1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦空间向量的距离与夹角计算，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，实现从单一公式到复杂几何体问题的递进，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点面距离、异面直线夹角的基本公式应用|选择1-5、填空8-9直接应用公式，强调运算准确性，落实数学思维中的运算能力| |中档|复杂几何体（长方体、正四棱柱等）中的距离与夹角计算|选择6-7、填空10-11结合几何体性质，提升空间想象，体现数学眼光的几何直观| |综合|线面角、二面角及垂直证明的综合应用|解答题12-16需建系求法向量，培养逻辑推理与综合应用，发展数学语言表达能力|

课时作业6 用空间向量研究距离、夹角 一、选择题 1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为(　　) A．10　　　　　　　 B．3 C. D. 2．在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　) A．0 B. C．－ D. 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4.如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 5.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（ ） A． B． C． D． 6．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 7.（多选题）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60°,下列说法中不正确的是(　　) A.AC1=6 B.AC1⊥BD C.向量夹角是60° D.向量所成角的余弦值为 二、填空题 8.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为 . 9．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈， 〉＝________. 10.如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________． 11.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的余弦值为________． 三、解答题 12．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，求A1B与平面A1B1CD所成角的大小． 13.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°. (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； (2)求平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值． 14.如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，. （1）求证：； （2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 15.如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3. (1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值； (2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值. 16.如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 课时作业6 用空间向量研究距离、夹角 （答案） 一、选择题 1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为(　　) A．10　　　　　　　 B．3 C. D. 解析：选D　点P到平面α的距离 d＝＝. 2．在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　) A．0 B. C．－ D. 解析：选A　建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)．所以＝(－2，－2,3)，＝ (－2,2,0)．所以cos〈，〉＝＝0. 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°， ∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，CC1＝＝DD1. ∴C1D1＝，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)． ∴＝(0,1，)，＝(－，0，)． ∴cos〈，〉＝＝＝. 4.如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 解析：因为，，两两垂直， 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系. 又因为，， 所以，，，， 因为是棱的中点，所以， 所以，， 所以，故选：B. 5.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（ ） A． B． C． D． 解析：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).. 设平面ABC的一个法向量为，由得：. 令，则.则平面ABC的一个法向量为.所以点P到平面ABC的距离.故选：. 6．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 解析：选A　建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故＝(1,1,0)， ＝(0,1,2)，＝(0,1,0)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，故选A. 7.（多选题）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60°,下列说法中不正确的是(　　) A.AC1=6 B.AC1⊥BD C.向量夹角是60° D.向量所成角的余弦值为 解析： ∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60°,=6×6×cos 60°=18. 对于A项,()2=+2+2+2=36+36+36+3×2×18=216, ∴||=||==6,A正确; 对于B项,=()·() ==0, ,即AC1⊥BD,B正确; 对于C项,连接A1D,由题意可知△AA1D是等边三角形,则∠AA1D=60°, ,且向量的夹角是120°, ∴向量的夹角是120°,C错误; 对于D项,, =()·()==36, ||==6,||==6, ∴cos<>=,D错误.故选CD 二、填空题 8.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为 . 解析：由题意，则， 答案： 9．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈， 〉＝________. 解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2. 则C(0,2,0)，M(2,0,1)， D1(0,0,2)，N(2,2,1)． ∴＝(2，－2,1)， ＝(2,2，－1)． cos〈，〉＝＝－. ∴sin〈，〉＝. 答案： 10.如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，O为BC中点，设三棱柱的棱长为2a，则点A(a,0,0)，B(0，a,0)， B1(0，a,2a)，M(0，－a，a)，＝(－a，a,2a)，＝(0，－2a，a)，所以·＝0，因此异面直线AB1与BM所成的角为90°. 答案：90° 11.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的余弦值为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)， 所以G， ＝. 易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)， 则cos〈，n〉＝＝－， 所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为 ＝. 答案： 三、解答题 12．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，求A1B与平面A1B1CD所成角的大小． 解：法一：如图(1)，连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O. ∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1， ∴BC1⊥平面A1B1CD， ∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O. ∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角． 设正方体的棱长为1. 在Rt△A1OB中，A1B＝，BO＝， ∴sin∠OA1B＝＝＝，∴∠OA1B＝30°， 即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°. 法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)， ∴＝(1,0,1)，＝(0,1,0)． 设平面A1B1CD的法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 令z＝－1，得x＝1，∴n＝(1,0，－1)． 又∵B(1,1,0)，∴＝(0,1，－1)． ∴cos〈n，〉＝＝＝. ∴〈n，〉＝60°. ∴A1B与平面A1B1CD所成的角为30°. 13.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°. (1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； (2)求平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值． 解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E. 因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD. 如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系A­xyz.因为AB＝AD＝2， AA1＝，∠BAD＝120°， 则A(0,0,0)，B(，－1,0)， D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)． (1)＝(，－1，－)，＝(，1，)． 则cos〈，〉＝＝＝－. 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为. (2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)． 设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量， 又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)， 则即 不妨取x＝3，则y＝，z＝2， 所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量， 从而cos〈，m〉＝＝＝. 设平面A1BD与平面A1AD所成角的大小为θ， 则|cos θ|＝. 因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝. 因此平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值为. 14.如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，. （1）求证：； （2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值. 解析：（1）因为，，所以. 因为为正方形，所以， 又因为，所以. 因为，所以. 因为，故，而为线段的中点， 所以， 又因为，所以. 而，故； （2）因为，，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，，，，， ∴，， 设为平面的法向量，则 所以取，则，而， 故直线与平面所成角的正弦值为 15.如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3. (1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值； (2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)， A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，，)，P(1，1，3)， 设直线CE与直线PA夹角为，则 整理得； 直线CE与直线PA夹角的余弦值； (2)设直线PC与平面DEC夹角为， 设平面DEC的法向量为， 因为， 所以有 取，解得，， 即面DEC的一个法向量为，， . 直线PC与平面DEC夹角的正弦值为. 16.如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 解析：（1）如图，连接，因为平面，所以. 又因为在圆周上，为圆的直径，所以，. 故平面. （2）因为，直径，，所以，， 由（1）得，，， 垂直于圆所在的平面，所以. 因为，以点为坐标原点，以、为、轴建立如图空间直角坐标系，则、、、， ，， 设平面的法向量，则，即， 取，得. 同理可求得平面的一个法向量. 设与的夹角为，故， 又由图知为锐二面角，二面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $