河北省承德市双滦区实验中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学测试卷

**基本信息** 高三开学数学测试卷，涵盖函数、概率统计、二项式定理等核心知识，通过动力电池检测、定价销量分析等真实情境，考查数学抽象、数据观念与模型应用能力，兼具基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、函数性质、二项式定理|基础概念辨析，如函数奇偶性与单调性判断| |多选题|3/18|排列组合、二项式系数、随机事件|多选项设计，考查逻辑推理，如互斥与对立事件关系| |填空题|3/15|回归分析、残差、概率计算|结合设备维修费用、摸球模型，体现数据应用| |解答题|5/77|二项式定理、回归方程、独立性检验、函数极值与证明、概率期望|分层递进，如动力电池检测的独立性检验（科技情境）、闯关模式的期望比较（数学建模），综合考查运算与推理|

河北省承德市双滦区实验中学 2026-2027学年上学期开学考试高三数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．复数满足，则（    ） A． B．5 C．15 D．25 2．设集合，是2的倍数，则等于（     ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．为奇函数，且在上单调递增 B．为奇函数，且在上单调递减 C．为偶函数，且在上单调递增 D．为偶函数，且在上单调递减 4．二项式的展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 5．甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．设，为两个事件，已知，，，则（   ） A．0.25 B．0.375 C．0.5 D．0.75 7．已知X服从二项分布，且，则二项分布的参数n、p的值为（    ） A． B． C． D． 8．某品牌新能源汽车续航里程（单位：）服从正态分布.补贴政策为：续航里程不低于的车辆补贴万元，超过的车辆额外再补贴万元.则该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有24种 B．可以有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 10．关于的二项式系数，下列说法正确的是（   ） A．二项式系数和为 B．当为偶数时，最大的二项式系数有两个 C．奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和 D． 11．设，为随机事件．以下说法正确的有（     ） A．若，对立，则 B．若，则，对立 C．若，互斥，则 D．若，相互独立，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．下表是关于某设备的使用年限(单位：年)和所支出的维修费用(单位：万元)的统计表． 由表可得经验回归方程为，若规定：维修费用不超过万元，一旦大于万元时，该设备必须报废．据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为____． 13．已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，经重新计算得到新回归直线的斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为__________.（残差观测值预测值） 14．甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知二项式. (1)求展开式通项. (2)求第3项. (3)求展开式第3项的二项式系数和第3项的系数. 16．(本小题15分）百色市某村为实现乡村振兴，开发本地资源办企业，最近研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，特对不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据做了统计： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 已知，． (1)求和的值； (2)求y关于x的一元线性回归方程；（参考公式：，） (3)如价格定为15元，预测网上月销量大约是多少万件？ 17．(本小题15分）某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ (2)实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2.现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； (3)按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检.设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望. 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．(本小题17分）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； (3)证明：当时，. 19．(本小题17分）某闯关活动设置两种闯关模式，每种模式均有个关卡．模式一：选择挑战全部个关卡，每个关卡通过得3分，未通过得0分；模式二：从第1关开始依次挑战，每个关卡通过得8分，并继续挑战下一关，若未通过，则此关得0分，并终止闯关．已知甲、乙两人分别选取模式一、二进行闯关，且甲每关通关的概率为，乙每关通关的概率为，且各关的通关结果相互独立． (1)设甲的总得分为随机变量，求； (2)当时，设甲的总得分为随机变量，求的分布列； (3)当时，比较甲、乙的总得分的期望值的大小． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B B B C AB ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】因为，所以 2．C 【详解】由，其中均是的倍数，则. 3．A 【详解】由题意，令，则可转化为， 可得，即在上单调递增， 即在上单调递增，而， 可得，则为奇函数，故A正确. 4．B 【详解】因为二项式展开式的通项公式为，令，得到， 所以二项式的展开式中的常数项是. 5．B 【详解】因为第一排的站法有种，第二排的站法有种， 所以不同的站法有种.故选：B. 6．B 【详解】先由乘法公式求交事件概率：． 再用条件概率公式，. 7．B 【详解】由X服从二项分布，得， 而，结合， 得，∴. 8．C 【详解】由，所以均值，标准差，所以. 根据正态分布性质：，即， 所以， 因为：补贴万元；：补贴万元；：补贴万元. 因为每辆车平均补贴即为补贴的数学期望， 所以 ， 因此该品牌每辆新能源汽车的平均补贴金额约为万元. 9．AB 【详解】对于A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有种方法，故A正确； 对于B，可以有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，故B正确；对于C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球，先将四盒中选一个作为空盒,再将4球中选出2球绑在一起, 再对三个盒子全排共有种方法，故C错误； 对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误.故选：AB. 10．ACD 【详解】A选项，，令，，故A正确； B选项，当为偶数时，最大的二项式系数只有中间一项，B错误； C选项，设奇数项二项式系数和为，偶数项二项式系数和为，，令，则，即，C正确； D选项，由组合数的计算公式可得，，所以，D正确． 11．ACD 【详解】对于A，因为，对立，所以，不同时发生，则，故A正确； 对于B，由，不能得出，对立，如投掷一枚质地均匀的骰子， “出现的点数为1，2”，“出现的点数为3，4”，显然，但，不对立，故B错误； 对于C，因为，互斥，，则，故C正确； 对于D，因为，相互独立，，则，故D正确. 12． 【详解】由表格，，， 因为经验回归直线恒过点，即，解得， 所以经验回归方程为， 由，即，解得， 由于，所以据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为． 13．/ 【详解】由题意得，，则，， 当增加两个样本数据和后，变量的平均数为，变量的平均数为，因为新回归直线的斜率为3，所以可设其方程为， 将代入得，则， 令，则，则样本数据所对应的残差为. 14． 【详解】记事件为“从甲盒中摸球”，事件为“从乙盒中摸球”，事件为“摸到两个白球”， 掷质地均匀的骰子，出现点数为1,2的概率，此时从甲盒摸到白球的条件概率；出现点数为3,4,5,6的概率，此时从乙盒摸到2个白球的总概率； 则摸到白球的总概率为：. 15． 【详解】（1）二项式展开式的通项公式为（）. （2）当时，第项为. （3）由（2）得第项的二项式系数为.系数为. 16．【详解】（1），； （2）因为，，，， 所以，又， 所以y关于x的一元线性回归方程； （3）当时，， 所以价格定为15元，预测网上月销量大约是5.5万件. 17．【详解】（1）零假设为：电芯循环是否达标与是否进行低温预处理无关. 由列联表，      根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关. （2）设事件为“实际循环达标的电芯”，事件为“实际循环不达标的电芯”， 事件为“被判定循环达标”. 所以该电芯被设备判定为循环达标的概率为0.53. （3）由题意可知的所有可能取值0，1，2. 可得 所以的分布列为：      0 1 2 故. 18．【详解】（1）当时，，， ，， 所以切线方程为，即. （2）已知函数（），定义域为，且， 已知在其定义域上存在极值点，即在上有变号零点， 设 ，则， ① 当时，恒成立，在上单调递增；且时，时，故有唯一零点且为变号零点，有极值点， ② 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 要使有变号零点，需，即（时仅有一个零点但不变号）， 综上所述，的取值范围为. （3）当时，，，， 设，则，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为，所以恒成立， 所以在上单调递减，当时，，因此对于，. . 19．【详解】（1）用表示甲通过的关卡数，则，且， 则，故； （2）由题意得，的可能取值有， 则，， ，， 则的分布列为 （3）乙前关通过，第关失败的概率为， 此时乙的总得分为； 乙全部通关的概率为，此时得分为， 则乙的总得分的期望值为， 设，则， 则， 得，故乙的总得分的期望值为， 由（1）知，甲的总得分期望值为， 令， 则当时，，，则，即， 故当时，甲的总得分期望值大于乙的总得分期望值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $