26.4 实际问题与二次函数（第2课时：利润问题）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

26.4 实际问题与二次函数（第2课时）

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2024）

课时

第2课时

课型

新授课

教学目标

（1）能从销售利润类实际问题中抽象出二次函数关系式，会求二次函数的最小（大）值，用二次函数的最值求最大利润问题；

（2）通过“涨价—降价”等利润问题的探究，经历“分析变量—列关系式—定取值范围—求顶点最值—检验解释”的完整建模过程，体会建模、化归与数形结合思想；

（3）借助利润最大化的实际情境，感受二次函数作为最优化模型的应用价值，增强应用意识与模型观念，养成先定范围、再取最值的严谨习惯。

教学重点

从销售利润类实际问题中抽象出二次函数关系，运用二次函数的最大（小）值解决实际利润问题，掌握利润问题的一般解题步骤（五步法）。

教学难点

正确分析变量之间的关系，从实际情况中抽象出二次函数关系式，并结合自变量取值范围求实际意义下的最大利润。

教学方法

情境导入、类比分步设问、讲练结合、模型归纳

教学准备

多媒体课件、销售情境表格、方格纸

课后练习

必做：习题26.4第7题、秋衣降价利润题；探究性作业：习题26.4第8题，设计一个降价促销的最优定价方案

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、复习回顾，
聚焦工具

复习回顾，聚焦工具：

教师提问：如何求出二次函数的最小（大）值？

学生回忆：由于抛物线的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数有最小（大）值。

教师出示两道求最值小练习（配方法、公式法），师生共同订正，再次确认“开口向上有最小值、开口向下有最大值”这一结论。

回顾用 求最值，完成配方法、公式法小练并订正

温故知新，把最值工具复习扎实，为利润问题的建模与取最值做好方法铺垫；通过提问聚焦“顶点=最值”，自然引出利润最大化主题。

过渡导入：利润问题中，我们往往需要找到“定价多少、降价几何”才能获利最大，这正是二次函数的最值问题。

二、探究1：
利润问题中的二次函数最值

【探究新知】

探究1：利润问题中的二次函数最值。

【问题情境】某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期多卖出 20 件。已知进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？

教师引导：本问题应分“涨价”和“降价”两种情况来思考。

（1）涨价情形：

设每件商品涨价 x 元，则每件利润为 (20+x) 元，每星期销量为 (300−10x) 件。

利润 y 与 x 的函数关系式为 。

学生独立求顶点并说明 x 的范围（x≥0）；教师订正。

由 ，开口向下；对称轴 ，故涨价 5 元，定价 65 元时利润最大；最大利润 元。

（2）降价情形：

设每件降价 x 元（注意售价不能低于进价，故 0≤x≤20），每件利润为 (20−x) 元，销量为 (300+20x) 件。

利润 y 与 x 的函数关系式为 。

由 ，对称轴 ，在 0≤x≤20 内，故降价 2.5 元，定价 57.5 元时利润最大；最大利润 元。

（3）综合比较：

教师提问：涨价比降价哪个利润更大？

分情形设涨价/降价为 ，列 与 ，求顶点最值并对比取最大

以“如何定价利润最大”驱动学生经历涨价—降价双情形完整建模，重点突破从实际情景中抽象函数关系这一难点；由具体比较提炼五步法一般步骤，建立利润问题解题模型。

因为 ，所以综合涨价与降价两种情形，定价 65 元时利润最大，最大利润 6250 元。

归纳：如何利用二次函数解决生活中的利润问题？一般步骤：

（1）分析变量，列出关系式；（2）确定自变量取值范围；（3）确定所得的函数；（4）检验 x 的值是否在自变量取值范围内；（5）解决提出的实际问题。

三、典例精讲：
例1 服装店降价利润

【典例精讲】例1（服装店降价）：

某服装店的销售中发现：进货价为每件 50 元，销售价为每件 90 元的某品牌服装平均每天可售出 20 件，现决定采取适当降价措施扩大销量。市场调查发现：每件降低 1 元，平均每天就可多售出 2 件。

（1）求每件降价多少元时，平均每天能盈利 1200 元，同时又要使顾客得到较多的实惠？

教师引导设元：设每件降价 x 元，则每件盈利 (40−x) 元，平均每天售出 (20+2x) 件。

依题意得 ，整理得 ，解得 或 。

学生思考：要使顾客得到较多实惠应选哪个解？

要使顾客得到较多的实惠（降价更多），应取 ，即每件降价 20 元。

（2）求降价多少元利润最大？最大利润是多少？

设每天盈利为 y 元，则 ，化为顶点式 。

由 ，开口向下，对称轴 ，故降价 15 元时利润最大，最大利润 1250 元。

教师规范板书完整解题格式：设元→列式→定范围→配方求顶点→作答。

列 解方程取实惠一解；配方 得最大利润

以服装店实际情境巩固建模与解方程求实惠、配方求最大利润的方法，强化“因地制宜选定解”与“顶点取最值”两大要点，提升综合运用能力。

四、典例精讲：
例2 风景区增长

【典例精讲】例2（风景区游客增长率与门票收入）：

列 求增长率 20%；仿利润模

由增长率问题到门票收入最值问