26.4第2课时 利润最值问题

该初中数学课件聚焦二次函数解决利润最值问题，从商场打折情境导入，通过合作探究梳理销售额、利润等数量关系，搭建从生活问题到数学模型的学习支架，衔接二次函数性质的应用。 其亮点是以生活情境为载体，通过典例精讲（如涨价降价两种情况建立函数关系式）培养抽象能力和模型意识，归纳“建函数、定范围、求最值”步骤强化数学思维。学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可直接使用结构化内容提高教学效率。

M A T H E M A T I C S y = ax² + bx + c (General Form) 用函数读世界 用图象写未来 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 把万物的变化，压缩成一个等式。 —— 笛卡尔 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 1 第二十六章 二次函数 26.4　利润最值问题 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 3 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 4 学习目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点） 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题. 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 6 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 7 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额－总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价－进价. 利润问题中的数量关系 1 合作探究 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 8 某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y元，(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 ______________________元(用含x的代数式表示)； (2)求租赁公司日收益y(元)与每日租出汽车的辆数x之间的函数关系式． 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 (1)根据当全部未租出时，每辆租金为：400＋20×50＝1 400(元)，得出公司每日租出x辆车时， 每辆车的日租金为：(1 400－50x)元； (2)根据相等关系“日收益＝日租金收入－平均每日各项支出”列出函数关系式即可． 解：(2)根据题意得出：y＝x(－50x＋1 400)－4 800 ＝－50x2＋1 400x－4800(0≤x≤20)． 导引： 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 如何定价利润最大 2 例1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000. 20 300 20-x 300+18x y=(20-x)(300+18x) 6000 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 例1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？ 当 时, 即定价57.5元时，最大利润是6050元. 即：y=-18x2+60x+6000， 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 练一练 ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 1800 10+x 180-10x y=(10+x)(180-10x) 建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x), 即：y=-10x2+80x+1800. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. （1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800 ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元. 例2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 （2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). 50k+b=60 70k+b=20 ∴ ∴y =－2x +160（50≤x≤70） 解得： k =－2 b = 160 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 ∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ∵a = －2＜0，图象开口向下， ∴当x = 55时，Q最大= 1250 ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大， 最大利润是1250元. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218 ∴售价x应在50~70元之间. ∴令：－2(x－55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件) ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. （3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：Q与x的函数关系式为： 60x－1800 （40≤x≤50 ） －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70） Q = 由例2可知： 若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200 若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250 ∵1200＜1250 ∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 （2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围； 解：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在. 60x－1800 （40≤x≤50 ） －2(x－55)2 + 1250 （50≤x≤70） Q = 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 ②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218， 令Q = 1218，得 -2(x-55)2 +1250=1218 解得：x1=51，x2=59 由Q = -2(x-55)2 +1250的 图象和性质可知: 当51≤x≤59时，Q≥1218 ∴若该商品所获利润不低于1218元， 则售价x的取值范围为51≤x≤59. x Q 0 55 1218 59 51 1250 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 （3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？ 解：由题意得 51≤x≤59 30 (－2 x +160)≥1620 解得51≤x≤53 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 ∵Q=-2(x-55)2 +1250的顶点 不在51≤x≤53范围内， 又∵a =-2＜0， ∴当51≤x≤53时 ， Q随x的增大而增大 ∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242 ∴此时售价x应定为53元， 利润最大，最大利润是1242元. x Q 0 55 1242 53 51 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 用二次函数解决最值问题的一般步骤： (1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值. 总结 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 28 1 (20分) 解答题 某童装专卖店销售的一款童装每件的进价为80元，售价为120元， 每天可售出20件．为了迎接“双十一”的到来， 商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存， 增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元， 那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元． (1)每天可销售________件；(用含x的代数式表示) (2)当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1 200元？ (3)当每件童装降价多少元时，平均每天盈利最多，最多盈利多少元？ 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 1 (20分) 解答题（续） 答案 答案：(20＋2x) 解：(2)根据题意，得(20＋2x)(120－80－x)＝1 200， 解得x1＝20，x2＝10. ∵要扩大销售量，减少库存， ∴x＝20. 答：当每件童装降价20元时，平均每天盈利1 200元． (3)设每天盈利w元．根据题意，得 w＝(20＋2x)(40－x)＝－2x2＋60x＋800＝－2(x－15)2＋1 250. ∵－2<0， ∴当x＝15时，w取得最大值，为1 250. 答：当每件童装降价15元时，平均每天盈利最多，最多盈利1 250元． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 31 最大利润问题 建立函数关系式 总利润＝单件利润×销售量或总利润＝总售价－总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿函数与变化之间的探索，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 利润最值问题 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利润最值问题 33 $