26.4 实际问题与二次函数第三课时 课件 2026-2027学年人教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦二次函数解决抛物线形实际问题，从“解决实际最值问题的一般流程”导入，衔接之前面积、利润问题，通过拱桥、投篮等实例，以“建系—设解析式—求解—应用”为支架，引导学生掌握抛物线形问题的数学建模方法。 其亮点在于通过多种建系方案对比培养优化意识，归纳“建—设—求—用”通用步骤体现模型意识，结合拱桥通行判断等实例发展几何直观。教学中注重探究式学习，帮助学生提升用数学思维解决实际问题的能力，教师可借助清晰流程高效开展教学。

实际问题与二次函数 （第3课时） 人教版九年级上册数学 　　解决实际最值问题的一般流程是什么？ 分析变量关系，列出二次函数解析式，利用顶点或者自变量取值区间性质求最值． 二次函数常见两种解析式形式： ①一般式 y＝ax2＋bx＋c； ②顶点式 y＝a(x－h)2＋k． 思考：在抛物线形问题中，如果我们能够直接找到抛物线的顶点坐标，优先选择哪一种解析式？为什么？ 优先选用顶点式，顶点坐标可以直接代入，只需要求一个未知数 a，计算更简便． 　　一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m． 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 　　思考：我们之前学习的面积、利润最值问题，可以直接根据文字列出函数表达式；而拱桥外形是抛物线曲线，我们该怎样利用二次函数求出水位上涨后的水面宽度？ 探究 　　一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m． 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 想要利用二次函数研究这条抛物线，首先要把实物图形转化为平面直角坐标系内的函数图象，把图中的长度转化成点的坐标，这就是数学建模． 如何建立平面直角坐标系，是我们今天首要思考的问题． 探究 　　一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m． 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 以拱顶（抛物线顶点）为坐标原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系． 探究 O y/m x/m －1 －2 2 4 －4 1 －3 －2 －1 －3 3 5 －5 －4 　　一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m． 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 探究 －1 O y/m －2 2 4 －4 1 －3 －2 x/m －1 －3 3 5 －5 －4 思考： ①坐标系建好后，观察图形，你能直接读出哪些点的坐标？ ②已知抛物线顶点在原点，我们优先设哪种形式的解析式？ 　　一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m． 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）？ 　　分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题．为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系． 探究 －1 O y/m －2 2 4 －4 1 －3 －2 x/m －1 －3 3 5 －5 －4 －1 O y/m －2 2 4 －4 1 －3 －2 x/m －1 －3 3 5 －5 －4 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系（如图）． 　　设这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax2． 　　由抛物线经过点 (5，－4)，可得 　　－4＝a×52，解得 a＝ ． 　　因此，这条抛物线表示的二次函数为 ． －1 O y/m －2 2 4 －4 1 －3 －2 x/m －1 －3 3 5 －5 －4 　　当水面上升 1 m 时， 　　由 得 　　此时水面左右端点的横坐标分别为 　　所以水面宽度为 　　所以水面上升 1 m后，水面宽约为 8.6 m． 水面的纵坐标为 －3． ≈8.6（m）． －1 O y/m －2 2 4 －4 1 －3 －2 x/m －1 －3 3 5 －5 －4 　　除了这种建系方式，我们还可以怎么建立平面直角坐标系解决这道拱桥问题？ 方案①：以水面左侧交点为原点，水面水平线为 x 轴建立平面直角坐标系（如图）． 1 O y/m 7 9 6 3 2 x/m 8 10 4 2 4 1 3 5 (5，4) 1 O y/m －2 2 4 －4 1 3 2 x/m －1 －3 3 5 －5 4 方案②：以水面中点（拱顶正下方水面处）为原点，水面水平线为 x 轴建立平面直角坐标系（如图）． 方案③：以水面右侧交点为原点，水面水平线为 x 轴建立平面直角坐标系（如图）． 1 O y/m 3 2 x/m 4 (－5，4) －2 －4 －3 －5 －1 －7 －9 －8 －10 －6 　　大家观察三种新坐标系，结合抛物线顶点位置，思考：每种方案适合设哪一类解析式？计算量和刚才的方案对比，有什么感受？ 坐标系选择会直接影响计算复杂程度． 　　对比所有建系方案，想要简化运算，建立坐标系时有什么技巧？ 优先利用抛物线的对称性，尽可能把抛物线顶点放置在坐标轴上，将对称轴设置为 y 轴，解析式形式最简单． 归纳 抛物线拱形类问题建系技巧 （1）充分利用抛物线的对称性，优先将对称轴设为 y 轴，简化计算； （2）建系后根据顶点位置选择解析式： ①顶点落在原点：优先设 y＝ax2； ②顶点在 y 轴上（非原点）：优先设 y＝ax2＋k； ③顶点不在 y 轴上：优先选用顶点式 y＝a(x－h)2＋k． 抛物线拱形（抛物线轨迹）问题通用解题步骤 （1）建：建立适当的平面直角坐标系； （2）设：根据顶点位置灵活选择解析式（优先顶点式，简化运算）； （3）求：代入已知点坐标，求出函数关系式； （4）用：根据题意确定对应纵坐标（横坐标），求出对应自变量，换算线段长度，回归实际问题作答． 归纳 　　例1　在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 y＝－0.2x²＋3.85的一部分（如图）．若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离 l． 问题： 对比刚才拱桥例题，这道题和拱桥题有什么不同？ 　　例1　在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线 y＝－0.2x²＋3.85的一部分（如图）．若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离 l． 思考： ①篮筐高度为 3.05 m，对应函数中哪个量？ ②我们需要先求什么？再怎样计算距离 l？ 解：由题意，得篮筐高度 y＝3.05， 令 y＝3.05，得 －0.2x²＋3.85＝3.05， 整理，得－0.2x²＝－0.8， 即 x²＝4，解得 x＝±2． 结合图象，篮筐在 y 轴右侧，取 x＝2． 因为运动员投篮位置的横坐标 x＝－3.2， 所以 l＝2－(－3.2)＝5.2（m）． 答：运动员到篮筐正下方的距离 l 为 5.2 m． －1 O y/m －2 2 4 －4 1 －3 －2 x/m －1 －3 3 5 －5 －4 无论是拱桥建筑，还是投篮运动轨迹，本质都是抛物线型实际问题，都遵循“建 — 设 — 求 — 用”的通用解题流程，区别仅在于坐标系与解析式是否提前给出。 　　例2　一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m．突降暴雨后水面上升 1 m，有一艘装有物资的船准备从桥下通过．船身及物资外形如图所示．这艘船宽 4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面 2 m．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 本题坐标系需要我们自主建立，请大家回忆刚才总结的解题四步骤． －1 O y/m －2 2 4 －4 1 －3 －2 x/m －1 －3 3 5 －5 －4 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系（如图）． 　　设这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax2． 　　由抛物线经过点 (5，－4)，可得 　　－4＝a×52，解得a＝ ． 　　因此，这条抛物线表示的二次函数为 ． 　　当水面上升 1 m 时， 水面的纵坐标为 －3． －1 O y/m －2 2 4 －4 1 －3 －2 x/m －1 －3 3 5 －5 －4 因为物资顶部距离水面 2 m， 所以物资顶部纵坐标为－3－2＝－5． 船宽 4 m，船只居中通行，对应横坐标为 x＝2． 将 x＝2 代入解析式，得 y＝ ×22＝ ＝－0.64， 即横坐标 x＝±2处，拱桥高度 对应纵坐标为 －0.64． ∵－0.64＞－5，说明该位置桥拱 高于物资顶部． ∴这艘船能够顺利通过． 　　例2　一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10 m．突降暴雨后水面上升 1 m，有一艘装有物资的船准备从桥下通过．船身及物资外形如图所示．这艘船宽 4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面 2 m．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 判断能否通行类问题，核心思路是什么？ 固定宽度，算出对应位置拱桥高度，和物体高度对比大小． 抛物线形实际问题 通用解题步骤 两种模型 建：建立适当平面直角坐标系 设：灵活选取二次函数解析式 求：代入点坐标，求函数关系式 抛物线形运动问题 抛物线形建筑问题 用：结合解析式求解，回归实际作答 $