精品解析：河北张家口市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级开学检测数学试卷

2026-2027学年第一学期高三年级开学检测 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 对于数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为10 D. 中位数为6 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数，众数，极差，中位数的意义计算可判断每个选项的正误. 【详解】平均数为，故A正确；众数为6，故B正确； 极差为，故C正确；数据的中位数为5，故D错误. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求出交集即可. 【详解】由，可得，解得， 所以，所以或， 所以或. 故选：C. 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，后利用导数的定义转化求值即可. 【详解】由题意得，所以， 所以. 故选：B. 4. 如图所示的频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（ ） A. 图1的平均数中位数众数 B. 图2的平均数＜众数＜中位数 C. 图2的众数＜中位数＜平均数 D. 图3的平均数＜中位数＜众数 【答案】B 【解析】 【分析】据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多．如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数．如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边． 题图1的频率分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，正确; 题图2众数最小，平均数大于中位数，错误，正确; 题图3众数最大，平均数小于中位数， 正确. 故选：. 5. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解. 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 6. 在中，内角的对边分别是，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理得，又得，即可表示，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】由正弦定理可得，所以， 因为，所以，即， 因为.所以，所以，所以，则. 所以， 当且仅当时等号成立， 故选：D. 7. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出在区间上的值域，要使的值域为R，只需在区间上的值需取遍区间内所有值，列出关于的不等式组可得答案. 【详解】由题知，在区间上单调递增， ∴在区间上的值域为， 时，， 其对称轴为，要使的值域为R， 则在区间上的值需取遍区间内所有值， ，解得. 故选：C． 8. 一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数与的图象关于直线对称，求出与直线平行，且、相切的切点坐标可得答案. 【详解】函数与的图象关于直线对称， 设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为， 设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为， 由解得，可得， 由解得，可得， 则， 则圆珠直径的取值范围应为. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设，，则下列说法正确的是（ ） A. B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. ，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】由即可判断A；利用基本不等式及充分条件与必要条件的概念可判断B；解不等式，结合充分条件与必要条件的概念可判断C；由不等式的性质可判断D. 【详解】当时，显然有，故A错误； 因为时，， 当且仅当时，等号成立， 所以“”可以推出“”，充分性成立； 而只需即可，故必要性不成立，故B正确； 由可得，即，解得或， 所以，由“”不能推出“”；由“”可以推出“”， 则“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 因为有，故D错误. 故选：BC. 10. 若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令，可求出，对于B，根据多项式的乘法法则，结合组合知识求解，对于C，令，可求出，再结合可求得结果，对于D，利用展开式所有项系数和为，再结合可求得结果. 【详解】对于A，令，则，所以A正确， 对于B，因为5个相同的因式相乘，要得到含的项，可以是5个因式中，一个取，其他4个因式取2，或两个因式取，其他3个因式取2，所以，所以B错误， 对于C，令，则，因为，所以，所以C错误， 对于D，展开式所有项系数和为，令，则，因为，所以，所以D正确， 故选：AD 11. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 在区间上单调递减 C. 点为曲线的对称中心 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项：对函数因式分解，令其为求根，确定零点个数；对于B选项：先求导，再令导数小于，解不等式得单调递减区间；对于C选项：计算，根据中心对称性质判断；对于D选项：令导数大于，解不等式得单调递增区间，即可判断式子大小. 【详解】对于A，因为 ， 令得：或，有且仅有两个零点，故A错误； 对于B，，由得：， 所以在区间上单调递减，故B正确； 对于C，，因为，， 所以，所以曲线关于点中心对称，故C正确； 对于D，，由得：或， 所以在区间上单调递增， 故当时，， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知的内角的对边分别为，面积为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式及正弦定理化边为角，计算即可得解. 【详解】由，得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 由，则， 解得或， 因为，所以. 故答案为：. 13. 若函数的图象关于直线对称，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，化简求. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以， 所以， 所以，因为不恒为， 所以，所以. 故答案为：. 14. 已知直线与曲线相切，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出的值. 【详解】设切点为， 由得，，故切线斜率， 由直线可知切线过，故， ∴，解得， ∴. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. （1）求； （2）若；求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得； （2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到，再结合锐角范围和三角函数值域可得. 【小问1详解】 . 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. 【小问2详解】 由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 16. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）的最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用极值定义可求得，可得解析式； （2）利用导函数判断出函数在区间上的单调性，比较端点处的值可得结论. 【小问1详解】 依题意可得， 又当时，取得极值，所以，即； 解得； 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，可得或， 当变化时，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 因此，在区间上，的最小值为，最大值为. 17. 已知函数，且. （1）求a的值； （2）当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，即可由对数运算代入求解. （2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以, 因为，所以， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，等价于. 令，则， 原不等式等价于在上恒成立， 则，解得， 故m的取值范围为. 18. 设常数.已知函数. （1）若，求在区间上的零点； （2）若在上严格增，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由零点的定义建立方程，根据三角函数恒等式，结合正切函数，可得答案； （2）由函数求导，根据函数的单调区间，建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 ，当时，， ， 解得，即， 当时，，当时，. 【小问2详解】 ，求导可得 即在上恒成立，即 当时，，，故，所以. 19. 已知函数． （1）当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）求函数的最大值． （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先代入得到函数表达式，求切点处的函数值，再通过求导得到切线斜率，最后用点斜式写出切线方程； （ii）先化简，再求导并分析导数的符号变化，确定函数的单调性，从而得到在处取得最大值； （2）将不等式变形为和，分析时的右侧函数求最小值和时的右侧函数求最大值，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 （i）当时，， ， ，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （ii）， ， 令 ， ， 所以在上单调递减，且 ， 所以时，，，单调递增； 时，，，单调递减； 所以在取得最大值； 【小问2详解】 恒成立， 当时，，不等式恒成立，, 当时， 变形为， 令，， 令，得，即， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以时，取最大值， 所以， 当时， 变形为， ，， 令，得，即， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以时，取最大值， 所以， 综上，若不等式恒成立，则的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高三年级开学检测 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 对于数据，下列说法错误的是（ ） A. 平均数为5 B. 众数为6 C. 极差为10 D. 中位数为6 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图所示的频率分布直方图显示了三种不同的分布形态，图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（ ） A. 图1的平均数中位数众数 B. 图2的平均数＜众数＜中位数 C. 图2的众数＜中位数＜平均数 D. 图3的平均数＜中位数＜众数 5. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在中，内角的对边分别是，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设，，则下列说法正确的是（ ） A. B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. ，使得 10. 若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 在区间上单调递减 C. 点为曲线的对称中心 D. 当时， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知的内角的对边分别为，面积为，若，则______． 13. 若函数的图象关于直线对称，则实数的值是__________. 14. 已知直线与曲线相切，则实数的值为______. 四、解答题 15. 已知分别为锐角三个内角的对边，且. （1）求； （2）若；求周长的取值范围. 16. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 17. 已知函数，且. （1）求a的值； （2）当时，恒成立，求m的取值范围. 18. 设常数.已知函数. （1）若，求在区间上的零点； （2）若在上严格增，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）求函数的最大值． （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $