26.3二次函数与一元二次方程 第1课时教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十六章 二次函数

26.3二次函数与一元二次方程

第1课时

《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级二次函数单元的核心课时，承接一次函数与一元一次方程的对应关系，是函数与方程两大板块的交汇枢纽. 它既是对二次函数图象性质、一元二次方程解法与判别式知识的巩固整合，也为后续二次函数实际应用、二次不等式学习铺垫理论基础.在整个初中数学知识体系中，本节正式落地数形结合思想的系统运用，是学生从单一计算学习转向几何图象、代数计算双向分析问题的关键转折点，同时小球飞行实例搭建起数学理论与现实物理运动场景的桥梁，提升学生数学建模能力.

教材遵循“具象观察—归纳结论—实例应用—习题巩固”的递进逻辑：首先借助三组二次函数图象与x轴公共点的情况，直观对应三个一元二次方程根的不同状态；随后归纳出抛物线横坐标与方程实数根的等价关系，梳理公共点个数和判别式的对应规律；再依托小球飞行高度的实际例题，讲解如何将函数最值、取值问题转化为解方程问题；最后配套分层练习，让学生在实操中内化函数与方程的转化方法，层层递进完成知识的感知、理解、运用全过程.

已有基础：八年级掌握一次函数和一元一次方程的数形联系，九年级前期熟练求解一元二次方程、会用判别式判断根的情况，同时能够绘制、分析二次函数开口、顶点、与坐标轴公共点等图象特征，具备基本的识图、代数运算能力，也接触过简单的数学实际应用题建模.

存在困难：一是数形结合思维割裂，习惯单独计算方程、单独分析函数图象，很难主动建立二者双向转化的思维；二是面对实际情境问题时，无法快速提炼数量关系，不能精准把“高度能否到达某数值”转化为方程求解问题；三是对“抛物线与x轴仅有一个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根”这类临界状态理解模糊，容易混淆交点数量和根的数量关系.

认知特点：九年级学生抽象逻辑思维正快速发展，具备自主观察、小组归纳的能力，但依旧依赖具象图象辅助理解抽象代数关系，认知上需要依托图象实例完成从具象感知到抽象定理的提炼.同时学生具备一定的探究欲望，对运动类实际例题兴趣更高，适合依托图象观察、例题演算的方式完成知识建构，但知识迁移运用能力较弱，需要足量习题逐步强化转化思路.

1.理解二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的对应关系，能根据二次函数图象判断对应一元二次方程根的情况.

2.会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题，初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法.

3.经由观察、归纳、例题实操的学习流程，深化数形结合、转化化归的数学思想.

4.体会代数几何的内在联系，感受数学的实用价值，培养严谨的解题习惯与数学探究信心.

重点：理解二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的对应关系，能根据二次函数图象判断对应一元二次方程根的情况.

难点：会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题，初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法.

         复习回顾

问题1：一次函数y=kx+b(k≠0) 与一元一次方程kx+b=0的根有什么关系？

答：一次函数与一元一次方程：数：一元一次方程 ax+b=0 的解就是当函数 y=ax+b(a≠0)的函数值为0时自变量的值.

形：一元一次方程 ax+b=0 的解就是函数 y=ax+b(a≠0)的图象与 x 轴的交点的横坐标.        

思考：二次函数与一元二次方程之间是否也存在类似的联系呢？

师生活动：教师抛出一次函数与方程关系问题，学生回顾作答，从数、形两个维度梳理对应关系；教师顺势提出类比思考问题，引导学生迁移知识猜想二次函数和一元二次方程的关联.

设计意图：唤醒旧知数形结合认知，搭建新旧知识桥梁，借助类比思想自然引出新课探究内容，降低新知学习门槛.

         探究新知

活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系

问题2：如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？

(1) y=x2+x-2；  

(2) y=x2-8x+16；     

(3) y=x2-x+1.

由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0.的根的情况吗?

师生活动：学生观察三组抛物线图象，自主回答与x轴公共点、横坐标与函数值问题，分组归纳对应方程根的状态；教师引导双向梳理对应关系，带领学生提炼通用结论.

答：(1)y=x2+x-2

抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2，1.

当x取公共点的横坐标时，函数值是0.

由此可知，方程x2+x-2=0有两个不相等的实数根-2，1.

(2) y=x2-8x+16

抛物线y=x2-8x+16与x轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4.

当x=4时，函数值是0.

由此可知，方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根4.

(3) y=x2-x+1

抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.

由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根.

反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况.

若一元二次方程存在两个不相等的实数根，则对应二次函数图象与x轴有两个公共点；(x2+x-2=0，Δ>0)

若一元二次方程有两个相等的实数根，则对应二次函数图象与x轴有一个公共点；(x2-8x+16=0，Δ=0)

若一元二次方程没有实数根，则对应二次函数图象与x轴没有公共点.(x2-x+1=0，Δ<0)

总结：一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论：

(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.

y=ax2+bx+c→(x0，0)→ax02+bx0+c=0→x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.

(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.

设计意图：依托直观图象落实数形结合思想，让学生自主归纳函数图象与方程根的三类对应关系，完成新知的自主建构.

活动二：探究二次函数与一元二次方程的实际应用

问题3：如图以 40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一