第27章 二次函数（高效培优单元自测.提升卷）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元提升卷，聚焦核心知识与素养，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配单元复习，助力学生深化对二次函数图像性质、解析式及实际应用的理解。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/24|抛物线开口方向、对称轴、平移等基础性质|侧重抽象能力与几何直观，如判断抛物线性质及平移后表达式| |填空题|11/44|交点坐标、增减性、实际应用（铅球投掷距离）|结合图像分析，如通过点坐标比较函数值，体现空间观念| |解答题|7/82|解析式求解、图像变换、利润最值、存在性探究|突出模型意识与推理能力，如利润问题（23题）构建函数模型，存在性问题（24题）培养创新思维|

第二十七章二次函数（高效培优单元自测提升卷） (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 题号 2 心 4 勺 6 答案 B B C D 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7.a<0 8.-2 9.5 10.(3,0)(-2,0) 11.2 12.x>-1 13.> 14.< 15.x<1或x>3/x>3或x<1 16.9 17.2 三、解答题（本题共7小题，共82分。） 18,【答案】1)=r+2x-3 (2)4 【详解】(1)解：设该二次函数解析式为》=r+br+c(a≠0) a-b+c=-4 c=-3 由题意得， a+b+c=0' 答案第1页，共2页 a=1 b=2 c=-3' 该二次函数解析式为'=r+2x-3 =x2+2x-3 图象向上平移m个单位后的函数解析式为 =x+2x-3+m (2)解：将二次函数 y=x2+2x-3 ·将二次函数 图象向上平移m个单位后与轴只有一个公共点， ∴，关于x的方程x2+2x-3+m=0有两个相等的实数根， △=22-4(-3+m)=0 解得m=4. 19【答案】=次函数的表达式为=+2x+3,直线C的西数表达式为=-43 【详解】解：将-，0.B3,0)C0,3 代入抛物线'=r+bx+c [a-b+c=0 9a+3b+c=0 得 c=3 a=-1 b=2 解得： c=3 ·二次函数的表达式为y=-t+2x+3 设直线BC的函数表达式 y=x+b(k≠0) 3,0,C0,3引代入'=+a, 将 [3k+b=0 得b=3, 答案第2页，共2页 [k=-1 解得：=3， ∴.直线BC的函数表达式为y=-x+3. 20.【答案】(1)2'=-r+2x+3 2②D0,4 ,对称轴为直线= (3)-1<x<3 【详解】(4)解：：抛物线与轴交于1-1,0)，B(B,0)两点 设抛物线的解析式为'=a(x+1(x-3) 把B0,3)代入得：3=a(0+0-3列， 解得：a=-1, ÷抛物线的解析式为'=-(x+(x-3)=-2+2x+3 (2)解：y=-+2x+3=-(x-}+4 ·抛物线的对称轴为直线x=1,D,4) 3)抛物线与鞋交于4-1,0)，B(B0)两点， .当-1<x<3时，函数值大于0 21.【答案】(1)b=-2,c=-3 (2)对称轴是直线x=-1,y的最大值为4 (3)-3<x<1 【详解】(1)解：由题意可得，c=-3, 则少=-x2+bx+3 3,当=1，y=0时，6=-2 即b=-2,c=-3: (2)·函数的解析式为 =-x2-2x+3=-(x+102+4 答案第3页，共2页 …抛物线的对称轴是直线x=-1, .令x=-1,得到y的最大值为4： (3)“当=0时.--2x+3=0-x+3)=0 时， 解得，1戈=3 y>0 二次函数开口向下，则取函数与轴两交点之间， ∴.-3<x<1 .-3<x<1,y>0 即当 时， 22.【答案】(1)=-4x+3 (2)8:0 (3)图象如图所示： 2 4-3-2-10 八234x 2 3 (2,-).x=2 (4)2≤1<4 【详解】(1)解：依题意，把 (03)(2,-1),(4,3) 分别代入y=r2+bx+c 3=c -1=4a+2b+c 得 3=16a+4b+c’ a=1 b=-4 解得 c=3, 答案第4页，共2页 :少=-4x+3 (2)解：依题意，把x=-代入y=-4红+3 得y=（-4x(-)+3=8,即m=8 把=代入'=r-4+3 得少=1-4x1+3=0 即hs0 (3)解：图略， y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1 ·顶点坐标为2 ,对称轴方程为x=2 (4)解：观察(3)的函数图象： 3 +- 2 1 43219 2乃4x -4 当-1≤y<3时，则0<x<4 当0<x≤t时，-l≤y<3, ∴结合函数图象，得2≤t<4 、L=-2x2+136x-1800(18<x≤50) 23.【答案】(1) (2)当销售单价为34元时厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元. 【详解】)解：由题意，单件利润：任-18》元，销售量=-2x+10。 答案第5页，共2页 L=(x-18)y =x-18川-2x+100 =-2x2+100x+36x-1800 =-2x2+136x-1800, 结合实际意义，销售量y≥0， 即-2x+100≥0，x≤50： 单价高于成本x>18,自变量取值范围：18<x≤50 L=-2x2+136x-1800(18<x≤50) ·函数关系式： (2)解：对于二次函数L=2+bx+c,a=-2,b=136,c=-1800, x=-26.-,136=136-34 对称轴： 2a2×(-2)4 34在取值范围18<x≤50内，将x=34代入利润函数： L=-2×342+136×34-1800 =-2×1156+4624-1800 =-2312+4624-1800 =512 ∴.当销售单价为34元时，每月获得最大利润，最大利润为512万元. 24.【答案】(1)y=-x-2x+3 a0rms号 -3+7-3-17 (3)存在点P,横坐标为-2,2,2 【详解】(1)，抛物线顶点横坐标为-1， b 2小 “由顶点公式x=2a,其中b=-2,即 .a=-1 答案第6页，共2页 ∴抛物线表达式为y=-x2-2x+3, 6②当=0时，-2x+3=0a即+2x-3=0 时， 解得x=-3或x=1(舍去)， 故1(-30) 当x=0时，y=3故B(0,3列 设直线AB的方程为y=c+b, 将点43,0)与点B(0,3引代入得=3，k= 直线AB的方程为y=x+3. 向上平移m个单位后，直线方程为y=x+3+m」 与抛物线少=-x2-2x+3 3联立：r-2x+3=x+3+m 整理得：x2+3x+m=0 抛物线与直线有交点时，△=32-4×1×m=9-4m≥0， 解得ms 4，又m>0, 二m的取值范围为0<ms 4· (3)抛物线对称轴为x=-1. 直线1B:y=x+3当x=-1时，=2故D,2) 顶点C:当x=-ly=-（少-2x-+3=4故C(-14) 点(-3,0) 5.cw-xCDxAE-x(4-2)x2-2 答案第7页，共2页 设P( 在抛物线上，y=-x2-2x+3 如图， YA B D A/E O P 情况1：过点C作4B的平行线，与抛物线交于点卫，此时° S.MAD=S.CI=2 因0A=0B,且PCB,故可设直线PC的解折式为”=x+1,将点C-L4刊代入求得=5，即PC的解 析式为y=x+5, y=-x2-2x+3 联立抛物线方程y=x+5 x=-2x=-1 解得： y=3或y=4, 点P坐标为(-2,3) 情况2：过点五作4B的平行线，交抛物线于点P与片，因CD=D6, 直线PC向下平移到直线B的距窝等于直线4B向下平移到直线的距窝。 当’=x+“过点E时，代入(0) 解析式为y=x+1, 答案第8页，共2页 y=-x2-2x+3 联立y=x+1, 整理得：x2+3x-2=0, x=3±7 解得： 2， -3-V17 -3+V17 即点的横坐标是2，点的横坐标是2· -2,3+7-3-7 综上所述，存在点P,横坐标 2 2. 答案第9页，共2页 第二十七章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线不具有的性质是（   ） A．开口向上 B．与轴不相交 C．对称轴是轴 D．最低点是坐标原点 2．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 4．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 5．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 6．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是___________． 8．已知关于的二次函数的图象开口向下，___________． 9．若抛物线经过点，则_______． 10．抛物线与轴的交点坐标是____． 11．抛物线与坐标轴有_________个交点． 12．已知抛物线经过点，，若函数值y随x的值的增大而减小，则x的取值范围是___________． 13．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 14．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 15．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_______________． 16．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 17．如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 三、解答题（本题共7小题，共82分。） 18．（本题10分） 二次函数图象上部分点的横坐标．纵坐标的对应值如表： … 0 1 … … 5 0 0 … (1)求该二次函数解析式； (2)若将此二次函数图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点，求的值． 19．（本题10分）如图，已知二次函数的图象过，和三点，求这个二次函数及直线的函数关系式． 20．（本题12分）如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． (3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 21．（本题12分）已知抛物线的部分图象如图所示． (1)求，的值； (2)分别求出抛物线的对称轴和的最大值； (3)写出当时，的取值范围． 22．（本题12分）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 23．（本题12分）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 24．（本题14分）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线不具有的性质是（   ） A．开口向上 B．与轴不相交 C．对称轴是轴 D．最低点是坐标原点 【答案】B 【分析】本题考査二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意．根据题目中的抛物线的解析式可以判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：∵， ∴开口向上， ∴顶点坐标为，对称轴是y轴，有最低点为原点，与x轴交于点， 故选B． 2．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 3．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 4．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 5．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 6．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，正比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．根据一次函数以及二次函数的增减性即可进行解答． 【详解】A：为一次函数，斜率，故当增大时，始终增大，不符合条件． B：是开口向下的抛物线，顶点在原点．当时，函数在对称轴左侧随增大而递增，不符合条件． C：开口向下，顶点为．当时，函数同样随增大而递增，不符合条件． D：是开口向上的抛物线，顶点为．当时，函数在对称轴左侧随增大而递减，符合条件． 故选：D． 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质的基础题，知识点单一而且简单．本题考查了二次函数的开口方向，是由系数决定的． 【详解】解：抛物线的开口向下， ． 故答案为：． 8．已知关于的二次函数的图象开口向下，___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，根据二次函数的定义，指数必须为2，且开口向下时二次项系数小于零，由此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：由于函数是二次函数，故指数满足， 解得， 所以或． 又因为图象开口向下，故二次项系数， 即， 故满足， 故答案为：． 9．若抛物线经过点，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直接把点坐标代入即可计算出c的值． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴当时，， ∴ 解得：， 故答案为：5． 10．抛物线与轴的交点坐标是____． 【答案】， 【分析】令，解关于的一元二次方程，即可得到答案； 【详解】解：令，则： 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标是，； 故答案为：， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题，解题的关键在于能够熟知二次函数与轴交点的横坐标是令时，一元二次方程的解． 11．抛物线与坐标轴有_________个交点． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系，抛物线与轴的交点个数与对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系，求出对应的一元二次方程的根的判别式的值是解题的关键． 根据函数解析式，令，求出抛物线与y轴的交点坐标，令，得到关于的一元二次方程，求出该方程的根的判别式的值，确定抛物线与轴的交点个数，从而得到答案． 【详解】∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵当时，，， ∴抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为， ∴抛物线与坐标轴有2个交点． 综上所述，抛物线与坐标轴有2个交点， 故答案为：2． 12．已知抛物线经过点，，若函数值y随x的值的增大而减小，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据、的坐标特征确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 、是对称点， 对称轴， 当时，随的增大而减小； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据、的坐标求得对称轴． 13．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 14．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 15．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_______________． 【答案】或/或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据图象写出答案即可． 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：或． 16．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 17．如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据题意分析出顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小，表示出顶点的纵坐标，然后利用二次函数的图象和性质继续分析即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴取任何数时，抛物线与轴都有两个交点， 根据抛物线的性质的，此时抛物线开口大小固定，抛物线顶点纵坐标为负值， 当抛物线的顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点纵坐标可看作关于的二次函数，开口向下，顶点纵坐标为最大值， ∴此二次函数的顶点横坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共82分。） 18．（本题10分） 二次函数图象上部分点的横坐标．纵坐标的对应值如表： … 0 1 … … 5 0 0 … (1)求该二次函数解析式； (2)若将此二次函数图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象的平移问题，二次函数与x轴的交点问题，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）平移后的函数解析式为，平移后的函数图象与轴只有一个公共点，那么关于x的方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：设该二次函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴该二次函数解析式为； （2）解：将二次函数图象向上平移个单位后的函数解析式为， ∵将二次函数图象向上平移个单位后与轴只有一个公共点， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 19．（本题10分）如图，已知二次函数的图象过，和三点，求这个二次函数及直线的函数关系式． 【答案】二次函数的表达式为；直线的函数表达式为 【分析】本题考查二次函数的解析式和一次函数的解析式，列出方程组并正确计算是关键． 利用待定系数法，将点坐标代入解析式，并解方程即可． 【详解】解：将，，代入抛物线， 得， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 20．（本题12分）如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． (3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 【答案】(1) (2)，对称轴为直线 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式． （1）根据抛物线与轴交于，两点，设抛物线的解析式为，把代入，求出a的值即可； （2）将（1）的得到的函数解析式化为顶点式，即可解答． （3）结合图象即可得到当时，函数值大于0． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，． （3）∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，函数值大于0． 21．（本题12分）已知抛物线的部分图象如图所示． (1)求，的值； (2)分别求出抛物线的对称轴和的最大值； (3)写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)对称轴是直线，的最大值为 (3) 【分析】 （1）根据图象可知，然后把代入函数的解析式，求出的值； （2）把函数的一般式化为顶点坐标式，即可求出对称轴和的最大值； （3）令，求出的值，结合图象即可写出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得，， 则，当，时，， 即，； （2）函数的解析式为， 抛物线的对称轴是直线， 令，得到的最大值为； （3）当时，， 解得，，， 二次函数开口向下，则取函数与轴两交点之间， ，即当时，． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值的问题，解题的关键是根据图象得出函数的解析式，此题难度不大． 22．（本题12分）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 23．（本题12分）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 24．（本题14分）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $