26.3第2课时 利用函数图象求一元二次方程根的近似值

该初中数学课件聚焦二次函数图象与一元二次方程根的关系，核心内容为利用图象求方程近似值及不等式解集。课堂导入通过“估计x²+2x-10=0根的近似值”问题，连接二次函数图象知识，搭建从图象观察到方程求解的学习支架。 其亮点在于通过典例精讲（如x²-2x-2=0的近似值求解）和方法归纳（描点、观察交点、确定范围），培养数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理能力。采用合作探究与当堂练习巩固，小结构建知识脉络，助力学生系统掌握，教师可提升教学效率。

M A T H E M A T I C S y = ax² + bx + c (General Form) 用函数读世界 用图象写未来 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 把万物的变化，压缩成一个等式。 —— 笛卡尔 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 1 第二十六章 二次函数 26.3　利用函数图象求一元二次方程根的近似值 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 3 学习目标 1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集； （重点） 2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点） 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0根的近似值吗？ 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 6 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 7 利用函数图象求方程 的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 分析：方程 x²-2x-2=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 1 利用图象法求一元二次方程根的近似值 例1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 8 解：画出函数 y=x²-2x-2 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.062 5，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.687 5，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.687 5-2.75|=0.062 5<0.1，我们可以将2.687 5作为根的近似值. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象； (2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标； (可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根; 利用图象法求一元二次方程根的近似值 方法归纳 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B. B 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 导引：当 y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如图所示． 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8根的近似值． 例2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 解：在平面直角坐标系内作函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图，由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间． (1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索： 因此x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8根的一个近似值． x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 (2)另一根可以类似地求出： 因此x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _____________; 不等式ax2+bx+c>0的解集是___________; 不等式ax2+bx+c<0的解集是_________. 3 -1 O x y x1=-1， x2=3 x<-1或x>3 -1<x<3 合作探究 二次函数与一元二次不等式的关系（拓展） 2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 拓广探索： 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是___________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. 3 -1 O x 2 (4,2) (-2,2) x1=-2， x2=4 x<-2或x>4 -2<x<4 y 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______. 1 (2,0) x=2 问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 0 解：（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解； （2）当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 （x1＜x2） 有一个交点x0 没有交点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 . y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x1. y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解. y＞0，所有实数；y＜0，无解 y＜0，所有实数；y＞0，无解 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 19 1 (5分) 选择题 根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点坐标， 可以求出下列哪个方程的近似根（　） A．x2＋3x－1＝0 B．x2＋3x＋1＝0 C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝0 答案 答案：A 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 2 (5分) 填空题 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1， 且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为________． 答案 答案：x＝－2 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 3 (10分) 解答题 已知抛物线y＝x2－2x－3. (1)求这条抛物线与x轴的交点坐标和对称轴； (2)当y＞0时，直接写出x的取值范围； (3)当0＜x＜5时，直接写出y的取值范围． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 3 (10分) 解答题（续） 答案 解：(1)对于y＝x2－2x－3，令y＝0，解得x＝3或x＝－1. 故抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)． 对称轴为直线x＝－ b 2a ＝－ －2 2×1 ＝1. (2)x＜－1或x＞3. (3)从图象看，当0＜x＜5时，函数在顶点和x＝5时，分别取得最小值和最大值， 当x＝1时，y＝x2－2x－3＝－4； 当x＝5时，y＝x2－2x－3＝12. 故y的取值范围为－4≤y＜12. 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 24 二次函数图象 由图象与x轴的交点位置， 判断方程根的近似值 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 25 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿函数与变化之间的探索，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 $