26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦二次函数图象和性质，分层设计梯度合理，知识覆盖从概念理解到综合应用，适配新授课巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|开口方向、对称轴、最值等基本概念|选择题1-6直接考查定义，填空题11-13强化基础运算| |中档|图像与坐标关系、区间取值、对称性质|选择题7-10结合图像分析，填空题14-16涉及参数计算| |提高|平移变换、动态几何、综合应用|解答题17-24融合配方、几何证明，如24题二次函数与对称点综合|

26.2.3《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》同步练习 一、选择题 1.已知二次函数y=x+5x+6,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.当x>-3时，y随x的增大而增大 C.二次函数的最小值为6 。批物线的对称转是= 2.对于二次函数y=x-6x+10,下列说法不正确的是() A.其图象的对称轴为过（③，）且平行于y轴的直线. B.其最小值为1. C.其图象与x轴没有交点. D.当x<3时，y随x的增大而增大. 3.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=-1,则这个二次函数的表达式为() -3-10x A.y=-x2+2x+3B.y=x2+2x+3 C.y=-x2+2x-3D.y=-r2-2x+3 4.点1(2)，B),C2为)是抛物线”=-x+少+2上的三点，则片，片，为的大小关系 为() A.>2>3 B.y>y>乃 C.3>y2>y D.3>y> 5.已知二次函数y=r+br+c(a≠0 的图象如图所示，则一次函数'=a+c的图象可能是 A 6.如图，抛物线y=ax+bxc与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，对称轴为直线x=2,其 部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为() A.(4,0) B.(6,0) C.(8,0) D.(10,0) 7.如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案.已知抛物线上B、C两点的高度相同，到 墙边OA的距离分别为0.5m,1.5m.若该墙的长度为12m,则最多可以连续绘制这样的抛物线 型图案的个数是() A 0.51.5 A.4 B.6 C.8 D.10 8.二次函数y=ar+br+c的图象如图所示，有以下结论：①c<0;②abc>0;③a-b+c>0; ④2a-3b=0;⑤c-4b<0.其中正确结论的个数是() 2 A.2 B.3 C.4 D.5 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2-2ar+( a>0)与y轴交于点4，过点A作x轴 的平行线交抛物线于点MP为抛物线的顶点.若直线OP.交直线AM于点B,且M为线段 AB 的中点，则“的值为() B A.1 C.2 . 10。已知数物线”=r+2x+c(00)与x转交于4-0)，B(m+0)两点，在2≤x≤3的物线 上有一点P,其纵坐标为n,若3≤c≤4，则n的取值范围是() A.-4≤n≤4 B.n≤-4或n≥4 C.-5≤n≤5 D.n≤-5或n25 二、填空题。 11.关于x的二次函数y=(a+)r+ar+a2-1。 的图像过原点，则a的值为一· 12.已知二次函数的图象经过点4(0，-3)，B(2,-3)C(10) 则此二次函数的解析式是 13.已知点P(am）和06，m叭是抛物线=2r-8x-3上的两个不同点，则a+b= 14.已知抛物线y=x2-4x+1,当1≤x≤4时，函数值y的取值范围是 15.若抛物线y=x2-6mx+6m+5m+3的顶点在直线y=x+2上，且位于第二象限，则m的值为 16.已知宜线上y=红+心经拉点Q和点一-2》，若点P小在直袋'上，以P为顶点的越物 线过点0,2)，且开口向上，则m的取值范围为】 三、解答题. 17.已知抛物线y=x2-4x+1 (1)用配方法将y=r-4r+l化成=a(-+的形式： (2)将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式. 18.已知二次函数y=-x2+2x+2. (1)请把下面的表格补充完整： -1 0 2 3 y=-x2+2x+2 2 2 一1 (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像. 4 -4-3-2-10 1 2 34x -2 -3 -4 (3)根据图像，回答下列问题： ①当x>1时，y随x的增大而一； ②当0<x<3时，y的取值范围是 ③当x=时，y有最大值为 19.已知地物线”=-r+r+c的图象经过点2刊，(，) (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标. (2)点A,B在抛物线上且AB‖x轴，线段AB先向上平移m(m>O)个单位长度，再向左平移 n(n>0) 个单位长度，点与'轴上的点重合，点和抛物线上的点B重合，AB与抛物线交 于点C,若点C是A'B的中点，求m,n的值. 20.已知抛物线y=x-2br+c(b,c为常数). (1)当b=2,c=5时， ①求该抛物线的顶点坐标. h(h>0) ②将该抛物线向下平移 个单位得到的新抛物线过点 a0),且1sas3,请求出h的取 n,0) 值范围， (2)当x≤-1时，y的最小值为6；当x>-1时，y的最小值为2.求该抛物线的表达式. 21.已知二次函数y=a(r+l(x-3a>0)的图像与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）， 与y轴交于点C. (1)若OC=OB,求a的值. 2点P(m,）,m+lg）,T2)是二次函数'=(+x-3)图像上三个不同的点. ①当=时，求m的值； ②当<<时，求m的取值范围. 22.在平面直角坐标系中，二次函数”=(-m+m的顶点P(m川在另一条抛物线=-+2上 运动.该二次函数图像与y轴交于点A.过点P作PB1y轴于点B. B y=x2-x+2 衣 (1)当m=1时，求点A和点B的坐标； (2)当m=2时，求△PAB的面积； (3)当m>0时，求点A的纵坐标4的最小值. 23.已知二次函数y=r-2(a-1)x+a+1 ()如果直线=x+'经过二次函数”=-2(a-r+a+1 图象的顶点P,求此时a的值： (2)随着α的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物 线的函数解析式；如果不是，请说明理由； (3)将该二次函数以x=3为对称轴翻折后的图象过点(a,b)(a未知，b为常数)，求原函数与 轴的交点纵坐标. 24.已知抛物线'=+伽+3与轴交于点1(-10)和点8(4,0 两点，与'轴交于点C. AO N B'X AO N 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上不与点A,B,C重合的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N,连 接MC. ①如图，若点M在第一象限，且∠CMN=45°，求点M的坐标； ②直线MN交直线BC于点D,当点D关于直线MC的对称点D'落在y轴上时，求线段CD'的长. 参考答案 一、选择题 1.D 5225. 521 解：y=r+5x+6=气x+24+6=x+)4. .a=1>0, 1 ∴.抛物线开口向上，最小值为4，A、C错误. 5 抛物线对称轴为=一2，D正确。 :开口向上，当>时y随的增大而增大，又3<， 5 .当x>-3时，并非随x的增大而一直增大，B错误. 2.D 解：)=r-6x+10=-31,所以抛物线的对称轴是直线：3，顶点坐标是(3,1)； A、其图象的对称轴为过(3，)且平行于y轴的直线，说法正确，本选项不符合题意； B、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意； C、因为抛物线的顶点是(3,1)，开口向上，所以其图象与x轴没有交点，说法正确，本选 项不符合题意； D、当x<3时，y随x的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意. 故选：D. 3.D 由图象知抛物线的对称轴为直线x=-山，设抛物线解析式为y=a(x+1少+c,将3,0)、(0,3)代 4a+c=0 a=-1 入，得a+c=3，解得c=4,则抛物线解析式为y=-(c+1)+4=-x2-2x+3. 4.A 解：，抛物线y=-(x+1)2+2, .对称轴为直线x=-1,a=-1<0, .当x>-1时，y随着x的增大而减小， 1(-2y 点关于对称轴对称的点坐标为0）， 0<1<2, y>>. 5.D 解：抛物线开口向下得到a<0, 对将钳在y轴右创，则会0，起得b20, 抛物线与'轴交点在正半轴，则C>0, .bc>0, ∴.一次函数y=x+bC的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求. 6.B 解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x,0), 抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，对称轴是直线x=2, .+2》=2,解得x,6, .2 ∴.此抛物线与x轴的另一个交点坐标为(6,0)， 故选B. 7.B 解：，抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的OA的距离分别为0.5m,1.5m, 0.5+15=1m, .BC中点到OA的距离为2 .每个抛物线宽1×2=2m, .12÷2=6, 可以连续绘制6个这样的图案， 故选：B. 8.B 解：，抛物线开口向上， .a>0 ;所以①正确； 抛物线的对称轴在'轴的右侧， b ∴.X=- ->0 2a .b<0 ； ,抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴.c<0 .∴.abc>0 所以②正确； x=-1 y>0 时， ∴.a-b+c>0 所以③正确； b 1 .x= 2a3, 2a+36=0,所以④错误： x=2 y>0 时， .4a+2b+c>0 把2a=-3b代入得-6b+2b+c>0, .c-4b> ,所以⑥错误， 综上所处正确结论的个数是3个； 故答案为：B. 9.C 解：：抛物线表达式为=m-2ax+a>0), .对称轴为直线x= 2a=1, 2a 把x=0代入得：y= 3, 40.8 .3, AB1y轴， .点A和点M关于直线x=1对称， M为线段AB的中点， ,8 设直线OB的表达式为y=k, ,8 84k 把4)代入得： 解得：k=2 3 2 ∴直线OB的表达式为y=3x, 把x=1代入的：y=3, 3， 解得：a=2, 故选：C 10.C 解：：抛物线"=r+2x+(a0)与x错交于1-m,0),Bm+L0)两点， 抛物线的对称轴为直线x= -m+m+l=1, 2 2 20l,解得a=-1, :.y=-r+2x+c=-(x-}+c+1 (1,c+1) ∴顶点为 ,在-2≤x≤3的抛物线上有一点P,其纵坐标为n, .x=-2时，n=-8+C, 当x=3时，n=-3+C, 3≤c≤4， .4≤c+1≤5，-5≤-8+c≤-4， ∴.n的取值范围是-5≤n≤5. 二、填空题。 11.1 解：二次函数)=(a+)r+a+d-的图像过原点， .当x=0时，y=0,即a2-1=0, 解得a=1或a=-1, 又.函数为二次函数，.a+1≠0，即a≠-l, .a=1. 故答案为：1. 12.y=x2-2x-3 解：设此二次函数的解析式为'=ar+br+c(a≠0) :二次函数的图象经过点(0，-3).B(2,-3)C(1,0) c=-3 a=1 4a+2b+c=-3 b=-2 a-b+c=0 ，解得 c=-3 ∴.此二次函数的解析式为y=x2-2x-3 13.4 解：抛物线y=2x2-8x-3, -8 对称轴为：=2x22, 由点P和点Q的纵坐标相同，且均在抛物线上， 点P和点Q关于x=2对称轴， .a+-2,解得：a+b=4 .2 故答案为4. 14.-3≤y≤1 解：y=x-4x+1=(x-2}-3 抛物线的顶点坐标为2- ,开口向上， 当x=2时有最小值是-3； 当x=1时，y=-2, 当x=4时，y=1, ∴当1≤x≤4时，函数值y的取值范围为-3≤y≤1 1 15.-3 解：y=r-6mx+6m2+5m+3=(x-3m)-3m2+5m+3 六顶点坐标为Bm,-3m2+5m+3) “抛物线顶点在直线"x+2上 上， .-3m2+5m+3=3m+2 整理得3m2-2m-1=0, 则4=(-2)2-4×3×(-1)=16， 2±V162±4 ∴.m= 2×36, 1 解得：m=1,m=3, .0 “项点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 0 当m=1时，顶点横坐标为3×1=3>0，不符合要求，舍去； 1 1 故m的值为3· 16.m<5且m≠0 解：直线：y=+巾经过点0-3)和点 (1，-2) k+b=-2 b=-3, [k=1 解得b=-3, ∴.y=x-3 P(m,m)在直线'上， : ∴.m-3=n, ,P(m,m-3) :以为顶点的抛物线过点@2) ·设抛物线解析式为y=a(r-m+m-3 托0,2)代入。得m+m-3=2, .am2=5-m, 当m=0时，0=5， 矛盾； 当m≠0时，a=5m m2, 抛物线开口向上， .a>0, 5-m>0」 .m2 .m2>0, .5-m>0, .m<5, 故m的取值范围是m<5且m≠0. 三、解答题 17.(1)解：y=x2-4x+1 .y=x2-4x+1 y=(x2-4x+4)-3 y=(x-2)2-3 (2)解：抛物线y=x2-4x+1的顶点坐标为(2，-3)， ∴此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为(3，-)， ∴.平移后所得抛物线的解析式为y=(x-3)2-1=x2-6x+8。 18.(1)解：分别求出当x=-1,x=1,x=2时对应'的值可得： 当x=-1时，y=-（+2x(←1)+2=-1 当x=1时，y=-1+2x1+2=3: 补全表格如下： -1 0 2 3 y=-x2+2x+2 -1 2 3 、1 故答案为：-1,3 (2) 画出二次函数的图象如下： y 4 3 4x (3)解：①观察图象可知，当x>1时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②观察图象可知，当0<x<3时，y的取值范围是1<y≤3， 故答案为：1<y≤3； ③观察图象可知，当x=1时，y取最大值3. 故答案为：1,3. 19.（1D解：把240,5代入=-r+i+c得 「-4+2b+c=4 [b=6 -25+5b+c=1解得c=-4 .y=-x2+6x-4 y=-x2+6x-4=-(x-3)2+5 (3,5) 顶点坐标： (2)解：作A4∥y轴交AB于A,作BB川y轴交AB于B, :抛物线的顶点坐标为35列】 .抛物线关于x=3对称，令x=3交A'B于D, AD=3, B'B 又：C为AB中点 ∴.x=A'C=CB'=2n 由题意得AA=B'B=n, 由抛物线的对称性得AC=CD=n, ..Xc=3-n ∴.3-n=2n 解得：n=1 1 x=2,4=4=2e=l, 代入y=-x2+6x-4 .C(2,4) 把x4=1代入y=-x2+6x-4,得yA=1 m=yc-yA=4-1=3 20.(1)①解：当b=2,c=5时，抛物线=-4+5=(x-2+1 则抛物线的项底坐标为2)。 ②解：由①知抛物线"=(x-2)+1 将该抛物线向下平移h>0)个单位得到的新抛物线为：，=-2+1-h, 将点a0)代入新抛物线得：(a-2+1-h=0,即h=(-2y+1, 由于-l≤n≤3， 则当n=2时，h有最小值，最小值为1， 当n=-1时，h=(1-2+1=10 当”=3时，h=(6-2y+1=2 因此，h的取值苑围为1≤h≤10； 2b=b (2)解：抛物线y=x2-2hx+c开口向上，对称轴为x=2 当x≤-1时，y的最小值为6；当x>-1时，y的最小值为2， 则b>-1 即当x=-1时，y=6；x=b时，y=2, [1+2b+c=6 代入抛物线得b2-2b2+c=2, b=1b=-3 解得c=3或c=l11(舍去)， 则该抛物线的表达式为y=x2-2x+3, 21.(1)解：令(x+x-3)=0 解得=-1书=3 又点A在点B的左边， “点1(1,0)占B6,0) 点 .OC =OB 且0>0 “点C的坐标为03) 当=0时， ，解得1 -3a=-3 (②)①由题意，可知抛物线的对称拍为直线x= =1 2 *y=y2 六点P,P关于直线引对称， 1 ∴m+m+1=1x2,解得m=与 2， 2,)关于对称轴直线=引对称的点为 (0y3) ②点 结合函数图像，·<， .0<m<2 ,m<m+1 点 (m+1,2) 在对称轴右侧， 又·<，且在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 之m1>2,即m>, 综上所述，当y<<时，m的取值范围是1<m<2. 22.（1)解：m=1, :P) :点P在抛物线y=x-x+2上， ∴.n=12-1+2=2 .P(1,2) :过点P作PB上y轴于点B :8102) :P2)在抛物线"=(-m+n .y=(x-+2 二次函数图像与y轴交于点A, :y=(0-02+2=3 :0,3) (2)解：m=2, .P(2,n） :点P在抛物线y=x-x+2上， ∴.n=22-2+2=4 .P(2,4) :过点P作PB上y轴于点B, 点8(0,4)P8=2 :P24)在抛物线y=(-m+n: y=(x-2)}2+4 ,二次函数图像与y轴交于点A, y=(0-2}+4=8 A(0,8) :AB=y4-a=8-4=4 n分X48P-=x4x2=4 (3)解：：点A在抛物线"=(-m心旷+n上且在》轴上， :y=(0-m°+n=m2+n P(m,n) ,点 物线’=0-x+2上， ∴.n=m2-m+2, .y4=m2+n=m2+m2-m+2=2m2-m+2, 霜到关于m的=次画数，关中a2>0开口向上，对称轴为：烟=品名 >0,在取值 范围内； 当-味.有小信，求小：得2-货 8 23.(1)解：y=r-2(a-lx+1+a=[x-(a-]-a2+3a 点P(a--a2+3a) 又点P在直线y=x+1的图象上， .-a2+3a=a-1+1 解得a=0或2； (2)解：顶点P是在抛物线y=-x+x+2的图象上.理由如下： 顶点P的坐标为a-l-a+3a) 可设x=a-1, 故y=-a+3a=-(a-+(a-1)+2 y=-x2+x+2 “二次函数图象的顶点P是在抛物线'=-+x+2 的图象上； (3)解：原抛物线以x=3为对称轴翻折后的图象过点(a,b), a)关于x=3的对称点 (6-a,b) 点 在原抛物线上， 把(6-a,)代入y=r-2a-l0r+a+1得，(6-a-2(a-l6-a)+a+1=b, 整理得3a2-25a+49-b=0, 25±V37+12b 解得 6 原函数与y轴的交点纵坐标为口+1=31±V37+12业 6 24.1D解：将点4(-1,0)和点4,0)代入y=a2+bx+3, 和点 a-b+3=0 .16a+4b+3=0, 3 a=- 解 9 b 抛物线的解行式为y=+ +3: (2)解：①当x=0时，y=3, :C0,3) :M点在第一象限， ∴.0<m<4, 过C点作CGLy轴交MW于点G, .∠CMN=45°， ∴.MG=CG, 3 9 ms、 m2+三m+3-3 4 4 解得m=0(舍)或m=」 3, .4314 .33； ②设直线BC的解析式为y=r+3, ∴.4k+3=0, 解得k=3 4 3 +3 直线BC的解析式为y=4 D'(0,y) 设直线CM的解析式为y=kx+3, k+3=-3+94+3 9 4 4 解得子+， t+ 直线CM的解析式为 当D'在y轴正半轴上时，CD=CD', 5 4=y-3, 5 ∴.y=2t+3 4 .D0,+3】 .（4, 1,1 :D、y的中点为宝+)在直线CM三， 3+3 7 解得1=3， 0沿9普 当D'在y轴负半轴上时，CD=CD', 3-y=5, 4, .y=3-t 4 ”D、的中点活经，3 在直线CM上， *-(子+ 都得吕。 .CD'=3+ 4985 1212 3585 综上所述：CD的长为12或12 O NB'3