12.4.1 互逆命题和互逆定理&12.4.2 线段垂直平分线-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版2024）

12.4 逆命题与逆定理 @12.4.1 互逆命题与互逆定理 基础在线》知识豪点分奏然。 7.写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆 命题，并证明其逆命题是真命题.（要求写出已 知识点1互逆命题 知、求证和证明过程) 1.(驻马店期末)命题“锐角小于90°”的逆命题是 () A.小于90°的角是锐角 B.不是锐角的角不小于90 C.不小于90°的角不是锐角 D.如果一个角是锐角，那么这个角小于90 2.(郑州期中)下列命题的逆命题成立的是() A.如果两个实数的积是正数，那么它们都是 正数 B.如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C.等边三角形是等腰三角形 3 拓展在线沙培优拔尖提升练 D.全等三角形的周长相等 3.对于命题“若m=2,则m2=4”,能说明该命题 8.如图，△ABC是等边三角形 的逆命题是假命题的m的值是 ( (1)若AD=BE=CF,求证：△DEF是等边三 A.-2 B.2 C.-4 D.4 角形； 知识点2互逆定理 (2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证 4.(中考·宿迁)请写出定理“两直线平行，同位角 明：若不成立，请用反例说明。 相等”的逆定理： 5.下列定理中，没有逆定理的是 A.两直线平行，同旁内角互补 B.直角三角形的两个锐角互余 C.互为相反数的两个数的绝对值相等 D.在同一个三角形中，等角对等边 ②能力在线》方法规律棕合练 6.下列说法错误的是 A.任何定理都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定 是正确的 D.“同角的补角相等”是定理 63探究在线八年级数学（上）·HD @12.4.2 线段垂直平分线 ①基础在线> 知识要点分类练 5.(许昌期中)如图，PC=PD,QC=QD,PQ、CD 相交于点E.求证：PQ⊥CD. 知识点1线段垂直平分线的性质 1.(商丘期末)如图，直线CD是线段AB的垂直 平分线，P为直线CD上一点，若线段PA=2, 则线段PB= A.1 B.2 C.3 D.4 第1题图 第2题图 2.(中考·凉山)如图，在Rt△ABC中，∠ACB 易错点对线段垂直平分线的判定理解不透 =90°，DE垂直平分AB交BC于点D,若 △ACD的周长为50，则AC+BC=() 彻而致错 A.25 B.45 C.50 D.55 6.如图，直线l与线段AB相交于点O,点P在 3.如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，求 直线l上，且PA=PB,则下列结论正确的有 证：∠CAD=∠CBD. () ①AO=BO:②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO: ④点P在线段AB的垂直平分线上. A.1个 B.2个 C.3个D.4个 第6题图 第7题图 ②能力在线 沙方法规律综合练 知识点2线段垂直平分线的判定 7.(教材P105练习T3变式)如图，在△ABC中， 4.已知P是△ABC内的一点，若PA=PC,则 AB>BC>AC,点P在AB上，使得PA+PC () =AB.下列描述正确的是 () A.点P在∠ABC的平分线上 A.P是AC的垂直平分线与AB的交点 B.点P在∠ACB的平分线上 B.P是BC的垂直平分线与AB的交点 C.点P在边AC的垂直平分线上 C.P是∠ACB的平分线与AB的交点 D.点P在边AB的垂直平分线上 D.P是AB的垂直平分线与AB的交点 第12章64 8.如图，下列条件不能判定直线CD为线段AB 3 拓展在线 、培优拔尖提升练 的垂直平分线的是 A.AB⊥CD且CE=DE 12.(新考法·回归教材)教材呈现： B.AC=BC且AD=BD 已知：如图①，MN⊥AB,垂足为点C,AC C.AB⊥CD且CD平分∠ACB BC,P是直线MN上的任意一点.求证：PA =PB. D.AB⊥CD且AE=BE 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC, 9.(教材P105练习T1变式)（信阳阶段练习）如 只要证明这两个三角形全等，便可证得PA 图，在△ABC中，∠BAC为直角，过AC边的 =PB. 中点D作DE∥AB交BC于点E,P是直线 DE上的一动点，若AB=3,BC=5,则△ABP 周长的最小值是 图① 图② 图3 (1)请根据教材中的分析，结合图①，写出“线 段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程； 第9题图 第10题图 (2)如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是 10.如图，线段AB、BC的垂直平分线L1、l2相交 边AB、BC、AC的垂直平分线.求证：直线I、m、n 于点O,若∠1=39°，则∠AOC= 交于一点（请将下面的证明过程补充完整）： 11.如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分 证明：设直线l、m交于点O.… AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD= (3)如图③，在△ABC中，AB=BC,边AB的 DE,连结AE. 垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分 线交AC于点E,若∠ABC=120°，AC=15, (1)求证：AB=EC; 则DE的长为 (2)若△ABC的周长为42cm,AC=16cm, 求DC的长。 65探究在线八年级数学（上）·HD:AC=AD,∠C1E=∠DAE,AE=AE 11.1212.13013,614,0① ,△AO△AED(SAS) 15CD8AB,∴∠C=∠B. L:E⊥AC,DF⊥AC, 义CE=BE,E一E=F-EF 六∠AEB-∠CFD=0 CF-BE. AF-CE.AF-AE+EFCE-CF+EF 在△CFD和△EA中 AE-CF. ∠C-∠I,CF-BE,∠CFD-∠BEA. 在△AE和△CDP中 ,△CFra△BEA(AA) A-CD.AE-CF. 16.署选46为条件，证，为真命题 ,△AaR△CDFCHL1, 证明，￥∠1=∠2，∠ACB-∠AC 5.AE⊥B.厘由如下 在△AC和△A中， ,∠ACH=∠D'E-OG, ∠B-∠D,∠ACB-∠ACD,AC-AC ,∠A8+∠MD-∠CE+∠AD ,△ACa△ADCCAAS1 ∠B'D=∠A. CB-CD. 在△CHD与△CAE中 若选山为条件.正6，为真命圈，正明略 :B=AC.∠BCD-∠ACE,DC-C, 若选6.c为条件，证a,为程命题 ·△CBDQ△CAE(8ASI. 17.I)证用：在Rt△ABH和RtADEG中， ∠AD)-∠CU 2AB-DE.AH-DG. :∠AD=∠CE ∴.R,△ABH☑Rt△DEGCHL).,BH-G .∠0AD=XE=0 在Ri△ACH和R△DFG中， ∴ABLD AC-DF.AR-DG. 6(103 ∴R△ACHR△DFG(H.CH=F 2》E期，∠AM+∠ACB+∠N=1时， BH+HC-2G+GF.即aEF ∠ACH=90. 在△A批C和△DF中， L∠ACW+∠CN-90 AB-DE.AC-DF.BC-EF :AM且m干点f,BN1M于点N △AH△DEF555) ÷∠Ak'-∠CNH-90 ()这句话不对，如图，在△4B ∠AM+∠AN=0,∠CA3M=∠HCN 和△ABD中，A=AD, 在△AC和△CNH中， AB=AB',AE=I'E,周个 ￥∠CAM-∠CX.∠ANk'=∠CVB.AC-CB 三角形同样具备两边及第三边上的底对液相等 -△Aka△CN(AAS). 间这两个三角形不全等，其中一个晶悦角三用 .AM-CN.CM-BN. 形，一个是物角三角形。 .MNCN+CM-AM+BN. 12.3等理三角形 (8)NN-AM-IN或NN-BN一AM 1之3.1等颗三希想的性国 T1)如图①，号证再△，AM2△CNB 基础在规 ..CN-AM.CM-BN.MN-AM-BN. 1C2.A3,0 4B1如图②，易证等△AMQ△CN以. 4,等餐三角形的三找合一5,556.D了.B .AM-CN.CMBN.MN-BN-AM R,:△AC是等边三周形， .AB-BC.∠ABD-∠BCE=60 又BD=CE, .△ABX≌△CE(SAS) AD-BE: 粉程者浮312.1-这.2引 120或70成0 1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.A 8.C 能力在城 9.4=一10（符菜不雕一） 1a,C1l,D12,日13,30域150 10,∠1=∠2境AH量D 14,1)5 探究在域·八年 (2)∠DAC的度数不会改变.型由如下： ∠EDF=∠C, E1=,品∠AE=∠C ∴∠EDF=∠AED ∴∠AFD-1∠ DFAC、∠DF■∠A :∠BAB-的. (2》△ABC是等酸直角三角形 ∠kD=C1m-0-22C】=5s+∠C ∠DF=∠A,∠BDF=∠A=6 :DP平分∠DE.,∠BDE=2∠BDF-0. .∠D4E-90-∠B4D-9w-(45+∠C) ￥DEBC,,∠B-18阳-∠BDE-O, 45-∠C ,∠-10°=∠A=∠B=《5=∠L. ∠DAC=∠DAE+∠CAE=4, ,AB=仪 3)设∠B-m,则∠BAD-是1-w)-90 一，△ABC是等烟直角三角形 拓属在蝶 15(1),△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴.AC-BC,CD=CE∠AB=∠DE=60 ∠DAE-∠HD-”-g+安 ∠ACB+∠ACD十∠DCB-180'. EA-EC ÷∠ACD-o',∠ACB+∠AD-∠ACD+ ∠CE∠EB-0--m ∠DCE,P∠BCD=∠ACE 在△CD和△ACE中， ∠DAC-∠AE+∠CAE-, :'-AC,∠CD=∠ACE,CD=CE, ÷△BCDA△ACESAS1 拓鼎在线 .BD=AE甲AE=BD (} (2造结MN: 2,3.”等腰三角形的判定 :△CTXQ△ACE. 基碗在线 本∠CBM=∠CAN 1,2A3,D 在△M和△AN中， 4,在△ABC有△DFE中， ∠CBM-∠CAN.C-AC.∠ACH-∠AD AB-DF.AC-DE.BC-EF. △BCA2△ACNLASA).∴CH=CX △AB△DFE(SSSI,·∠ACB-∠DEF ?∠N=6m',△CMN是等边三角形 ,G=,△GC是等樱三角形. ∠MN=60' '∠ACB=,∠NN=∠AC f.C 6.D 7,B MN/BE. 8,《)证明：在△ABC料△ADE中： ,AB=AD,∠B-∠D,-DE 以.4速命想与范定理 12.4,1互逆角题与直逆定电 ,△AE@AADE&SAS. 基醒在援 (2)5△AC4△ADE.∠4C-6G, LA 2.A 3.A .AC=AE,∠CAE■∠kAC■0 1同位角相等.两直线平行五，巴 △ACE是等边三角形 儒力在规 ∠ACE=0 金B 从，知图，三角形AHC即为所求. 7.送命题，一个三角形丙边上的高相等，渊这个三角 形是等颗三角思. 已知，如周，在△AC中，BD1AC于点D,CE⊥ AB于点E,HBD=CE 能力在线 求正，△AC是等题三角形. 10.101L.212.D13 正第，，D⊥AC,CE⊥AB, 14,《1)证明：，DE联 ,∠BDA-∠CEA-0. ∠AED=∠G 又：'∠A-∠A,HD-CE 数学（上》·HD 23 六，△AI2△AE(AAS, AC-16 em 六AI=AC :AB十C=2m一16m=6em 印△AC是等覆三角彩. BD-DE.AM-EC. 柘展在暖 AB+BD-+DE+EC~26 em. 发.1证明，△AC是等边三角瑟， ,2DE+2E-26六，DE+-3m 六∠A=∠B=∠C,AB-C=AC [C'-DE+EC..DC-13 em. 义AD=BE=CF, 柘展在域 AB-AD-BC-BE-AC-CF. 12.(1)1E明，如图①， 甲BD-CE-AP.,△ADFP2△BED△CFE fN⊥AB,:∠℃A-∠B-g0 ,DF一ED-FE.ADEF是等边三角影. 在△PAC阳△PC中， (2(11的逆命圆为：△ABC是等边三角形，如果 AC-C.∠PCA-∠PCB,PC=C 分期在边AB,BC.AC上取点D,E.F,且△DE △PACa△PHC(SAS1.PA-PR 是等边三希形，鄙么AD一BF=C下， (2)面明，虹图画，登直线，w必于点0，连结 该透命蹈试立，证明过程如下： A0.0. :△DEF为等边三角形， 直议是边AB的集直平分线，(A-站 .∠EDF=O,D=DF 叉，直线样是边BC的垂直平分线， 再由外角性盾知，∠B十∠F一∠A十∠AFTD 0B-(C ∠A=∠EDF=O,.∠AF7D=∠BDE. *0A-0 又∠A-∠B,△ADF2△BEDLAAS1 点)在边AC的重直平分线上 AD一BE0理可证BE=F 直线1，两程交于点0 .AD-BE-CF. 1:4,?线段单直平分线 基刷在线 1.B2,C (305 工”CD是线段AB的垂直平分线， .ADBD.AC-BC 法4,3角平分线 基磁在线 ∴∠CAB=∠CHL,∠DAB=∠DBA 1,2D3C 六∠CAN-∠DAB=∠CBA-∠DBA 1,BD是∠AB以的半分线， p∠CAD=∠CB ∠ABD=∠CBD 在△AD和△CBD中， 五.PC=PD. AB=BC,∠ABD=∠CBD,BD=D. 六点P在)的乐宜平分战上 △AB≌△CBD(SAS,∠AfDP=∠NDP 7QC-QD. PM⊥AD,PNLD.PM=PN, ,点Q在CD的原直平分线上 5,BG,日7，C 六PQ乐直平分CD. B,AD重直平分EF,DE=DF PQ⊥CD. DE⊥AB,DF⊥A心 6.A AD是△ABC的角平分找. 信力在线 能力在凝 7.B8.A3.81收7 B.5t0.A11.B12.B13.D 11.1门证明，：EF原直平分AC,,AE一 1山.(1)证明：如圈所示，过点C作 ,AD⊥B,D=DE CF⊥ADT点F, :AD是E的垂直平分翼. E⊥AB, AB-AE.:AB-EC ,∠CEB-∠F-0, 2):△AC的周长为2m 5∠AC+∠AL=180.∠FD+∠AD= AH+C十AC-42m 180, 24 一探究在线·八年 ∠DC=∠E 塔上可每，∠B的度数为70发的 又D=,△CDP△CBECAAS: CF-CE :CP⊥AD,CE⊥AH. AC是∠BAD的平分线，罪AC平分∠AD 8.86,C7,2或8 (2)A-3,BE-1,,AE=4. ,△CDFa△CHE,÷DF-BE-1 微专是8线橙意直平分战与角平分线的擦合庄用 ,AC平分∠4D,,.∠下AC=∠EAC 在AACF和△ACE中，：∠F-∠AC,∠FAC =∠EAC,AC=AC, EF康宜平分AB,MN原宜 平分AC, △ACF△ACE(AAS.AF-AE=4, PA=PB.PA=PC ∴.AD■AF-DF=4-1=3 PPC. (3)书 点P在线段以C的重直平分线上， 括展在截 2):EF重直平分AH,MN重直平分A 1n,①心0国 ,FA=FH,NA=NC,∠AEPC∠AMP=9O 做专题7分类讨跑思慰在等腰三角形中的应用 ∠AC=∠MF,∠AH=∠CAN LD 2.A 3.设△AC为等腰三角形，A一C,分两种情况 ∠ABC+∠ACB+∠CAB=I8',∠PAN 52, 封论， ,2∠A+2∠ACB+32=180 若∠A<U,如图①所希，：DLAC, 六，∠A+∠ABD- ∴，2（∠ABC+∠ACB)=128 ∠ABD-3，∠A-0°-38-: ,∠AC+∠ACD=6. (ii若∠A>0“,如图②所示.同)可程∠DAB :∠PEA+∠PMA十∠EPM+∠CAB-3n' ∠PEA+∠1MA=10, -00-36-5”, ,∠EPhM+∠CAB-18. ∠H4C-10-5-126 惊上所述.等腰运角形便角的度数为5或] ∠ABC+∠ACB+∠CAB-18, :∠FPN-∠EPM-∠ABC+∠ACB-4. 总如图，过点E作面⊥AD干点G.EHLC于点用 EE1AB.∠AEF=0时. 4.分再种情况： ∴∠EAF-90-40-30 当△AC为晚角三角形封. ∠BAD=1, 如图D,投A的垂直平分线交线段AC于点D, .∠C4D-180-120-30=3 交A山于点E, ·∠EAF=∠CAD=O,即AC平分∠DAF ,∠ADE=0,DE1AB 又EF⊥AF,⊥AD,EF一G ∠A-90-30-40. 芒B是角平分线，EFLAB.EH⊥C AB-AC .EF-EH.2.EG-ER. 点E在∠ADC的平分线上 ÷∠B-∠ACB-10-∠A-0 DE平分∠AIDC 当△AB为慎角三角形时： 如闭空，设A:的垂直平分找交线段AC于点D 交AH于点E, (I)证明，图，连结DB.DC :∠ADE-50',DE⊥AB [G⊥BC,G为BC的中点， ,∠DAB=0”=0'=40 .G垂直平分BC.DB=DC AB=AC,∠B-∠C DE⊥AB,DF⊥AC, 7∠B+∠C-∠DAB.÷∠-∠DAB=20 .∠BED-∠DFC-0 蚁学（上）·HD