26.4第3课时 实物抛物线形问题

该初中数学课件聚焦二次函数解决实物抛物线形问题，通过亚运会情境、二次函数图象解析式辨析及拱桥实例导入，衔接二次函数解析式知识与实际应用，搭建从数学模型到现实问题的学习支架。 其亮点在于通过多坐标系建立方法比较（如以拱顶为原点、以水面为x轴）培养几何直观与推理能力，归纳“建系-写坐标-求解析式-解决问题”步骤强化模型意识。学生能提升实际问题转化能力，教师可依托结构化流程高效教学。

M A T H E M A T I C S y = ax² + bx + c (General Form) 用函数读世界 用图象写未来 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 把万物的变化，压缩成一个等式。 —— 笛卡尔 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 1 第二十六章 二次函数 26.4　实物抛物线形问题 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 3 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 4 学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点) 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重难点) 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 九年级学生小名同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和小名一起逛逛美丽的广州吧！ 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 6 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 7 如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. x y x y x y （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c O O O 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？ 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 10 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数. 你能想出办法来吗？ 利用二次函数解决拱桥类问题 1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为 . 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 x O y -2 -4 2 1 -2 -1 A 如何确定a是多少？ 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是： 水面宽3m时 从而 因此拱顶离水面高1.125m 现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 我们来比较一下 （0，0） （4，0） （2，4） （-2，-4） （2，-4） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，4） （-4，0） （0，0） （-2，4） 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m. 水面下降1m时，水面宽度增加多少？ 分析： (1) 建立合适的直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解。 (2,-2) (-2,-2) x y O 例1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 17 解： 以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(-2，-2)代入解析式， 可得-2=a · (-2)2. x y O (2,-2) (-2,-2) 水面 水面下降一米，即此时y=-3. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 解： 依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(-2，1)代入解析式， 可得1=a · (-2)2+3. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 你还有其他的方法吗？   y O (2,0) (-2,0) x (0,2) 还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 利用二次函数解决运动中抛物线形问题 2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 例2 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. x y O 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 解得 a=－0.2， k=3.5， 设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25 . 故该运动员出手时的高度为2.25m. 2.25a+k=3.05， k=3.5， x y O 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 25 1 (20分) 解答题 如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直， 且在桥面以上部分高度相同，即AB＝CD＝93 m， 缆索最低处的吊杆MN的长为3 m， 桥面上与点M相距100 m处的吊杆PQ的长为13 m. (1)请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)求主桥AC的长． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 1 (20分) 解答题（续） 答案 解：(1)建立平面直角坐标系如图所示(建系方式不唯一)．由题意， 得M(0，0)，N(0，3)，Q(100，13)． 设抛物线的解析式为y＝ax2＋3. 将点Q(100，13)代入y＝ax2＋3，得13＝1002a＋3，解得a＝ 1 1 000 ∴抛物线的解析式为y＝ 1 1 000 x2＋3. (2)当y＝93时， 1 1 000 x2＋3＝93，解得x1＝－300，x2＝300. ∴AC＝300－(－300)＝600(m)． 答：主桥AC的长为600 m. 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 28 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 29 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿函数与变化之间的探索，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 实物抛物线形问题 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 实物抛物线形问题 30 $