江西省九江市武宁县武宁尚美中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高三开学考数学试卷聚焦基础与能力衔接，覆盖集合、向量、函数等核心知识，通过三角形边长探究、抛物线与圆综合题等设计，考查数学抽象与逻辑推理，适配高三起点检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数象限、函数性质|第7题以连续整数三角形角关系，考查几何直观与推理| |多选题|3/18|立体几何命题、数列求和、统计|第10题结合Sn与an关系，检测数学思维严谨性| |填空题|3/15|排列组合、二项式定理、向量重心|第14题重心与三点共线，体现数学抽象与空间观念| |解答题|5/77|解三角形、导数应用、立体几何、双曲线、函数零点|第17题立体几何三问（证明/夹角/内切球体积），融合空间观念与运算能力；第19题函数零点论证，对接高考逻辑推理要求|

参考答案 1．B 【详解】集合是全体整数形成的集合， 而中元素都不是整数平方，， 所以. 2．C 【详解】 ， 又， ，解得． 3．D 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第四象限. 4．C 【分析】根据正切函数的周期公式、定义域、对称中心、单调性可判断出答案. 【详解】由正切函数的最小正周期公式可得函数的最小正周期为，故A正确； 由，，得，， 所以函数的定义域为，故B正确； 由，，得，，， 令，得，故函数的图象不关于点成中心对称，故C不正确； 当时，，因为在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故D正确. 故选：C 5．A 【分析】根据渐近线方程公式直接求解即可. 【详解】由双曲线方程为，得，则， 则其渐近线方程为． 故选：A. 6.【答案】D 【分析】先证明不等式和，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而，故. 7.【答案】A 【分析】根据题意，结合正余弦定理，得出，尝试代数即可得出答案. 【详解】在中，不妨设，角，，所对的边分别为，，， 则，即，得， 整理得， 由题意知，可得，则. 而三角形三边长为连续的三个正整数，结合题意可知， 若，则，，此时，或，，此时，不满足三角形的定义； 所以，若，则，与为整数矛盾， c不可能为1，因此，，代入解得，因此该三角形的三边长为，，. 故选：A 8.【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 9.【答案】BD 【详解】对A，根据面面平行的性质定理，A正确； 对B，根据面面平行的判定定理，条件中缺少直线，相交，没有这个条件，不能得到，故B错误； 对C，因为，所以平面与平面无公共点，又，所以与平面无公共点，即.故C正确； 对D，仅，，，无法得到.比如在时，也可以有，，.故D错误. 10.【答案】ACD 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 11.【答案】BCD 【详解】对于A，经验回归方程中，当增加一个单位时，平均减小个单位，故A错误； 对于B，相关系数的绝对值越大，两个变量之间的线性相关性越强； 相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，故B正确； 对于C，若随机变量服从二项分布，则， 因为，所以，故C正确. 对于D，若随机变量服从正态分布，且， 则，所以，故D正确. 12.【答案】72 【详解】根据题意，老师甲和同学乙必须去同一个补给站，分为两种情况： ①老师甲和同学乙所在的站只有乙一位同学， 先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，除了乙之外的3名学生分成两组“2,1” ，分配到2个补给站，有种情况； 按照乘法原理有种安排方法， ②老师甲和同学乙所在的站还有一位同学， 先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有种情况； 再分配学生，除了乙之外的3名学生，先选1人到老师甲和同学乙所在的站，余下2人分配到2个补给站，有种情况； 则有种安排方法， 所以老师甲和同学乙必须去同一个补给站不同的安排方法有种安排方法. 13.【答案】30 【分析】先求出的通项展开式，再利用多项式乘积分项法求出即可. 【详解】因为的通项展开式为，， 若里取，则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 若里取,则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 若里取,则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 合并系数可得，解得. 14.【答案】6 【分析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得， 的最小值可利用基本不等式可得. 【详解】 因为点为的重心，所以 ，则. 因为三点共线， ， 所以 ， ，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 15.【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式与正弦定理边角互化求解； （2）利用三角形面积公式和三角形面积的几何关系，结合余弦定理把长度的关系式表示出来并化简成基本不等式的形式，利用基本不等式求最值 【详解】（1）由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 16.【答案】在上单调递减，在上单调递增     【解析】解：根据题意得，函数，其定义域为， 且导函数， 当时，恒成立，因此函数在上为减函数； 当时，令，可得，令，可得， 因为定义域为，因此函数在上单调递减，在上单调递增． 设公切线与相切于点，与相切于点， 根据导函数得公切线的方程为，整理得 根据得公切线的方程为， 整理得 根据得，整理得 设，那么导函数， 所以，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 又当时，，当时，，且， 因此要使得有三个不同的根，需， 综上可得，实数的取值范围为． 由于函数，那么导函数， 设，，可得， 因此在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，因此导函数存在唯一零点． 设零点为，那么且． 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 因此函数的最小值． 又因为，因此， 又因为， 令，则， 因为，所以在上单调递增， 所以，即， 故的最小值． 根据题意，得到，求得，分和，两种情况分类讨论，即可求得函数的单调区间； 设公切线与和相切于点和，利用导数的几何意义，分别求得公切线的方程，得到，令，求得的单调性，进而求得的取值范围； 由，求得，令，利用导数求得在上单调递增，得到存在唯一零点，得到的单调性和最小值，再令，求得单调递增，得到，即可求解． 本题考查利用导数求解函数单调性和单调区间，属于中档题． 17.【答案】(1)是棱的中点，是棱的中点， 是的中位线，. 又平面平面， 平面. (2) (3) 【分析】（1）由中位线得平行于，结合线面平行判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，利用法向量夹角公式求二面角余弦； （3）先由等体积法求内切球半径及球心坐标，再求球心到平面的距离，利用球面上点到平面距离的最大值，结合体积公式求最大值. 【详解】（1）略. （2）底面底面， 又两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则. . 设平面的一个法向量为， 则，令，得， . 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 故平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设三棱锥的内切球球心为，半径为，三棱锥的表面积为， 已知，由（2）知两两垂直， 则， 由等体积法可知，则， 则球心，则. 所以点到平面的距离， 而，则， 因此三棱锥体积的最大值为. 18.【答案】(1) (2) (3)证明：由题知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 此时且， 由韦达定理得，， 直线的方程为， 令，解得，即， 同理得， 因为O为的中点， 所以，即， 所以， 因为，， 所以， 整理得， 所以或， 若，即， 此时直线方程为，即， 则直线过点，不合题意； 若，此时直线方程为， 则直线恒过定点， 所以为定值， 因为为直角三角形，且为斜边． 所以当R为的中点时，． 【分析】（1）根据双曲线的离心率与实轴长列出方程组即可求解； （2）根据直线与圆E相切，得出，设，则，求得的最小值即可求解的最小值； （3）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组得出韦达定理，再求得的坐标，由O为的中点，即可得出证明． 【详解】（1）因为双曲线C的离心率为，实轴长为， 所以，解得，， 则， 故双曲线C的方程为． （2） 因为圆E的方程为， 所以圆E的圆心，半径， 因为点S是双曲线C上的动点，T是圆E上的动点，直线与圆E相切， 所以， 此时， 设， 因为点S是双曲线C上的动点，所以 ，即 ， ， 当时，取得最小值，且， 则． （3） 略． 19.【答案】(1)或. (2)（i）； （ii）证明：由（i）可知， 下面证明：， ①要证明，只需证明， 又，即证，所以原式等价于证明， 由，得，则， 所以只需证明， 即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. ②要证明，只需证明， 由（i）知，则，即, 又因为，所以， 因为在上单调递减，所以成立， 综上，. 【分析】（1）去绝对值将写成分段函数的形式，对求导，求出和根据题目信息和导数的几何意义列式即可求出的值； （2）（i）令，分离参数得到，令，通过求导得到的单调性，让与函数有三个交点，即可求出的取值范围；（ii）先证明即可证明. 【详解】（1），所以， 则. 因为曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，所以，解得或. （2）（i）令，则. 令，则，所以， 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 当，，当，， 又有三个零点，所以的取值范围为. （ii）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2026-2027学年度上学期开学考 高三数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．2 3．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．下列关于函数的说法错误的是（    ） A．最小正周期是 B．函数的定义域为 C．图象关于点成中心对称 D．在区间上单调递增 5．已知双曲线方程为：，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（    ） A．4，5，6 B．5，6，7 C．5，6，7以外，还有其它情况 D．前面三个答案都不对 8. 已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，少选得3分，错选或多选得0分，共18分） 9．，，是三个平面，，是两条直线，下列四个命题中错误的是（     ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．记为数列的前项和，已知则（    ） A．2025是数列中的项 B．数列是公比为2的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 11.下列结论正确的是（     ） A．经验回归方程中，当增加一个单位时，平均增加个单位 B．相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．随机变量服从二项分布，，则 D．随机变量服从正态分布，且，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，且老师甲和同学乙必须去同一个补给站，则不同的安排方法有______种.（用数字作答） 13．若的展开式中含的项的系数为28，则实数________． 14. 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 16.本小题分已知函数和． 设函数，讨论的单调性； 若函数与的图象有三条公切线，求实数的取值范围； 求函数的最小值． 17．（15分）在四棱锥中，底面为直角梯形，满足， ，，， 底面. 为棱的中点，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 18．（17分）已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； (3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 19．（17分）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，求的值. (2)设是的三个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $