精品解析：江西吉安市11校联考2026-2027学年高三上学期开学检测数学试题

江西吉安市11校联考2026-2027学年高三上学期开学检测数学试题 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某健身记录了8位用户昨日运动消耗的卡路里（单位：千卡），数据如下：，，，，，，，．则这组数据的分位数为（ ） A. 150 B. 165 C. 180 D. 200 【答案】B 【解析】 【详解】，故这组数据的分位数为. 2. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 3. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设复数 ，再由复数的性质及复数相等可得，进而可得复数的模. 【详解】设复数 （），则其共轭复数，则， 所以，化简得： ，解得. 所以，因此. 4. 已知函数则下列区间中存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段讨论，通过零点存在定理和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【详解】当时，， 令，解得， 所以函数在上没有零点，故排除A，B； 当时，，易知是单调递减函数， 对于C，只需考虑区间， ，， 所以函数在区间上没有零点，即在区间上没有零点，排除C； 对于D，，，， 所以函数的零点在区间内. 5. 若直线是曲线的一条切线，则切点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数与切线斜率关系求解即可. 【详解】设切点坐标为，由于， 所以，解得, 当时，，解得， 当时，，此时无解， 综上，切点的纵坐标为 6. 已知，设：不等式对任意恒成立；：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求解的范围，再根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，即，又在单调递减， 所以，所以，所以，故是的充要条件. 7. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，先求切线的斜率，进而得垂线的斜率，再求垂线的方程，进而得点的坐标，利用两点的距离公式得，解出，最后利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则，又，所以切线的斜率为， 所以过点的切线垂线的斜率为， 所以垂线的方程为，令，解得， 所以，所以， 所以，即， 解得，解得， 所以，所以. 8. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由同角三角函数关系式及和差角函数公式及三角形面积公式化简得，再结合条件可得，再由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】在中，，所以. 又， 所以，又由，所以， 因为中，，所以，即， 再由正弦定理得. 又因为，所以，所以，. 代入上式得，因为， 所以，即，解得. 又因为，因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间中，设，为两个不同的点，，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（   ） A. 若，，且，则 B. 若，则与平行或异面 C. 若，，且，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平面基本定理判断A，B，应用面面平行得出线线关系判断C，利用面面垂直的性质可判断D选项的正误； 【详解】对于A选项，，，且，则，A选项正确； 对于B选项，若，则或异面，B选项正确； 对于C选项，若，，且，则或异面，C选项错误； 对于D选项，若，，当，则，当不垂直，则不垂直，D选项错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 曲线的一条对称轴为 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，利用倍角公式和辅助角公式得到，即可判断A和B的正误；对C，直接求出的对称轴，即可求解；对D，直接求出平移后的函数，再由奇偶函数的判定，即可求解. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，的最大值为，故A和B正确， 对于C，由，得到， 所以不是的对称轴，故C错误， 对于D，将的图象向右平移个单位长度后得， 又，所以不是偶函数，故D错误. 11. 已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 满足，且的所有的和为1225 C. 满足的的取值集合为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形得到，因为，所以，A正确；B选项，得到，，所以当或时，，从而求出所有的和；C选项，的奇数项为1，偶数项为0，求出C正确；D选项，当为偶数时，，当为奇数时，，求和即可 【详解】A选项，中取，得， 所以，因为，，……，所以，故A正确； B选项，取，，结合A选项的分析，得， 因为，所以，，所以当或时，， 所以满足，且的所有的和为 ，故B错误； C选项，的奇数项为1，偶数项为0， 所以满足的的取值集合为，故C正确； D选项，当为偶数时，.当为奇数时，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某无人机在执行定点悬停任务时，其实际高度与预设高度的偏差（单位：）服从正态分布．已知，则_________． 【答案】0.8## 【解析】 【详解】由题意知变量服从正态分布，均值为， 则正态曲线关于直线对称， 故， 则. 13. 已知在平面直角坐标系中，点，点在直线上．若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设点 ，利用投影向量的模建立关于 的方程，求出点 的坐标． 【详解】设 ，则 ，． 由题意， 两边平方并化简，得即 ，解得 ． 所以点 的坐标为 ． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据条件，利用椭圆的定义得到，进而可得，再利用，可得，即可求解. 【详解】设，则①，因为，则②， 由①②可得， 又的内切圆半径，则， 所以，得到，又， 所以，整理得到， 所以或（舍），则的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为，所以， 即， 所以， 所以数列是公差为4的等差数列． （2） 【解析】 【详解】（1）略 （2）因为，所以，， 所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 16. 如图，在边长为4的正方形中，点，分别是边，的中点，将沿向上翻折，点到达点的位置，连接，，，得到一个五棱锥． （1）证明：无论翻折到何种位置，直线与直线始终垂直； （2）当五棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，，， 在正方形中，点，分别是边，的中点，所以． 又，故，即，． 因为平面，平面，， 所以平面，又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，利用正方形的性质以及翻折前后长度、角度不变，证明 、，进而证明 ；（2）先根据棱锥体积最大的条件确定 底面 ，再建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求两个平面的夹角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设五棱锥 的高为 ． 底面 的面积为定值，且翻折过程中 为定值． 因为 在底面 所在平面内，所以 ，当且仅当 平面 时取等号． 因此当五棱锥的体积最大时，底面，此时两两垂直， 故可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则即 令，得，，所以平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． （1）求的方程. （2）已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 【答案】（1） （2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ，，，， 联立直线的方程与双曲线的方程，并整理， 得， 则，. 