26.4 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹问题，从生活中的拱桥、喷泉等实例导入，通过引例分析、坐标系建立、解析式确定等学习支架，衔接二次函数概念与实际应用。 其亮点在于情境化问题链设计（如拱桥水面宽度、投篮高度、喷泉半径），结合数学眼光观察现实轨迹、数学思维建模推理、数学语言表达规律。通过归纳“实际问题→模型→求解→回归”步骤，助力学生提升建模能力与应用意识，教师可依托清晰流程和丰富实例优化教学。

26.4 实际问题与二次函数 第 3 课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 第26章 二次函数 人教版 九年级（上） 1 1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；(重点) 2. 利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题；(难点) 3. 能运用二次函数的图象与性质进行决策． 素养目标 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等． 生活中还有哪些抛物线型轨迹呢？ 怎样将轨迹表示出来解决相关问题呢？ 情境导入 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 引例 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m时，水面宽 10 m. 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少？ 实际问题：水面上升 1 m，水面宽度为多少 几何问题：如图，求 AB. A B 新知探究 思考：如何把拱桥的纵截面转化为二次函数图象呢？ 1. 确定原点 2. 确定单位长度 抛物线形拱桥 建立数学模型 二次函数 解析式 y O x y O x y O x y O x 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 (0，0) (10，0) (5，4) y o x (1) y = a(x − h)2 + k 或 y = ax2 + bx (-5，0) (5，0) (0，4) y o x (-5，-4) (5，-4) (0，0) y o x 想一想 根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. (3) y = ax2 (2) y = ax2 + k 图① 图② 图③ 谁最合适？为什么？ 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 x O y 5 -5 -4 A 问题1 建立如图直角坐标系， 如何确定 a 的值？ 已知水面宽 10 m 时，拱顶离水面高 4 m，因此点 A (5，-4) 在抛物线上，由此得出 解得 因此， y＝－x²，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 a＝－ 新知探究 问题 2 水面上升 1 m，水面宽度增加多少？ 即水面上升 1 m 时，水面宽度增加了 . 这条抛物线表示的二次函数为 y＝－x² 当水面上升 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 －3＝－x²，解得 x1＝x2＝－ . 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 x O y 5 -5 -4 A 新知探究 【归纳总结】 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 解：建立如图直角坐标系， 设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax2. ∵ 该抛物线过点 (10，−4)， ∴ −4 = 100a，故 a = −0.04. ∴ y = −0.04x2. 【练一练】1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m. 建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式. 20 m y O A B x 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式； O C A B y x 将其代入 抛物线 中，得 c＝4， 解：根据题意，得 C (0，4). ∴ 抛物线解析式为 y＝− x2 + 2x + 4. 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 (2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ ∴这辆货车能安全通过. ∴ 对称轴为 x＝6. 由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点坐标为 (2，0) 或 (10，0)， 6 2 10 O C A B y x 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 8 O C A B y x 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ 分析：建立合适的直角坐标系， 利用二次函数的图象和性质求解. 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 解：建立平面直角坐标系如图. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 解得 a = －0.2， k = 3.5. 设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = ax2 + k. 而点 A，B 在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的解析式为 y =－0.2x2 + 3.5. 当 x = －2.5 时，y = 2.25 . 故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m. 1.52·a + k = 3.05， k = 3.5. x y O 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 【练一练】2. 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使 喷出的水流不致落到池外？ 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意，得 A 点坐标的为 (0，1.25)， 顶点 B 的坐标为 (1，2.25). 数学化 O ● C ● D x y A ● B (1，2.25) (0，1.25) ● 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m， 才能使喷出的水流不致落到池外. 当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)； 同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). 设右边抛物线的解析式为 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入点 A 的坐标，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25. O ● C ● D x y A ● B (1，2.25) (0，1.25) ● 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 新知探究 转化 回归 拱桥问题 抛物线形运动轨迹问题 （抛物线形实物与轨迹问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 1.如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据， 若以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建 立平面直角坐标系，则抛物线的解析式为 ⁠ ⁠. y＝－ x2　 当堂反馈 2. [一材多题]小明在校运动会上掷铅球. (1)第1次掷球时，铅球行进高度h(m)和飞行时间t(s) 满足的函数解析式为h＝－t2＋t＋，则当铅球距 离地面的高度最大时，飞行时间为 s. 2　 当堂反馈 (2)第2次掷球时，如图，铅球行进高度y(m)与水平 距离x(m)之间的函数解析式为y＝－(x＋1)(x－7)， 铅球落到A点处，则OA＝ m. [等价设问]小明此次掷球的成绩是 m. 7　 7　 当堂反馈 3.跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳 的手间距为4m，距地面均为1m，丙、丁两名同学 分别站在距甲同学拿绳的手水平距离1m，2.5m处. 绳子在甩到最高处时，刚好通过他们的头顶.已知丙 同学的身高是1.5m，建立如图所示的直角坐标系， 请你算一算丁同学的身高. 当堂反馈 解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 由图可知抛物线过(－1，1)，(0，1.5)，(3，1)三点. 代入易求其表达式为y＝－x2＋x＋. ∵丁同学头顶的横坐标为1.5， ∴y＝－×1.52＋×1.5＋＝1.625，即丁同学的身 高为1.625m. 解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c， 由图可知抛物线过(－1，1)，(0，1.5)，(3，1)三点. 代入易求其表达式为y＝－x2＋x＋. ∵丁同学头顶的横坐标为1.5， ∴y＝－×1.52＋×1.5＋＝1.625， 即丁同学的身高为1.625m. 当堂反馈 4. 图①是李村河上一座拱桥的截面图，拱桥 桥洞的上沿是抛物线形状.抛物线两端点与水面的距 离都是1m，拱桥的跨度为10m.桥洞与水面的最大 距离是5m.桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景 观灯.现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如 图②所示. (1)求抛物线的解析式； 当堂反馈 解：(1)由题意知抛物线的顶点坐标为(5，5)， 与y轴的交点坐标是(0，1). 设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋5，代入点(0， 1)， 得a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x－5)2＋ 5(0≤x≤10). 解：(1)由题意知抛物线的顶点坐标为(5，5)， 与y轴的交点坐标是(0，1). 设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋5，代入点(0，1)， 得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－(x－5)2＋5(0≤x≤10). 当堂反馈 解：(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4，令y＝ 4， 即4＝－(x－5)2＋5，解得x1＝，x2＝. ∴两盏景观灯之间的水平距离为－＝5(m). 解：(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是4，令y＝4， 即4＝－(x－5)2＋5，解得x1＝，x2＝. ∴两盏景观灯之间的水平距离为－＝5(m). (2)求两盏景观灯之间的水平距离. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $