知识板块三 圆中的基本图形同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以圆中基本图形为核心，通过“基础图形—变式拓展—综合应用”的递进体系，提炼垂径、弧中点、等腰、双高等图形的解题模型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弧中点(垂径/角分/折弦图)|9题(含中考改编)|构造垂径/全等/截长补短，方程思想求半径|从单中点垂径到弧中点三类变式，深化圆的对称性与圆周角定理应用| |等腰图(圆心位置分类)|8题|知等腰构垂径/矩形，隐等腰用互余关系|按圆心在对称轴/腰上分类，结合等腰性质与圆的直径性质综合推理| |双高图|4题|双高构等腰/平四，隐高用直径直角|通过双高交点建立角等量关系，关联圆内接四边形与平行四边形判定|

知识板块三 圆中的基本图形 必刷考点一 单中点，单垂径 1.(2025安徽中考改编)如图，四边形 ABCD 的顶点都在半圆O上，AB 是半圆O的直径，且OC∥AD,若AD=2, 则AB 的长为 . 2.如图,AB 为⊙O 的直径,D 为 的中点,若AC=5, ,则AB 的长是 . 3.(武汉中考改编)如图,OA,OC是⊙O的半径,AB 是⊙O 的弦,∠ACB=2∠BAC.若AB=4, 则⊙O 的半径为 . 必刷考点二 双中点，双垂径 4.如图,△ACD 内接于⊙O,直径BG⊥弦CD 交AC 于点F,且. 若FB=6,AD=5,则⊙O 的半径为 . 拆分突破9 弧中点(二)角分图 必刷考点一 平分 90°角 1.如图,AB 为⊙O 的直径,CD平分∠ACB,若⊙O 的半径为2 则△ABC 的面积是 . B 2.(武汉中考改编)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则⊙O 的半径为 . 3.如图,正方形ABCD 内接于⊙O,E 是BC的中点,连接AE,DE,CE.若CE=1,则四边形AECD 的面积是 . E 必刷考点二 平分120°角 4.如图,四边形APBC 内接于⊙O,∠APC=∠CPB=60°.若CP=6, ,则△APB 的面积为 . 拆分突破10 弧中点(三)折弦图 1.(武汉元调改编)如图,A,B,C,D是⊙O上四点,AC=AB,过点A 作AE⊥BD,垂足为E.若CD=3,DE=1,则 BE 的长是 . 2.如图,等边△ABC 内接于⊙O,D 为 上一点,∠ABD=15°,CE⊥BD 于点E,连接AD.若CE=2,则△DAB 的周长是 . 3.如图,矩形ABCD 内接于⊙O,且AB>BC,M 是ABC 的中点,MN⊥AB 于点N,若⊙O.的半径为4,矩形ABCD 的面积为20,则线段 NB 的长为 . 4.如图,△ABC 内接于⊙O,且AB>AC,E为BAC 的中点,EF⊥AB,垂足为F. (1)探求线段 AC,AB,AF 的关系; (2)若∠B+∠C=120°,AC=10,AF=3,求⊙O 的半径. 拆分突破11 等腰图(一)圆心在对称轴上 必刷考点一 知等腰构垂径 1.如图,AC为⊙O的直径,弦DB=DC,DE⊥AC于点E.若AE=3,BC=8,求⊙O 的半径. 必刷考点二 双等腰构双垂径 2.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,弦PA=PB,若BC=48,AB=40,则BP 的长为 . 必刷考点三 知等腰构矩形 3.(2026武汉四调改编)如图,BE 为⊙O的直径,CA=CB,CD⊥AE 交AE 的延长线于点D,若AE=CD+DE=6,则⊙O 的半径为 . 必刷考点四 隐等腰构垂径 4.如图,四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,AC 为⊙O 的直径,∠ACD 与∠BCD 互余.若CD=4 ,BC=8,,则AD 的长为 . 拆分突破12 等腰图(二)圆心在腰上 必刷考点一 锐角等腰 1.如图,在△ABC 中,AB 为⊙O 的直径,⊙O 交BC,AC 于点D,E,且 D 为BC 的中点.若BD= ,AE=3,，则⊙O的半径为 . 2.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O分别与边BC和AC 相交于点E 和F,过点E 作EH⊥AC 于点H.若 HC=1,则⊙O 的半径为 . 必刷考点二 钝角等腰 3.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O交BC 于点D,交 CA 的延长线于点E.连接 ED,若AC=5,ED=4,则AE 的长为 . 4.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E,CA 的延长线交⊙O 于点F.若DE+EA=8,AF=16,则⊙O 的半径为 . 拆分突破13 双高图 必刷考点一 知双高，构等腰 1。如图,CE 为⊙O 的直径,弦AB⊥CE 于点G,BD⊥AC 于点D,交 CE 于点 F,若 AB=8,BF=5,求⊙O的半径. 必刷考点二 知双高，构“平四” 2.(武汉四调改编)如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=45°,AD⊥BC 于点D,BE⊥AC 于点E,交AD 于点H.若BC=6,则⊙O的半径为 ,AH 的长为 . 3.如图,△ABC 内接于⊙O,高AD,CE 相交于点F,若 CF=5, 则 AB 的长为 . 必刷考点三 隐双高，构等腰 4.如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,CD⊥AB 于点D,连接AO并延长交CD 于点F,若BC=8,OF=1,求⊙O 的半径. 知识板块三 圆中的基本图形 拆分突破8 弧中点(一) 垂径图 ..6 解:连接BD 交OC 于点E, ∵AB 是半圆O的直径， ∴∠ADB=90°, ∵OC∥AD, ∴OC⊥BD, ∴EB=DE, 设半圆O的半径为r，则(CE=r-1,在Rt△OEB 中, 在 Rt△CEB 中, 解得 (舍去), 知识板块三 圆中的基本图形 拆分突破8 弧中点(一) 垂径图 ..6 解:连接BD 交OC 于点E, ∵AB 是半圆O的直径， ∴∠ADB=90°, ∵OC∥AD, ∴OC⊥BD, ∴EB=DE, 设半圆O的半径为r，则(CE=r-1,在Rt△OEB 中, 在 Rt△CEB 中, 解得 (舍去), 故AB=2r=6. 2.13 解:连接 BC,OD 交于点 E,连接BD,则OD⊥BC,且BE=CE, 设OB=OD=r,则 ∴在 Rt△ABD 中, 解得 (舍去),∴AB=2r=13. 3. 解：连接OB，过点 O 作半径OD⊥AB 于点E,连接DB. ∠ACB=2∠BAC, ∴∠AOB=2∠BOC. ∵OD⊥AB, ∴∠AOB=2∠DOB, ∴∠DOB=∠BOC, ∴BD=BC. ∴BE=2,DB= 在 Rt△BDE中,∠DEB=90°, 在 Rt△BOE中,∠OEB=90°, 解得 即⊙O的半径是 解:连接AG,AB,则∠BAC+∠GAF=90°, ∵直径 BG⊥DC,且 ∴∠ACD+∠BFC=90°, 且∠ACD=∠BAC, ∴∠GAF=∠BFC=∠AFG, ∴AG=FG; 连接OD 交AB 于点 H,则 AG=2OH,设OH=x,则AG=FG=2x,∴BG=6+2x,OD=3+x,DH=OD-OH=3, 在 Rt△ABG 中, (2x)²,解得 ∴半径为 拆分突破9 弧中点(二) 角分图 1.16 解:∵AB 为⊙O 的直径,CD 平分∠ACB, 作 DE⊥CD 交CB 的延长线于点E,则可证得△CAD≌△EBD, ∴S四边形ADBC=S△CDE., ∴ S△ABC = S四边形ADBC - S△ADB = 36-20=16. 解:作直径 CF,延长 AB 至点E,使BE=AD,连接. AF,BD,CE,则可证得△ADC≌△EBC, ∴∠ACD=∠ECB,AC=CE, ∴AE=AB+AD=2, ∠ACE=∠DCB=90°, 又∵∠AFC=∠ABC=60°, 解:连接BD,AO,过点D 作DF⊥DE 交 EC 的延长线于点 F. ∵E是BC 的中点, ∴AE=DE. ∵∠DBC=∠DEF=45°, ∴∠F=90°-∠DEF=45°, ∴DE=DF, ∴可证得△ADE≌△CDF, ∴AE=CF,S△ADE=S△CDF, C=1, 4、2 解:∵∠ABC=∠APC=60°,∠CAB=∠CPB=60°, ∴△ABC 是等边三角形, 延长 PA 至点Q,使AQ=BP,连接CQ,则可证得△ACQ≌△BCP, ∴S△A∞=S△BCp.,PC=QC,∠Q=∠CPB=60°, ∴△PCQ 为等边三角形, 拆分突破10 弧中点(三) 折弦图 1.4 解:在BD上截取BF=CD,连接AD,AF, ∵∠ABF=∠ACD,AB=AC, ∴△ABF≌△ACD, ∴AD=AF,又∵AE⊥BD, ∴DE=EF, ∴BE=BF+EF=CD+DE=4. 解:∵∠ABD=15°,∠ABC=60°, ∴∠CBD=45°, ∵CE⊥BD, ∴BE=CE=2, 在BD 上截取BF=AD,连接CD,CF, ∵∠CBF=∠CAD,CB=CA, ∴△CBF≌△CAD, ∴CF=CD, 又∵CE⊥BD, ∴ED=EF, ∴△DAB 的周长是AD+DE+EB+ 3. 解:在 AN 上截取AE=BC,连接AC,AM,EM,BM,CM, ∵M是ABC的中点, ∴AM=CM, 又∵∠BCM=∠EAM, ∴△BCM≌△EAM, ∴ME=MB, 又∵MN⊥AB, ∴EN=BN, ∴AB-BC=AB-AE=EB=2NB, ∵∠D=90°, ∴AC 是⊙O的直径, ∴AC=2×4=8, 设AB=a,BC=b, 则 又∵ab=20, 20=24, ∵a>b, 4.解:(1)AB=2AF+AC,理由:在FB 上截取BD=AC,连接EC,ED,EB,EA, A 则可证得△EBD≌△ECA, ∴ED=EA, 又∵EF⊥AB, ∴FD=FA, ∴AB=BD+AD=AC+2AF; (2)∵∠ABC+∠ACB=120°,∴∠BAC=60°,过点 C 作CH⊥AB于点 H，则 5 由(1)可得AB=AC+2AF=16,∴BH=AB-AH=11, 作直径CG,连接BG,则∠G=∠BAC=60°, ∴GC=2BG, ∴⊙O 的半径 拆分突破11 等腰图(一) 圆心在对称轴上 1.解:连接 DO 并延长交BC 于点 F,设⊙O 的半径为x， ∵D为 的中点， ∴由圆的对称性可得DF⊥BC， ∵DE⊥AC, ∴∠DEO=∠OFC=90°,又∵OC=OD,∠DOE=∠COF, ∴△DOE≌△COF, ∴OF=OE=OA-AE=x-3, 解得x= ∴⊙O 的半径为 2.10 解:连接OB,OC,OP,OP 交AB 于点 E,连接 AO 并延长交 BC于点D. ∵AB=AC,OB=OC, ∴AO⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴在Rt△ACD 中, 设OA=OP=OC=r,则OD=32-r, ∴在 Rt△OCD 中, ∴r=25. ∵P 是AB 的中点, ∴易证OP⊥AB, ∴PE=OP-OE=10, 3.5 解:连接OC,过点O作OF⊥AE于点F，则 ∴由圆的对称性可得OC⊥AB， ∵BE 为⊙O的直径, ∴AB⊥AE, ∴OC∥AE, ∴可证得四边形OCDF 为矩形， ∴CD=OF,DF=OC,设⊙O 的半径为r,则 DE=r-3, ∴OF=CD=6-DE=6-(r-3)=9-r, ∵在Rt△OEF 中, 解得r=5, ∴⊙O的半径为5. 4.2 解：连接DO 并延长交. BC于点T,连接BD. ∵AC 是直径, ∴∠ADC=90°, ∴∠ACD+∠DAC=90°, ∵∠ACD+∠DCB=90°, ∴∠DAC=∠BCD, ∴DT⊥BC, ∴BT=CT=4, 设OD=OC=r,在 Rt△OTC 中, 解得r=5, ∴AC=10, 拆分突破12 等腰图(二) 圆心在腰上 1.2.5 解:连接AD,BE. ∵AB 是⊙O的直径, ∴AD⊥BC, 又∵D为BC的中点， ∴AB=AC, 设AB=2r,则AC=AB=2r,EC=2r-3, ∵AB 是⊙O的直径, ∴BE⊥AC, 即 ∴r= 或r=-1(舍去), ∴⊙O 的半径为2.5. 2.2 解:连接FE,则∠EFC=∠B=∠C, ∴EF=EC, 又∵EH⊥AC,∴CH=FH. 作OD⊥AC 于点D,则AD=DF,设⊙O 的半径为r,则AF=AC-FC=AB-2CH =2r-2,AD= AF=r-1,HD=r-1+1=r, DH², 解得r=-4(舍去)或r=2, ∴⊙O的半径为2. 3.1.4 解:连接AD. ∵AB 为直径, ∴∠ADB=90°, ∵AB=AC, ∴BD=DC. 连接BE,则∠AEB=90°. ∴BC=2ED=8. 设AE=x,则CE=x+5, 在 Rt△ABE 和 Rt△CBE 中, ∴x=1.4,即 AE 的长为1.4. 4.10 解:作 OH⊥AF 于点 H,则 连接 OD,则∠ODB=∠B=∠C, ∴OD∥AC, ∴可证得四边形ODEH 是矩形， ∴OD=EH,OH=DE. 设AE=x,则OH=DE=8-x,OA=OD=AH+AE=8+x, 在 Rt△AOH 中,AH² + OH²=OA², 解得x=2, ∴OA=8+2=10. ∴⊙O 的半径为10. 拆分突破13 双高图 1.解:连接OB,BE, ∵BD⊥AC,CG⊥AB, ∴∠CFD+∠C=∠A+∠C=90°, ∴∠CFD=∠A, 又∵∠BFG=∠CFD, ∴∠BFG=∠A, ∵∠E=∠A, ∴∠E=∠BFG, ∴BF=BE. ∵直径CE⊥AB, ∵BE=BF=5, 设圆的半径为r,则OB=r,OG=r-3, 解得 ∴⊙O 的半径长为 2.3 6 解:连接CO 并延长交⊙O于点F,连接BF, ∴∠CBF=90°. ∵∠CFB=∠BAC=45°, ∴⊙O 的半径为3 连接AF, ∴∠CAF=90°. ∵BE⊥AC, ∴BH∥AF. ∵AD⊥BC,∠FBC=90°, ∴BF∥AH, ∴四边形 AFBH 为平行四边形， ∴AH=BF=BC=6. 3.3 解:作直径BK,连接AK,CK,则四边形AFCK 是平行四边形， 解得 4.解:延长 AF 交 BC 于点 G,交⊙O于点H,连接CH,OB,OC. ∵AB=AC,OB=OC, ∴△OAB≌△OAC, ∴∠OAB=∠OAC, ∴AG⊥BC, ∵∠AGB=90°,CD⊥AB, ∴∠BAG=∠BCD=∠BCH, ∴FG=HG. 设FG=a,则OG=a+1, ∴OH=2a+1, 在 Rt△OBG 中, ∴OH=5. ∴⊙O 的半径为5. 学科网（北京）股份有限公司 $