与，分别联立，解得，， 则， 因此，即， 因为，， 所以． 当的斜率不存在时，根据对称性，显然有． 综上，． 【解析】 【分析】（1）利用渐近线、焦点到渐近线距离以及的关系求解双曲线的方程，考查双曲线的几何性质. （2）要证，由直线上距离与横坐标的关系，将其转化为证明，分别联立直线与双曲线、直线与渐近线，借助韦达定理得到两组横坐标之和相等，变形得，进而证得线段相等. 【小问1详解】 已知双曲线的一条渐近线方程为，则，即. 设双曲线的右焦点为，渐近线方程化为， 则点到其距离，解得. 因为，把代入，得，解得，， 故的方程为. 【小问2详解】 略. 18. 某款绘画软件每次生成一幅图像时，会独立进行两次质量评估：第一次评估通过的概率为，若未通过则图像被丢弃；通过第一次评估的图像进入第二次评估，第二次评估通过的概率为，通过则为“优质图像”，未通过则进入“人工微调”环节，微调后成为优质图像的概率为，否则被丢弃．每幅图像最终要么是优质图像，要么被丢弃．现从该软件生成的一批图像中随机抽取3幅（各图像生成过程相互独立）． （1）求一幅图像最终成为优质图像的概率； （2）设抽取的3幅图像中优质图像的幅数为，求的分布列； （3）在抽取的3幅图像中，若第一幅图像是优质图像，且优质图像总数至少为2，求此时优质图像总数的数学期望． 【答案】（1） （2）分布列如下． 0 1 2 3 （3）【解析】 【分析】（1）一幅图像最终成为优质图像有两种情况：第一次和第二次评估都通过；第一次评估通过，第二次评估未通过，但人工微调后成为优质图像．分别计算这两种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解． （2）已知抽取的3幅图像中优质图像的幅数服从二项分布，根据二项分布的概率公式分别计算取不同值时的概率，进而列出分布列． （3）可先求出优质图像总数为2且第一幅优质时的概率，再求出优质图像总数为3且第一幅优质时的概率，最后用数学期望公式即可求解． 【小问1详解】 一幅图像成为优质图像有两条途径， 第一条：直接通过两次评估，概率为． 第二条：第一次通过、第二次未通过但微调成功，概率为． 所以一幅图像最终成为优质图像的概率． 【小问2详解】 抽取3幅图像，由题可得， 则，， ，． 则的分布列如下． 0 1 2 3 【小问3详解】设事件为“第一幅图像是优质图像”，事件为“优质图像总数至少为2”． 当且第一幅优质时，后两幅中恰有1幅优质，概率为． 当且第一幅优质时，后两幅必须均为优质，概率为． 因此． 则， ， 此时． 答：此时优质图像总数的数学期望为． 19. 已知函数，若存在及，使得，且（为的导函数），则称为的动力平衡点． （1）若，求的所有动力平衡点及其对应的的值； （2）若存在动力平衡点，求的取值范围； （3）若，判断是否存在动力平衡点，若存在，求出动力平衡点的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，2 【解析】 【分析】（1）根据动力平衡点的定义列方程求解即可； （2）根据动力平衡点的定义列式可得到，设。利用导数求出最值，即可求得答案. （3）根据动力平衡点的定义列式整理得，设，利用导数研究其零点情况，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，， 由题意得，① ，② 结合，显然，且，由①得， 代入②，得， 解得，． 【小问2详解】 ，，， 由题意得，③ ，④ 由③④得， 整理得． 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，当时，， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 假设存在动力平衡点 , ，，， 由题意得，⑤ ，⑥ 由⑤⑥得， 整理得， 设， 则 ， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 又，，， 所以在区间，上各有一个零点， 所以有2个动力平衡点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西吉安市11校联考2026-2027学年高三上学期开学检测数学试题 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某健身记录了8位用户昨日运动消耗的卡路里（单位：千卡），数据如下：，，，，，，，．则这组数据的分位数为（ ） A. 150 B. 165 C. 180 D. 200 2. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数则下列区间中存在零点的是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线是曲线的一条切线，则切点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知，设：不等式对任意恒成立；：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 7. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点作在该点处的切线的垂线，交直线于点．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间中，设，为两个不同的点，，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（   ） A. 若，，且，则 B. 若，则与平行或异面 C. 若，，且，则 D. 若，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 曲线的一条对称轴为 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 11. 已知数列中，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 满足，且的所有的和为1225 C. 满足的的取值集合为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某无人机在执行定点悬停任务时，其实际高度与预设高度的偏差（单位：）服从正态分布．已知，则_________． 13. 已知在平面直角坐标系中，点，点在直线上．若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为_________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在边长为4的正方形中，点，分别是边，的中点，将沿向上翻折，点到达点的位置，连接，，，得到一个五棱锥． （1）证明：无论翻折到何种位置，直线与直线始终垂直； （2）当五棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． （1）求的方程. （2）已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 18. 某款绘画软件每次生成一幅图像时，会独立进行两次质量评估：第一次评估通过的概率为，若未通过则图像被丢弃；通过第一次评估的图像进入第二次评估，第二次评估通过的概率为，通过则为“优质图像”，未通过则进入“人工微调”环节，微调后成为优质图像的概率为，否则被丢弃．每幅图像最终要么是优质图像，要么被丢弃．现从该软件生成的一批图像中随机抽取3幅（各图像生成过程相互独立）． （1）求一幅图像最终成为优质图像的概率； （2）设抽取的3幅图像中优质图像的幅数为，求的分布列； （3）在抽取的3幅图像中，若第一幅图像是优质图像，且优质图像总数至少为2，求此时优质图像总数的数学期望． 19. 已知函数，若存在及，使得，且（为的导函数），则称为的动力平衡点． （1）若，求的所有动力平衡点及其对应的的值； （2）若存在动力平衡点，求的取值范围； （3）若，判断是否存在动力平衡点，若存在，求出动力平衡点的个数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $