26.4 实际问题与二次函数（第2课时：利润问题）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数（第2课时）”，核心是销售利润类问题中二次函数最值的应用。通过复习二次函数最值求法（配方法、公式法），以“涨价—降价”利润情境导入，搭建从函数工具到实际应用的学习支架。 特色在于以“五步法”建模流程（分析变量、列关系式、定范围、求最值、检验）为主线，结合服装店、文创等生活情境，培养学生模型观念与应用意识。通过分层作业（必做+探究）和讲练结合，提升学生抽象能力与推理能力，为教师提供结构化教学方案，高效突破利润问题难点。

26.4 实际问题与二次函数 （第2课时）教学设计 课题 26.4 实际问题与二次函数（第2课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 （1）能从销售利润类实际问题中抽象出二次函数关系式，会求二次函数的最小（大）值，用二次函数的最值求最大利润问题； （2）通过“涨价—降价”等利润问题的探究，经历“分析变量—列关系式—定取值范围—求顶点最值—检验解释”的完整建模过程，体会建模、化归与数形结合思想； （3）借助利润最大化的实际情境，感受二次函数作为最优化模型的应用价值，增强应用意识与模型观念，养成先定范围、再取最值的严谨习惯。 教学重点 从销售利润类实际问题中抽象出二次函数关系，运用二次函数的最大（小）值解决实际利润问题，掌握利润问题的一般解题步骤（五步法）。 教学难点 正确分析变量之间的关系，从实际情况中抽象出二次函数关系式，并结合自变量取值范围求实际意义下的最大利润。 教学方法 情境导入、类比分步设问、讲练结合、模型归纳 教学准备 多媒体课件、销售情境表格、方格纸 课后练习 必做：习题26.4第7题、秋衣降价利润题；探究性作业：习题26.4第8题，设计一个降价促销的最优定价方案 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾， 聚焦工具 复习回顾，聚焦工具： 教师提问：如何求出二次函数的最小（大）值？ 学生回忆：由于抛物线的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数有最小（大）值。 教师出示两道求最值小练习（配方法、公式法），师生共同订正，再次确认“开口向上有最小值、开口向下有最大值”这一结论。 过渡导入：利润问题中，我们往往需要找到“定价多少、降价几何”才能获利最大，这正是二次函数的最值问题。 回顾用 求最值，完成配方法、公式法小练并订正 温故知新，把最值工具复习扎实，为利润问题的建模与取最值做好方法铺垫；通过提问聚焦“顶点=最值”，自然引出利润最大化主题。 二、探究1： 利润问题中的二次函数最值 【探究新知】 探究1：利润问题中的二次函数最值。 【问题情境】某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期多卖出 20 件。已知进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 教师引导：本问题应分“涨价”和“降价”两种情况来思考。 （1）涨价情形： 设每件商品涨价 x 元，则每件利润为 (20+x) 元，每星期销量为 (300−10x) 件。 利润 y 与 x 的函数关系式为 。 学生独立求顶点并说明 x 的范围（x≥0）；教师订正。 由 ，开口向下；对称轴 ，故涨价 5 元，定价 65 元时利润最大；最大利润 元。 （2）降价情形： 设每件降价 x 元（注意售价不能低于进价，故 0≤x≤20），每件利润为 (20−x) 元，销量为 (300+20x) 件。 利润 y 与 x 的函数关系式为 。 由 ，对称轴 ，在 0≤x≤20 内，故降价 2.5 元，定价 57.5 元时利润最大；最大利润 元。 （3）综合比较： 教师提问：涨价比降价哪个利润更大？ 因为 ，所以综合涨价与降价两种情形，定价 65 元时利润最大，最大利润 6250 元。 归纳：如何利用二次函数解决生活中的利润问题？一般步骤： （1）分析变量，列出关系式；（2）确定自变量取值范围；（3）确定所得的函数；（4）检验 x 的值是否在自变量取值范围内；（5）解决提出的实际问题。 分情形设涨价/降价为 ，列 与 ，求顶点最值并对比取最大 以“如何定价利润最大”驱动学生经历涨价—降价双情形完整建模，重点突破从实际情景中抽象函数关系这一难点；由具体比较提炼五步法一般步骤，建立利润问题解题模型。 三、典例精讲： 例1 服装店降价利润 【典例精讲】例1（服装店降价）： 某服装店的销售中发现：进货价为每件 50 元，销售价为每件 90 元的某品牌服装平均每天可售出 20 件，现决定采取适当降价措施扩大销量。市场调查发现：每件降低 1 元，平均每天就可多售出 2 件。 （1）求每件降价多少元时，平均每天能盈利 1200 元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ 教师引导设元：设每件降价 x 元，则每件盈利 (40−x) 元，平均每天售出 (20+2x) 件。 依题意得 ，整理得 ，解得 或 。 学生思考：要使顾客得到较多实惠应选哪个解？ 要使顾客得到较多的实惠（降价更多），应取 ，即每件降价 20 元。 （2）求降价多少元利润最大？最大利润是多少？ 设每天盈利为 y 元，则 ，化为顶点式 。 由 ，开口向下，对称轴 ，故降价 15 元时利润最大，最大利润 1250 元。 教师规范板书完整解题格式：设元→列式→定范围→配方求顶点→作答。 列 解方程取实惠一解；配方 得最大利润 以服装店实际情境巩固建模与解方程求实惠、配方求最大利润的方法，强化“因地制宜选定解”与“顶点取最值”两大要点，提升综合运用能力。 四、典例精讲： 例2 风景区增长率与门票收入 【典例精讲】例2（风景区游客增长率与门票收入）： 我省某风景区统计了近三年国庆节游客人数。据统计，2023 年国庆节游客人数约为 3 万，2025 年国庆节游客人数约为 4.32 万。 （1）求 2023 年到 2025 年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率。 教师引导设元并利用“每年递增同一个百分率”列方程。 设年平均增长率为 x，则由题意得 ， 解得 ，，取 （负值不合题意，舍去）。 （2）已知该风景区有 A、B 两个景点，售票处给出甲、乙、丙三种购票方式，且当甲、乙门票价格不变、丙种门票价格每下降 1 元时，将有一部分游客改为购买丙种门票。当丙种门票价格下降多少元时，国庆节门票总收入最大？ 教师引导：设丙种票价下降 y 元、总收入为 W 万元，则 W 是 y 的二次函数，先化出关系式，再转化求顶点最值。 师生共同小结：门票收入问题同样归入利润最值模型，按五步法操作即可；关键在于准确表示“降价带来的销量增量”与“单票收入的变化”。 列 求增长率 20%；仿利润模型把门票总收入写成 的二次函数求最大 由增长率问题到门票收入最值问题，扩展利润最值模型的应用场景，强化“审题设元—列关系—求最值”的通法，帮助学生形成可迁移的建模策略。 五、当堂检测 当堂检测： 某土特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售 200 千克，每千克可盈利 8 元。为减少库存，经市场调查：每千克降价 1 元，每天可多售出 20 千克。 （1）设每千克降价 x 元，平均每天盈利 y 元，写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）若要平均每天盈利 1440 元，则每千克应降价多少元？ 【详解】（1）。 （2）学生独立列方程并求解；教师巡视指导。 令 ，即 ，整理得 ，解得 或 （舍去）。故每千克应降价 2 元。 (设计意图：当堂变式检验学生把销售利润转化为二次函数与方程的建模能力，巩固降价促销情境下的求值技巧。) 独立写 ，解 得降价 2 元 通过当堂变式训练即时检验利润建模效果，巩固“降价—销增”数量关系的列式与求值，强化建模、解方程、取舍答案的完整流程。 六、综合提升： 巴小虎文创利润最值 综合提升（中考题）： 某文旅公司推出某款“巴小虎”文创吉祥物，成本价 30 元。当售价为 40 元时每天可售出 60 件。调查发现：售价每降价 1 元，每天可多售出 10 件。 （1）设降价 x 元，每天售出数量为多少件？ 每天售出 件。 （2）为让利于游客，降价多少元时每天利润是 630 元？ 由 ，整理得 ，解得 或 ；要让利于游客应取 ，即降价 3 元。 （3）设每天利润为 W 元，当售价为多少元时利润最大？最大利润是多少？ ， 由 开口向下，故 时 W 最大为 640 元，此时售价 元。 归纳：利润最值问题的关键是“单件利润×销量”列式，再配方或公式法求顶点。 解 取让利解；配方 求最值 通过贴近生活的文创情境综合训练“列方程求实惠”与“建二次函数求最值”两类问题，发展应用意识，让学生感受数学建模在真实销售决策中的价值。 七、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 利润问题的一般方法：设未知数（作变量）→ 表示单件利润与销量 → 列利润函数关系式 → 定自变量取值范围 → 求顶点最值 → 检验取值并作答； 2. 核心：单件利润 × 销量 = 总利润；二次函数开口向下，顶点纵坐标即最大利润； 3. 重要提醒：若顶点横坐标不在自变量取值范围内，须利用函数增减性在范围端点处取最值；求“实惠”等问题要注意根据题意取舍根。 归纳口诀：设变量、表利润，定范围、建函数，求顶点、看增减，验取值、解实际。 回顾五步法，明确“单件利润×销量=总利润”这一核心 系统总结利润最值问题的方法模型与易错点，突出“定范围、验取值”关键步骤，帮助学生建构结构化的建模思维，为后续综合应用题奠基。 八、课后作业 必做题： 1. 习题26.4第7题； 2. 某电商平台销售一款秋衣，每套售价 60 元、成本 40 元，每星期可卖 300 套；每降价 1 元每星期多卖 30 套，售价不得低于成本价。设每套售价为 x 元，每星期销量为 y 套、销售利润为 w 元。 （1）求 y 关于 x 的函数解析式：； （2）求 w 关于 x 的解析式并求最大利润：由 ，对称轴 ，故每套售价 55 元时利润最大，最大利润 元。 探究性作业：习题26.4第8题，并自拟一个“降价促销最优定价”生活方案，写出完整求解过程。 要求：规范书写设元、列式、定范围、求最值、作答的完整过程。 独立完成必做题，列 求最值，并设计降价促销方案 通过必做与探究性分层作业巩固利润最值的建模流程，实践性作业引导学生用二次函数解决真实营销决策，发展模型观念与自主学习能力。 板书设计 26.4 实际问题与二次函数（第2课时：利润问题） 主板书 一、利润问题模型 核心：单件利润 × 销量 = 总利润 涨价:y=(20+x)(300-10x) 降价:y=(20-x)(300+20x) 二、解题五步法 1. 分析变量、列关系式 2. 确定自变量取值范围 3. 确定所得二次函数 4. 检验 x 是否在范围内 5. 解决提出的实际问题 三、求最值 对称轴 x=-b/2a；顶点纵坐标即最值 顶点不在范围内用增减性在端点取 四、易错提醒 求“实惠”要按题意取舍方程根 勿忽视自变量取值范围限制 副板书 典型例题（例1、例2） 例题、学生练习板演 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $