26.3二次函数与一元二次方程 第1课时教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过复习一次函数与一元一次方程的数形联系，类比引出二次函数与一元二次方程的关联，搭建新旧知识桥梁，帮助学生迁移旧知学习新知。 以数形结合为主线，通过三组二次函数图象观察归纳根的三种情况培养几何直观，结合小球飞行实例将高度问题转化为方程求解培养模型意识，特色作业大棚通风口设计提升应用意识，助力学生深化转化思想，教师教学更具操作性和实效性。

第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 第1课时  一、教材分析 《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级二次函数单元的核心课时，承接一次函数与一元一次方程的对应关系，是函数与方程两大板块的交汇枢纽. 它既是对二次函数图象性质、一元二次方程解法与判别式知识的巩固整合，也为后续二次函数实际应用、二次不等式学习铺垫理论基础.在整个初中数学知识体系中，本节正式落地数形结合思想的系统运用，是学生从单一计算学习转向几何图象、代数计算双向分析问题的关键转折点，同时小球飞行实例搭建起数学理论与现实物理运动场景的桥梁，提升学生数学建模能力. 教材遵循“具象观察—归纳结论—实例应用—习题巩固”的递进逻辑：首先借助三组二次函数图象与x轴公共点的情况，直观对应三个一元二次方程根的不同状态；随后归纳出抛物线横坐标与方程实数根的等价关系，梳理公共点个数和判别式的对应规律；再依托小球飞行高度的实际例题，讲解如何将函数最值、取值问题转化为解方程问题；最后配套分层练习，让学生在实操中内化函数与方程的转化方法，层层递进完成知识的感知、理解、运用全过程.   二、学情分析 已有基础：八年级掌握一次函数和一元一次方程的数形联系，九年级前期熟练求解一元二次方程、会用判别式判断根的情况，同时能够绘制、分析二次函数开口、顶点、与坐标轴公共点等图象特征，具备基本的识图、代数运算能力，也接触过简单的数学实际应用题建模. 存在困难：一是数形结合思维割裂，习惯单独计算方程、单独分析函数图象，很难主动建立二者双向转化的思维；二是面对实际情境问题时，无法快速提炼数量关系，不能精准把“高度能否到达某数值”转化为方程求解问题；三是对“抛物线与x轴仅有一个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根”这类临界状态理解模糊，容易混淆交点数量和根的数量关系. 认知特点：九年级学生抽象逻辑思维正快速发展，具备自主观察、小组归纳的能力，但依旧依赖具象图象辅助理解抽象代数关系，认知上需要依托图象实例完成从具象感知到抽象定理的提炼.同时学生具备一定的探究欲望，对运动类实际例题兴趣更高，适合依托图象观察、例题演算的方式完成知识建构，但知识迁移运用能力较弱，需要足量习题逐步强化转化思路.  三、教学目标 1.理解二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的对应关系，能根据二次函数图象判断对应一元二次方程根的情况. 2.会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题，初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法. 3.经由观察、归纳、例题实操的学习流程，深化数形结合、转化化归的数学思想. 4.体会代数几何的内在联系，感受数学的实用价值，培养严谨的解题习惯与数学探究信心.   四、教学重难点 重点：理解二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的对应关系，能根据二次函数图象判断对应一元二次方程根的情况. 难点：会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题，初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：一次函数y=kx+b(k≠0) 与一元一次方程kx+b=0的根有什么关系？ 答：一次函数与一元一次方程：数：一元一次方程 ax+b=0 的解就是当函数 y=ax+b(a≠0)的函数值为0时自变量的值. 形：一元一次方程 ax+b=0 的解就是函数 y=ax+b(a≠0)的图象与 x 轴的交点的横坐标. 思考：二次函数与一元二次方程之间是否也存在类似的联系呢？ 师生活动：教师抛出一次函数与方程关系问题，学生回顾作答，从数、形两个维度梳理对应关系；教师顺势提出类比思考问题，引导学生迁移知识猜想二次函数和一元二次方程的关联. 设计意图：唤醒旧知数形结合认知，搭建新旧知识桥梁，借助类比思想自然引出新课探究内容，降低新知学习门槛. · 探究新知 活动一：探究二次函数与一元二次方程的关系 问题2：如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0.的根的情况吗? 师生活动：学生观察三组抛物线图象，自主回答与x轴公共点、横坐标与函数值问题，分组归纳对应方程根的状态；教师引导双向梳理对应关系，带领学生提炼通用结论. 答：(1)y=x2+x-2 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2，1. 当x取公共点的横坐标时，函数值是0. 由此可知，方程x2+x-2=0有两个不相等的实数根-2，1. (2) y=x2-8x+16 抛物线y=x2-8x+16与x轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4. 当x=4时，函数值是0. 由此可知，方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根4. (3) y=x2-x+1 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点. 由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况. 若一元二次方程存在两个不相等的实数根，则对应二次函数图象与x轴有两个公共点；(x2+x-2=0，Δ>0) 若一元二次方程有两个相等的实数根，则对应二次函数图象与x轴有一个公共点；(x2-8x+16=0，Δ=0) 若一元二次方程没有实数根，则对应二次函数图象与x轴没有公共点.(x2-x+1=0，Δ<0) 总结：一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根. y=ax2+bx+c→(x0，0)→ax02+bx0+c=0→x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 设计意图：依托直观图象落实数形结合思想，让学生自主归纳函数图象与方程根的三类对应关系，完成新知的自主建构. 活动二：探究二次函数与一元二次方程的实际应用 问题3：如图以 40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度 h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h20t5t2.小球的飞行高度能否达到 20m？如果能，需要多长时间？ 师生活动：教师出示小球运动实例，引导学生把高度问题转化为解方程问题；学生独立列式计算求解，结合函数图象思考追问问题，师生共同分析公共点的几何意义. 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h20t5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t5t2的根的问题. 解：当h=20时，由函数关系h20t5t2， 列得方程 20=20t5t2， 即 t24t+4=0. 解方程，得 t1=t2=2. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h20t5t2的函数值为20，即当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 追问：结合图象分析，小球为何只在一个时刻高度达到20m? 答：抛物线h20t5t2与直线h=20只有一个公共点. 设计意图：借助运动实例落实知识应用，让学生学会函数、方程的转化方法，借助图象深化数形结合思想，体会数学解决实际问题的价值. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：学生自主完成三道阶梯式习题，运用判别式、解方程解决高度与落地时长问题；教师巡视纠错，集中订正答案结合实际运动情境讲解结果的现实意义. 例题：关于探究问题2，回答下列问题： (1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？ (2)小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？ (3)小球从飞出到落地，需要多长时间？ 解：(1)当h=15时，由函数关系h20t5t2，列得方程 15=20t5t2 即 t24t+3=0 解方程，得 t1=1，t2=3 因此，当小球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m. (2)当h=20.5时，由函数关系h20t5t2，列得方程 20.5=20t5t2 即 t24t+4.1=0 因为 (4)24×4.1=0.4<0，所以方程无实数根. 这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m. (3)小球飞出时和落地时的高度h都为0m， 因此有 0=20t5t2 即 t24t=0 解方程，得 t1=0，t2=4 因此，当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m .这表明小球从飞出到落地要用4s. 设计意图：分层巩固函数与方程的转化方法，强化判别式的实际运用，让学生结合物理情境体会数学取值的实际限制，夯实建模解题能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.已知函数y=(k3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围. 解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数． ∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3； 当k≠3时，y=(k3)x2+2x+1是二次函数． ∵二次函数y=(k3)x2+2x+1的图象与x轴有交点， ∴Δ=b24ac≥0.∵b24ac=224(k3)=4k+16，∴4k+16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示. (1)写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根； (2)写出关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集； (3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解：(1)∵抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0) 即x=1或x=3时，y=0 ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1或x2=3 (2)∵当x<1或x>3时，y<0. ∴关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为x<1或x>3 (3)∵抛物线顶点的纵坐标为2， ∴直线y=2与抛物线y=ax2+bx+c只有一个交点. 要使直线y=k和抛物线有两个交点，则直线y=k必须在顶点下方， ∴k<2时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根. 师生活动：教师出示两道典型练习题，学生先独立思考演算，教师针对一次、二次函数分类讨论易错点进行点拨讲解；依托函数图象，师生合作完成方程根、不等式解集、参数范围的分析求解. 设计意图：巩固函数与方程的对应知识，补齐分类讨论的思维漏洞，借助图象实现方程、不等式知识串联，提升学生数形解题的综合能力. 【限时训练】 1.在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】D  【解析】解：的图象与轴没有交点，且方程的根就是抛物线的图象与轴的交点的横坐标， 关于的方程的根的情况是没有实数根， 故选：． 2.抛物线与轴的交点个数是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  3.若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数图象的对称轴为(    ) A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C  4.已知二次函数为自变量的图象与轴有两个交点，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：二次函数图象与轴有两个不同交点， ． 整理，得， 解得，， 对称轴为： 时，随的增大而增大 综上： 5.已知抛物线与轴交于，两点点在点的左侧 求，两点的坐标； 若点在该抛物线上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】解：令，则， 解得，． 点在点的左侧，， ． ，，． 的面积为，， ． 当时，， 解得，， 点的坐标为，； 当时，，即， ， 方程无解，不存在． 综上，点的坐标为，．   师生活动：学生独立完成分层巩固习题，同桌互相核对答案；教师针对易错题、综合题进行讲评，梳理图象、方程、参数类题目的解题思路，纠正共性错误. 设计意图：全面检测本节课知识掌握情况，由基础识图计算过渡到综合求值，查漏补缺，强化数形结合解题的熟练度，完善知识体系. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.二次函数与一元二次方程的基本关系是什么？ 3.二次函数与一元二次方程的解的对应情况是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：大棚拱形通风口结构设计探究 任务：温室大棚通风口横截面为抛物线拱形，以通风口底边中点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直高度为y轴建立平面直角坐标系，拱形解析式：y= 0.1x2+0.9(−3≤x≤3)(y：竖直高度/m，x：水平距离/m).依据本节课知识完成以下数值计算： 1.计算通风口拱顶的最大高度； 2.计算通风口底边的总宽度； 3.计划在高度 0.6m 处加固横杆，横杆的实际长度是多少； 4.若在高度 1m 处加固横杆，方案是否可行； 探究：1.与同桌交流分享：结合大棚拱形通风口问题，说一说你的解题思路，谈谈在解决实际问题时，如何建立二次函数与一元二次方程之间的联系？ 2.结合本题的求解过程，请归纳总结利用二次函数解决实际几何问题的完整建模与转化流程. 学科网（北京）股份有限公司 $