15.3.2 等边三角形-【七彩课堂】2026-2027学年八年级上册数学一课一练（人教版）

AE=3,BG=AG时，都能得到符合题意的等腰 由已知，可得AD=BD=CD=分BC=8. 三角形. ∴.S四边形AEDF= 1AD2=32. 15.3.2等边三角形 B G D 第①课时等边三角形的性质和判定 8.解：如图所示，在DC上取点E,使BD=DE,连1.C 接AE. 2.A【解析】如图所示， ∴.AE=AB.△ABE是等腰三角形 :∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C, 由图可知∠B0E=∠OBE=45°. .∠C=∠CAE. :△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°. ∴AE=CE. ∴.∠0FB=180°-45°-60°=75° ∴.CE=AB=6. ∴.∠BFG=∠=90°-75°=15° .∴.CD=CE+DE=AB+BD=9 3.3【解析】将△ADE沿直线DE折叠，点A落在 9.（1)证明：，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC= 点A'处，.AD=A'D,AE=A'E.则阴影部分图 90°，D为BC中点， 形的周长等于BC+BD+CE+A'D+A'E= ∴.∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD. BC+BD CE AD AE=BC +AB +AC .∠MDN=90°， 3 cm. ∴.∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90° 4. 证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P. .∠ADE=∠CDF. ,∠EAD=∠C, B D P E 在△AED与△CFD中，AD=CD, ∠ADE=∠CDF, .三角形ADE是等边三角形，∴.AD=AE. 又.AP⊥BC,∴.DP=PE. ∴.△AED≌△CFD(ASA). ∴.ED=FD. 又BD=CE, ∴.△DEF是等腰直角三角形 ∴.DP+BD=PE+CE,即BP=PC (2)证明：△AED≌△CFD,.AE=CF, 又.AP⊥DE,.AB=AC. .'BE CF=BE +AE=AB=AC. .∠B=∠C. 5.D (3)解：，△AED≌△CFD, 6.AB=BC或∠A=60°（答案不唯一） .S四边形EDF=S△ADE+S△ADF=S△cDr+SAADF= 7.证明：.·BD=CE=AF, 、 ∴.BE=CF=AD <20> ·∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°， (2)由(1)知∠EAC=∠B=∠BCA, .∠DBE=∠ECF=∠FAD=120°. ∴.AE∥BC. AF=BD 11.解：(1)在△ABM和△BCW中， 在△AFD与△BDE中 ∠FAD=∠DBE, .BM CN, AD BE, ∠ABM=∠C, .△AFD≌△BDE(SAS). LAB=BC, .FD =DE. ∴.△ABM≌△BCN(SAS). 同理△CEF≌△BDE. ∴.∠BAM=∠CBN. .EF =DE. ·∠QBA+∠CBN=∠CBA=6O°， .FD=DE=EF,即△DEF为等边三角形 ∴.∠QBA+∠BAM=60°. 8.D【解析】AD是等边三角形ABC的中线， ∴.∠BQM=60°. (2)①是真命题， AD⊥BC,∠BAD=∠CAD-2∠BAC=7× .·∠BQM=60°（已知）， 60°=30°. .∠QBA+∠BAM=60°. ∴.∠ADC=90 ∠QBA+∠CBN=60°， AD=AE, .∠BAM=∠CBN. ∠ADE=∠ABD=180°-，∠CAD=759, r∠ABM=∠BCN, 2 在△ABM和△BCN中，AB=BC, .∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15. L∠BAM=∠CBN, 9.4【解析】小：△BDE是等边三角形， ∴.△ABM≌△BCN(ASA). ∴.∠DBE=∠DEB=60°，DE=BE. ∴.BM=CN. BE⊥AC,∴.∠AEB=90°， ②是 ∴.∠AED=∠AEB-∠DEB=30°，∠A=180° 作出图形如图所示. ∠AEB-∠DBE=30°. 证明：，BM=CN,BC=AC=AB, ∴.∠A=∠AED ∴.BM-BC=CN-AC.∴.CM=AN. ∴.DE=AD=4..BE=DE=4 .:∠ACB=∠BAC=60°，∠ACM=∠BAN= 10.证明：（1)，△ABC和△EDC都是等边三 180°-60°=120°， ∴.△BAN≌△ACM(SAS). 角形， ∴.∠NBA=∠MAC. ∴.AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°. ∴.∠BQM=∠BNA+∠NAQ=180°- 又.·∠BCD=∠BCA-∠DCA,∠ACE= ∠NCB-(∠CBN-∠NAQ)=180°-60°- ∠DCE-∠DCA, 60°=60°. ∴.∠BCD=∠ACE. rAC=BC, 在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD, CE CD, ∴.△ACE≌△BCD(SAS). <21> 第②课时含30°角的直角三角形的性质 堂易错警示 1.B【解析】在△ABC中，∠ABC=90°， 此题已知∠B=30°，但在没有确定△ABC ∠A=30°， 为直角三角形时不可使用直角三角形的性质 ∴BC=4C,故A选项错误 定理 5.9 BD⊥AC,DE⊥BC,D,E为垂足， 6.解：(1)作图如图所示. ∴BD=乃4B,CB=2CD,故C,D选项错误 :∠CBD=90°-∠C=∠A=30°， cD=号6c. ∴CE=2CD=4Bc=84C (2)CM=2BM. 理由：如图所示，连接AM. .AC=8CE,故B选项正确， 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120° 2.B ∴.∠B=∠C=30°. 3.B【解析】如图所示，连接AF, 又.MN垂直平分AB, .BM=AM. ∴.∠B=∠MAB=30°. ∴.∠MAC=90° 又∠C=30°，.CM=2AM=2BM. 7.B【解析】：△ABC是等腰三角形，D为底边 DF是AB的垂直平分线，.AF=BF. 的中点， ,FD⊥AB,.∠AFD=∠BFD=30°，∠B= ∴.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD ∠FAB=90°-30°=60°. ,∠BAC=120°，∴.∠BAD=60°，∠ADB=90° ∠ACB=90°，∴.∠BAC=30°，∠FAC=60°- :AE是∠BAD的平分线， 30°=30°. ∴.∠DAE=∠EAB=30°. DE =1,..AE =2DE =2. .DF∥AB,∴.∠F=∠BAE=30° ∵∠FAE=∠AFD=30°，∴.EF=AE=2. .∠DAF=∠F=30°..AD=DF 4.在三角形形状不明确的情况下，误用直角三角 .AB=13,∠B=30°， .AD=6.5..DF=6.5. 形性质定理（在直角三角形中，如果一个锐角等 8.9 于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半). 9.解：能.，∠ADB=30°，∠ACB=15°， 解：CD=DB,∴.∠DCB=∠B. ∴.∠CAD=∠ADB-∠ACB=15° ∠B=30°，∴.∠DCB=30°. ∴.∠ACB=∠CAD.∴.AD=CD=20m. ∴.∠ADC=∠DCB+∠B=60 又AD=CD, 又∠ABD=90,AB=2AD=10m ,△ADC为等边三角形.∴.AC=AD=2. ∴.树的高度为10m. <22>》 10.解：(1)，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴.OA垂直平分PC. ∴.∠B=60° ∴.∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP 要使△PBQ为等边三角形，只要BP=BQ, 同理，可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP. 即6-2t=t,解得t=2. ∴.∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB= ∴.当t=2时，△PBQ为等边三角形. ,0C=0D=0P=5. (2)△PBQ为直角三角形，分两种情祝况： .∠C0D=2a. ①当∠BQP=90时，则∠BPQ=30°， 又，'△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+ .BP=2BQ. FD=CD=5,..OC=OD=CD=5. 则6-21=2，解得1= ∴.△COD是等边三角形 ∴.2=60°. ②当∠BPQ=90时，则∠BQP=30°， ∴.a=30°. ∴.BQ=2BP. 则1=2(6-2)，解得t= 5 综上所述，1=号或号时，△PB0为直角三 角形 15.4综合与实践最短路径问题 6.解：(1) 1.C2.A 3.B【解析】如图，作点A关于x轴的对称点C, 连接BC交x轴于点P,连接AP,则此时AP+ PB的值最小，由图知P(2,0). 图1 如图1所示，作点P关于直线OB的对称点P, 过点P'向直线OA作垂线，垂足为C,与OB交 、 于点D.点C,D即为所求. P 原理：PD+CD=CP',垂线段最短 (2) 4.C【解析】小EF垂直平分BC,∴.B,C关于EF 对称，设AC交EF于点D,.当点P和点D重 合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长 AB=3,AC=4,∴.△ABP周长的最小值是 图2 AB+AC=3+4=7. 如图2所示，分别作点P关于直线OA,OB的对 5.A【解析】如图，分别作点P关于OA的对称 称点P',P',连接P'P'分别交OA,OB于点C, 点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于 D,点C,D即为所求.原理：PC+PD+CD=P 点E,OB于点F.此时，△PEF的周长最小. P',两点之间，线段最短 连接OC,OD,PE,PF 7.解：如图，过点A作1的平行线1'，取AA'=d,作 点P与点C关于OA对称， 点B关于I的对称点B',连接A'B交l于点N, <23>15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质和判定 基础通关 四等边三角形的判定 □等边三角形的性质 5.下列三角形： 1.如图，AB∥CD,△ACE为等边三角形， ①有两个角等于60°； ∠DCE=40°，则∠EAB等于 ②有一个角等于60°的等腰三角形； D ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都 相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三 角形 A.40° B.30° C.20° D.15° 其中是等边三角形的有 () 2.如图，等边三角形ABC的顶点A,B都在网格 A.①②③ B.①②④ 图的格点上，则∠α的度数为 () C.①③ D.①②③④ 6.在△ABC中，如果AB=AC,请补充一个条 件 ,使△ABC的形状为等边三角形. 7.如图，点D,E,F分别在等边三角形ABC的边 AB,BC,CA的延长线上，且BD=CE=AF,求 证：△DEF为等边三角形 A.15 B.20° C.25° D.30° 3.如图，等边三角形ABC的边长为1cm,D,E分 别是AB,AC上的点，将△ADE沿直线DE折 叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部， 则阴影部分图形的周长为 cm 4.如图，△ADE是等边三角形，BC在直线DE 上，且BD=CE,求证：∠B=∠C. D 39 能力突破 ! 素养达标 8.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=11.几何直观在复习课上，老师布置了一道思 AD,则∠EDC的度数为 考题：如图所示，点M,N分别在等边三角形 ABC的BC,CA边上，且BM=CN,AM,BN交 于点Q,求证：∠BQM=60° (1)请你完成这道思考题 (2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行 D 了反思，提出许多问题，譬如： A.30° B.20°C.25° D.15° ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的 9.如图，在△ABC中，BE⊥AC,垂足为E,△BDE 位置交换，得到的是否仍是真命题？ 是等边三角形.若AD=4,则线段BE的长为 ②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的 延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？请 你画出图形，给出证明， 10.如图，D是等边三角形ABC的边AB上的一 点，以CD为一边向上作等边三角形EDC,连 接AE 求证：(1)△ACE≌△BCD;(2)AE∥BC. 40 第2课时含30°角的直角三角形的性质 基础通送 请写出正确的解题过程， 1.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°， BD⊥AC于点D,DE⊥BC于点E,D,E为垂足， 下列结论正确的是 A.AC=2AB B.AC=8EC &cE=号m D.BC=2BD 2.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示 意图.其中AB,CD分别表示一楼，二楼地面的 水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m,则乘电 梯从点B到点C上升的高度h是 ( 5.在等腰三角形中，∠A=30°，AB=AC=6,则 C D S△ABC= 150° 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120° AB (1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交 号5m B.4m BC,AB于点M,N.（保留作图痕迹，不写作法) (2)猜想CM与BM之间有何数量关系，并说 C.43m D.8m 明理由。 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直 平分线DE交BC的延长线于点F,若∠F= 30°，DE=1,则EF的长是 () A.3 B.2 C.3 D.1 4.易错题如图，AD=CD=DB=2,∠B=30° 求AC的长， 解：AD=DB=2, .AB=4 .∠B=30°， 30°B .AG-AB2 上述解题过程错误的原因是： 41 能力突破 ! 素养达标 7.如图，在△ABC中，AB=AC=13,∠BAC=10.几何直观如图，在△ABC中，∠C=90°， 120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平 ∠A=30°，AB=6cm,动点P,Q同时从A,B 分线，DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF 两点出发，分别在AB,BC边上匀速移动，它 的长为 们的速度分别为Vp=2cm/s,Vo=1cm/s, 当点P到达点B时，P,Q两点同时停止运 动，设点P的运动时间为ts. (1)当△PBQ为等边三角形时，求t的值； A5.5 B6.5 C.7.5 D.6 (2)当△PBQ为直角三角形时，求t的值. 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC.点 D,E分别在边AB,BC上，连接DE,将△BDE 沿DE折叠，点B的对应点为点B'.若点B'刚 好落在边AC上，∠CB'E=30°，CE=3,则BC 的长为 B→O A D 9.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小七在 C处测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20m 到D处，测得∠ADB=30°.你能帮助小七计 算出树的高度吗？ 42