26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象和性质，涵盖配方转化、对称轴与顶点求解、增减性及最值等核心知识点。通过具体函数配方实例导入，承接顶点式内容，搭建从已知到一般式的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于结合配方法推导、描点与平移画法及性质对比表格，培养数学思维（推理与运算能力）和数学语言（模型观念）。分层练习题从基础到综合，助力学生逐步掌握，教师可利用系统资源提升教学效率，学生能扎实核心解题方法。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质专项练习 本次专项练习对应人教版数学九年级上册26.2.3.1知识点，是前面顶点式二次函数内容的整合与普及，重点学习一般式y=ax²+bx+c（a≠0）的图象特征、配方转化、对称轴与顶点求解、增减性和最值性质。本节是二次函数最通用的形式，也是中考基础题型、图象分析题型的必考内容，通过分层训练可扎实掌握一般式的核心解题方法。 一、核心知识梳理 1. 基本图象特征：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，a决定开口方向与开口大小，a＞0开口向上，a＜0开口向下，|a|越大，抛物线开口越窄，|a|越小开口越宽。b与a共同决定对称轴位置，c为抛物线与y轴交点的纵坐标，交点坐标为(0，c)。 2. 对称轴与顶点公式：通过配方可将一般式化为顶点式，推导得出对称轴为直线\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。这是一般式二次函数求解顶点、最值、增减区间的核心公式，无需配方即可直接计算。 3. 函数核心性质：a＞0时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值；当\(x＜-\frac{b}{2a}\)时，y随x增大而减小，当\(x＞-\frac{b}{2a}\)时，y随x增大而增大。a＜0时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值；当\(x＜-\frac{b}{2a}\)时，y随x增大而增大，当\(x＞-\frac{b}{2a}\)时，y随x增大而减小。 二、基础专项练习题 选择题 1. 二次函数y=2x²−4x+1的开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 抛物线y=x²+2x−3的对称轴直线为（ ） A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2 填空题 3. 二次函数y=-x²+6x的图象与y轴交点坐标为________，开口方向为________。 4. 抛物线y=2x²−8x+3的最小值为________。 基础解答题 5. 求二次函数y=-2x²+8x−1的对称轴、顶点坐标、最值，并写出函数的增减区间。 三、能力提升练习题 1. 已知点A(-1，y₁)、B(2，y₂)、C(4，y₃)在抛物线y=x²−2x−2上，比较y₁、y₂、y₃的大小。 2. 已知二次函数y=ax²+4x−1的对称轴为直线x=2，求a的值以及函数的最值。 四、综合拓展练习题 已知二次函数y=x²−4x+3，求：（1）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）函数的最值以及y随x增大而减小的自变量取值范围；（3）抛物线与y轴的交点坐标。 五、参考答案与详细解析 选择题解析 1. 答案：A。解析：二次函数a=2＞0，根据性质，a大于0时抛物线开口向上。 2. 答案：B。解析：由对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}\)，a=1，b=2，代入得x=-1。 填空题解析 3. 答案：(0，0)；向下。解析：x=0时y=0，故与y轴交点为(0，0)；a=-1＜0，开口向下。 4. 答案：-5。解析：a=2＞0有最小值，代入顶点公式求得纵坐标为-5。 基础解答题解析 5. 解析：a=-2＜0，开口向下；a=-2，b=8，c=-1，对称轴直线x=2，代入求得顶点坐标(2，7)；函数最大值为7，无最小值；当x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x增大而减小。 能力提升题解析 1. 解析：抛物线对称轴为x=1，开口向上，点离对称轴越远函数值越大。A点距离2个单位，B点距离1个单位，C点距离3个单位，故y₂＜y₁＜y₃。 2. 解析：对称轴x=2，代入公式\(2=-\frac{4}{2a}\)，解得a=-1；函数解析式为y=-x²+4x−1，开口向下，最大值为3，无最小值。 综合拓展题解析 （1）a=1＞0开口向上，对称轴x=2，顶点坐标(2，-1)；（2）函数最小值为-1，当x＜2时，y随x增大而减小；（3）令x=0，y=3，与y轴交点坐标为(0，3)。 练习总结：本节重点掌握一般式二次函数的公式法解题，核心考点为对称轴与顶点坐标计算、开口判断、增减性与最值求解。常见易错点为公式符号混淆、代入计算出错、不会利用对称轴比较函数值大小。一般式是二次函数的通用形式，熟练掌握公式法求解性质，能够实现一般式与顶点式的灵活转化，为后续二次函数图象与方程、不等式综合题型打下坚实基础。（字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 会用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，探索并掌握二次函数的性质. 思考：对于二次函数  ，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 我们知道，像y=a(x-h)2+k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗？ 探究新知 探究新知 根据前面的学习，可以先画出二次函数  的图象，然后把这个图象向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，就得到二次函数y-6x+21  的图象.     思考： 还有其他平移方法吗？ 把抛物线  向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度，就得到抛物线y-6x+21 . 探究新知 思考： 能直接画出二次函数 y-6x+21的图象吗？ 由配方的结果可知，抛物线y-6x+21 的顶点是(6.3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表： x ⋯ 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ y= ⋯ 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ⋯ 然后描点画图，得到  的图象. 探究新知 从二次函数  的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就是说，当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x=6 时，y 取最小值，最小值是 3. 探究新知 画二次函数  的图象的方法 (1) 描点法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式； ② 确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线. 探究新知 画二次函数  的图象的方法 (2) 平移法 ① 利用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)； ② 作出抛物线y=ax2； ③ 将抛物线 y=ax2平移，使其顶点平移到 （h，k ）处. 探究新知 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 解：(1) ， ∴该二次函数图象的开口向下， 对称轴是直线 ，顶点坐标是(1,5) . 探究新知 例1 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数 y=-2x2+4x+3的图象，并指出抛物线   y=-2x2+4x+3是由抛物线 y=-2x2 经过怎样的平移得到的； 解：(2) 列表如下： x ⋯ −1 0 1 2 3 ⋯  y=-2x2+4x+3 ⋯ −3 3 5 3 −3 ⋯ 描点、连线，二次函数 y=-2x2+4x+3的图象如图所示. 将抛物线 y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线 y=-2x2+4x+3. 探究新知 例1 解：(3)当x>1时，y随x的增大而减小. 已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (3)对于二次函数 y=-2x2+4x+3，当  取何值时， 随  的增大而减小？ 探究新知 知识点1 与 的关系 1.[重庆渝中区期末] 用配方法将二次函数 化成 的形式为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 13 2.若可配方为，则____， ____. 返回 举一反三 14 知识点2 二次函数 的图象与性质 3.[咸阳期中] 下列抛物线中，开口方向与其他三个不同的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 15 探究：你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ y=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3，其图象如图所示. 将抛物线y=-2x2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数y=-2x2-4x+1的图象. 抛物线y=-2x2-4x+1的开口向下，顶点为(-1，3)，对称轴为直线x=-1. 在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降. 也就是说，当x<-1时，y随x的增大而增大；当x>-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y取最大值，最大值是3. 探究新知 一般地，我们可以类似地研究二次函数 的图象和性质. 通过配方，可以将二次函数 化成 因此，抛物线 的对称轴是 ，顶点. 探究新知 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a > 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x > 时，y 随 x 的增大而增大； 因此，当 a > 0时， 抛物线 的顶点是最低点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最小值. 探究新知 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a < 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x >时，y 随 x 的增大而减小. 因此，当 a < 0时， 抛物线 的顶点是最高点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最大值. 探究新知 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 () 对称轴 直线 x=− 增减性 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x> 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=​时，y最小值​= 当 x= 时，y最大值​= 二次函数  的图象和性质 探究新知 系数 字母的符号条件 图象的特征 补充说明 a a>0 开口向上 抛物线开口方向的唯一决定因素 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为 y 轴（直线 x=0） 对称轴公式：x=− ab>0（a,b 同号） 对称轴在 y 轴左侧 a,b 同号时，−<0 ab<0（a,b 异号） 对称轴在 y 轴右侧 a,b 异号时，−​>0 c c=0 图象过原点 (0,0) 当 x=0 时，y=c，即与 y 轴交点为 (0,c) c>0 与 y 轴正半轴相交 交点坐标 (0,c) ，在 y 轴上方 c<0 与 y 轴负半轴相交 交点坐标 (0,c) ，在 y 轴下方 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的关系 简记为 “左同右异” 探究新知 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①b<0; ②c>0; ③a+b+c>0; ④4a+2b+c<0. 其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 观察图象→当x=1时，y>0→a+b+c>0 抛物线与y轴正半轴相交→c>0 观察图象→当x=2时，y<0→4a+2b+c<0 C 例2 探究新知 根据二次函数图象确定字母系数及相关代数式的符号的步骤 (1)根据抛物线的开口方向和与y轴的交点位置，先确定a和c的符号； (2)根据a的符号和对称轴的位置，再确定b的符号； (3)最后结合特殊，点的位置，确定代数式的符号. 比如：a+b+c对应的是x=1时的函数值； a-b+c对应的是x=-1时的函数值； 4a+2b+c对应的是x=2时的函数值； 4a-2b+c对应的是x=-2时的函数值. 探究新知 4.二次函数 的图象的顶点坐标是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 24 5.抛物线 的对称轴是( ) C A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 返回 举一反三 25 6.二次函数 的图象大致是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 26 7.已知二次函数，当函数值随的增大而增大时， 的 取值范围是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 27 8.[徐州中考] 二次函数 的最小值为_ _. 返回 举一反三 28 9.若，是抛物线 上的两个点，则它的对称轴 是__________. 直线 返回 举一反三 29 y=ax2+bx+c (a ≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 画法 图象 性质 描点法：列表 → 描点 → 连线 平移法： 上加上减常数项， 左加右减自变量 当  时，有最小值 当  时，有最大值 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而增大，在对称轴左侧  随  的增大而减小 当  时，在对称轴右侧  随  的增大而减小，在对称轴左侧  随  的增大而增大 开口方向 ，开口向上 ，开口向下 对称轴：直线  顶点坐标：（） 增减性 最值 课堂小结 谢谢观看 THANKS $