26.3第1课时 二次函数与一元二次方程

该初中数学课件聚焦“二次函数与一元二次方程”核心内容，通过观察函数图象与x轴交点问题导入，结合根的判别式复习，搭建从一元二次方程到二次函数的知识支架，帮助学生建立两者联系。 其亮点是以小球飞行、足球高度等实际情境为载体，培养抽象能力和模型观念，通过表格对比交点与方程根的关系、典例精讲推理判别式应用，落实“数”与“形”的转化。学生能提升应用意识，教师可高效突破重难点，促进核心素养发展。

M A T H E M A T I C S y = ax² + bx + c (General Form) 用函数读世界 用图象写未来 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 把万物的变化，压缩成一个等式。 —— 笛卡尔 教 学 课 件 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 1 第二十六章 二次函数 26.3　二次函数与一元二次方程 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 3 学习目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点） 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 一元二次方程根的判别式： 式子b²-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示. (1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根. (2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. (3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 6 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 7 思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 1 二次函数与一元二次方程的关系 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 8 1 x y O y = x2－8x＋16 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴 公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元 二次方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－8x＋16 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 4 x2-8x+16=0，x1=x2=4 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 知识要点 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 例1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有交点； 例2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 例2 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且 它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 1.抛物线y＝x2＋bx＋1与x轴只有一个公共点，则b等于(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．0 C 2.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1. 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 你能否解决以下问题： 2 运动中的抛物线问题 例3 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？ h=20t-5t2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗？ O h t 20 2 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. h=20t-5t2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度? 20.5 解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5m. h=20t-5t2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面. h=20t-5t2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 3.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h (m)可以用公式h =－4.9t2 ＋19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间. (1)画出函数h = －4.9t2 ＋19.6t的图象； (2)当t=1, t=2时，足球距地面的高度分别是多少？ (3)方程－4.9t2 ＋19.6t = 0, －4.9t2 ＋19.6t = 14.7的根的实际意义分别是什么？ 你能在图象上表示出来吗？ 解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6. 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 (3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距地面的高度为0 m 时经过的时间； 方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根的实际意义是当足球距地面的高度为14.7 m时经过的时间． 方程－4.9t2＋19.6t＝0的根在图象上表示出来如图 中O，A两点； 方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根在图象上表示出来如图中M，N两点． (3)方程－4.9t2 ＋19.6t = 0, －4.9t2 ＋19.6t = 14.7的根的实际意义分别是什么？ 你能在图象上表示出来吗？ 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 24 1 (3分) 选择题 抛物线y＝x2＋2x＋4与x轴的交点个数为（　） A．0 B．1 C．2 D．3 答案 答案：A 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 2 (3分) 选择题 抛物线y＝x2＋bx＋c如图所示，则关于x的方程x2＋bx＋c＝0 的解是（　） A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x1＝－1，x2＝4 答案 答案：D 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 3 (6分) 解答题 求抛物线y＝ 1 2 (x－1)2－ 9 2 与x轴、y轴的交点坐标． 答案 解：令y＝0，即 1 2 (x－1)2－ 9 2 ＝0，解得x1＝－2，x2＝4， 令x＝0，则y＝－4， ∴抛物线y＝ 1 2 (x－1)2－ 9 2 与x轴的交点坐标为(－2，0)，(4，0)，与y轴的交点坐标为(0，－4)． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 4 (8分) 解答题 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a，b是常数，a<0)．求证： 在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点． 答案 证明：当y＝0时，ax2＋bx＋3＝0. ∵a<0， ∴Δ＝b2－4a×3＝b2－12a＞0. ∴方程ax2＋bx＋3＝0总有两个不相等的实数根． ∴在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点． 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 29 y=0 解方程 图象 由“数”到“形” 由“形”到“数” 一元二次方程 二次函数 一元二次方程的根 与x轴交点情况 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 30 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿函数与变化之间的探索，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 二次函数与一元二次方程 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 二次函数与一元二次方程 $