误命令，则第次发生； 若第次未执行错误命令等价于：第次作出正确判断的传感器数目为大于等于1. 由全概率公式，第次发生的概率为： ，因为 ，代入上式得： ，对其进行变形，构造等比数列： ，由于， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即. 记该款无人机第次执行正确命令的概率为，执行正确命令等价于作出正确判断的传感器数目. ，故当传感器的数目为2时，该款无人机第次执行正确命令的概率. 【小问3详解】 设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为， 当传感器的数目为时，一半的数目为，正常情况下，每个传感器作出正确判断的概率为. 执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目满足 ，此时， 无人机执行正确命令的概率为：. 设，则根据二项式系数的对称性得. 令 ，当从取到时，恰好从取到0，所以 . 又因为二项式系数的所有项之和为，所以，解得. 于是，执行正确命令的概率为：. 故当传感器的数目为时，正常情况下，无人机执行正确命令的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江市匡庐星瀚高级中学2026-2027学年度上学期开学考 高三数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知向量，，，其中，，若，，则可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 中最大 D. 7. 我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ） A. B. 64π C. 80π D. 8. 如果一个正整数中没有数字重复出现，不包含数字0，且没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大，那么称其为“平衡数”．例如，23，196，12463均为平衡数，但1546，320，34321则不是．问共有多少个平衡的正整数？（ ） A. 511 B. 2584 C. 9841 D. 17711 E. 19682 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线MN与直线所成角为 B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为 10. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，使得 D. 11. 已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）. A. 的图象关于直线对称 B. 是以4为周期的周期函数 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 随机变量服从正态分布，，则______. 13. 在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 14. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求二面角的大小． 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）求函数在上的最值. 17. 某果园种植“糖心苹果”已有十余年,为了提高利润,该果园每年投入一定的资金,对种植､采摘､包装､宣传等环节进行改进.如图是2009年至2018年,该果园每年的投资金额(单位:万元)与年利润增量(单位:万元)的散点图: 该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量,建立了关于的两个回归模型; 模型①:由最小二乘公式可求得与的线性回归方程:; 模型②:由图中样本点的分布,可以认为样本点集中在曲线:的附近,对投资金额做交换,令,则,且有,,,. (1)根据所给的统计量,求模型②中关于的回归方程; (2)分别利用这两个回归模型,预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数); (3)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数,并说明谁的预测值精度更高､更可靠. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 102.28 36.19 附:样本的最小乘估计公式为,; 相关指数. 参考数据:,. 18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 19. 现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. （1）若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； （2）当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； （3）当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $