26.2.2《二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质》第2课时课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象与性质，课堂导入先复习\(y=ax^2+k\)的上下平移规律，结合实例分析顶点坐标，再提出左右平移的探究问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于通过列表计算函数值、描点画图培养几何直观，借助信息技术演示平移过程和篮球投篮轨迹的生活实例，运用类比与数形结合归纳性质，发展推理意识与模型意识。学生能直观理解抽象概念，教师可依托结构化流程提升教学效率。

人教版·九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数数的的图象和性质 第2课时 探究 的图象与性质 1.7.2013 同学们好！今天我们继续探索二次函数的奥秘。上节课我们学习了抛物线的上下平移，今天我们将学习另一种重要的平移方式——左右平移，探索 y=a(x-h)² 的图象和性质。 ‹#› 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数 的图象与 的图象之间的平移关系与内在联系。 掌握二次函数 的核心性质：准确判断开口方向、确定对称轴位置与顶点坐标。 能运用函数性质解决简单数学问题，体会数形结合思想与类比学习的方法。 1.7.2013 本节课我们有四个学习目标。首先，要理解y=a(x-h)²和y=ax²的关系。其次，要掌握左右平移的规律和函数的性质。第三，要能运用所学知识解决问题。最后，要体会数学思想和学习方法。 ‹#› 复习回顾 二次函数平移规律回顾与思考 01. 上下平移法则回顾 问题：抛物线 的图象如何由 平移得到？ 答案：沿轴方向平移。当 时，图象向上平移个单位；当时，图象向下平移个单位。 02. 典型实例分析 问题：抛物线的顶点坐标是什么？ 答案：顶点坐标为 ，说明它是由 向下平移 3 个单位得到的。 03. 新知探索思考 思考：如果我们想让抛物线沿轴左右移动，解析式应该如何变化？这正是我们本节课要深入探究的核心问题！ 1.7.2013 在开始新知识之前，我们先快速回顾一下上节课的内容。我们学习了上下平移，知道了k决定抛物线的上下位置。那么，如果想让抛物线左右移动，解析式应该怎么变呢？这就是我们今天要探究的问题。 ‹#› 新知探究 探究一：二次函数的图象 ▍探究任务 在同一平面直角坐标系中，尝试绘制以下三个二次函数的图象： ▍核心思考 1. 观察图象特征：它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 2. 探究位置关系：三条抛物线之间有怎样的位置联系？图象的左右平移与常数有何关联？ 1.7.2013 我们以最简单的 y=x² 为例，看看当x变成(x-1)或(x+1)时，图象会发生什么变化。这就是我们今天的探究任务。 ‹#› 新知探究：列表 一、列表计算函数值 请同学们在练习本上完成下表，通过计算不同值对应的函数值，观察二次函数及其平移后的函数值变化规律： ... -1 0 1 2 ... ... 4 1 0 1 4 ... ... 9 4 1 0 1 ... ... 1 0 1 4 9 ... 💡 观察思考：函数值的变化对应着图象怎样的变化？ 1.7.2013 第一步，我们来列表。大家可以发现，y=(x-1)²的图象，相当于把y=x²的图象向右移动了1个单位；而y=(x+1)²的图象，则相当于向左移动了1个单位。 ‹#› 新知探究 新知探究：描点与画图 根据表格中计算出的对应坐标值，在同一平面直角坐标系中依次描出的点，再用平滑的曲线将各函数的点顺次连接，观察并对比三条抛物线的开口方向、对称轴与顶点位置的差异。 1.7.2013 第二步，根据表格中的数据，我们在坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接起来。大家可以动手画一画，感受一下这三条曲线的位置关系。 ‹#› 新知探究 观察函数图象，对比的形态与位置，你发现了什么规律？ 01. 形状特征：“孪生兄弟”般的一致性 三条抛物线的开口方向（向上）、开口大小完全相同，形状毫无差异。它们就像“孪生兄弟”，唯一的区别在于在平面直角坐标系中的位置不同。 核心口诀：左加右减，形状不变 —— 二次函数图象平移的关键法则 1.7.2013 第二步，根据表格中的数据，我们在坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接起来。大家可以动手画一画，感受一下这三条曲线的位置关系。 ‹#› 新知探究 观察函数图象，对比的形态与位置，你发现了什么规律？ 向右平移：减则右移 抛物线是由 的图象向右平移 1 个单位得到的。 规律总结：括号内减，图象向右平移个单位。 向左平移：加则左移 抛物线是由的图象向左平移 1 个单位得到的。 规律总结：括号内加，图象向左平移个单位。 核心口诀：左加右减，形状不变 —— 二次函数图象平移的关键法则 1.7.2013 第二步，根据表格中的数据，我们在坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接起来。大家可以动手画一画，感受一下这三条曲线的位置关系。 ‹#› 新知探究 抛物线左右平移规律总结 01. 基本规律： 抛物线 可由平移得到：当 时，图象向右平移个单位；当时，图象向左平移个单位。 02. 记忆口诀： “左加右减” —— 针对括号内的 x 进行变化，括号内为减号则向右移，为加号则向左移。 03. 生活实例： 篮球运动员投篮时，球的运动轨迹是标准的抛物线。若运动员向前移动一步投篮，整个抛物线轨迹就相当于向右平移了一段距离，直观体现了平移规律在现实中的应用。 1.7.2013 由此我们得出了第二个平移规律：左右平移。抛物线 y=a(x-h)² 的图象，可以看作是将 y=ax² 的图象向左或向右平移 |h| 个单位得到的。这里要特别注意，括号里是x-h，所以h为正，反而向右移；h为负，反而向左移。口诀是“左加右减”。 ‹#› 新知探究 图象·观察对比 01 开口方向与形状 三条抛物线均开口向上，图象的形状完全相同，仅在坐标系中的左右位置存在差异。 02 对称轴特征 → 对称轴为直线 ； → 对称轴为直线； → 。 1.7.2013 由此我们得出了第二个平移规律：左右平移。抛物线 y=a(x-h)² 的图象，可以看作是将 y=ax² 的图象向左或向右平移 |h| 个单位得到的。这里要特别注意，括号里是x-h，所以h为正，反而向右移；h为负，反而向左移。口诀是“左加右减”。 ‹#› 新知探究 图象·观察对比 03 顶点坐标 三个函数的顶点依次为：，均落在轴上。 1.7.2013 由此我们得出了第二个平移规律：左右平移。抛物线 y=a(x-h)² 的图象，可以看作是将 y=ax² 的图象向左或向右平移 |h| 个单位得到的。这里要特别注意，括号里是x-h，所以h为正，反而向右移；h为负，反而向左移。口诀是“左加右减”。 ‹#› 新知探究 验证·信息技术演示 01. 形状恒定，开口一致 无论参数 取何值，抛物线的形状大小与开口方向始终与基础函数 保持一致， 的变化仅引起位置平移，不改变图象的几何特征。 02. 决定左右位置，控制平移 的取值直接决定抛物线顶点的横坐标，是控制图象左右移动的关键：当 增大时，图象向右平移；当 减小时，图象向左平移。 1.7.2013 由此我们得出了第二个平移规律：左右平移。抛物线 y=a(x-h)² 的图象，可以看作是将 y=ax² 的图象向左或向右平移 |h| 个单位得到的。这里要特别注意，括号里是x-h，所以h为正，反而向右移；h为负，反而向左移。口诀是“左加右减”。 ‹#› 新知探究 验证·信息技术演示 03. 对称轴随同步移动 抛物线的对称轴为直线，这条直线会随着 的数值变化而左右移动，始终经过抛物线的顶点，是图象对称关系的核心轴线。 1.7.2013 由此我们得出了第二个平移规律：左右平移。抛物线 y=a(x-h)² 的图象，可以看作是将 y=ax² 的图象向左或向右平移 |h| 个单位得到的。这里要特别注意，括号里是x-h，所以h为正，反而向右移；h为负，反而向左移。口诀是“左加右减”。 ‹#› 归纳总结 新知探究 的图象与性质 ① 开口方向： 由 的符号决定， 时开口向上， 时开口向下； 越大，抛物线开口越小。 ② 对称轴： 直线 ，即经过顶点且垂直于轴的直线。 ③ 顶点坐标： 抛物线的顶点为 ，是抛物线的最高或最低点。 1.7.2013 现在我们来总结一下 y=a(x-h)² 的性质。它的开口方向仍由a决定，但对称轴变成了直线x=h，顶点坐标是(h, 0)。最值也在顶点处取得，a>0时有最小值0，a<0时有最大值0。 ‹#› 归纳总结 新知探究 的图象与性质 ④ 增减性： 时， 则随增大而减小， 则随增大而增大；时， 则随增大而增大， 则随增大而减小。 ⑤ 最值特征： 时，时取最小值 0；时，时取最大值 0。 1.7.2013 现在我们来总结一下 y=a(x-h)² 的性质。它的开口方向仍由a决定，但对称轴变成了直线x=h，顶点坐标是(h, 0)。最值也在顶点处取得，a>0时有最小值0，a<0时有最大值0。 ‹#› 随堂练习 1.已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（       ） 2.下列抛物线的顶点坐标为的是（       ） A C 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=2(x-3)²，a=2>0，所以开口向上。h=3，所以对称轴是直线x=3，顶点坐标是(3,0)。当x=3时，y有最小值0。 ‹#› 随堂练习 3.某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（ ） 4.已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） C C 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=2(x-3)²，a=2>0，所以开口向上。h=3，所以对称轴是直线x=3，顶点坐标是(3,0)。当x=3时，y有最小值0。 ‹#› 随堂练习 5.抛物线的开口________，对称轴是_____________，顶点坐标是________，对称轴左侧，随的增大而________． 向下 直线 增大 1.7.2013 我们来看一个基础例题。对于抛物线 y=2(x-3)²，a=2>0，所以开口向上。h=3，所以对称轴是直线x=3，顶点坐标是(3,0)。当x=3时，y有最小值0。 ‹#› 例题解析 例1： 如图，抛物线的顶点为A，与轴的负半轴交于点B ，且． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在该抛物线上，求的值； （3）若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 1.7.2013 这道题是逆向思维。已知对称轴是x=-2，所以h=-2，解析式可以设为y=a(x+2)²。又因为开口向下，所以a<0。我们可以取a=-1，得到解析式y=-(x+2)²。 ‹#› 题型探究 解：（1）∵抛物线的顶点为， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：, 解得：. ∴ 1.7.2013 我们来看一个实际应用的例子。这个函数描述的是炮弹的飞行轨迹。它的顶点在(50,0)，表示炮弹在水平距离50米处落地。所以它的最大高度是0，射程是50米。这个模型比较简化，实际情况会更复杂。 ‹#› 题型探究 （2）将代入中， 得： 解得： . （3）∵抛物线 的对称轴为直线，且开口向下。 ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴. 1.7.2013 我们来看一个实际应用的例子。这个函数描述的是炮弹的飞行轨迹。它的顶点在(50,0)，表示炮弹在水平距离50米处落地。所以它的最大高度是0，射程是50米。这个模型比较简化，实际情况会更复杂。 ‹#› 课堂小结 一、平移规律：左右平移的核心法则 抛物线 的图象可由基础抛物线左右平移 |h| 个单位得到。核心遵循“左加右减”原则：当 时图象向右平移，时图象向左平移，这是掌握二次函数平移的关键口诀。 二、函数图象的核心性质解析 1. 开口方向：由二次项系数 决定， 开口向上， 开口向下； 2. 对称轴：始终为直线 ； 3. 顶点坐标：图象的顶点为 ； 4. 函数最值：当 时，函数取得最值 0（ 为最小值， 为最大值）。 三、数学思想方法的升华 本节课我们运用了两大核心数学思想：一是 类比学习 ，将 y=a(x-h)² 与基础形式 y=ax² 对比分析，推导规律；二是 数形结合 ，通过图象的直观变化理解代数表达式的特征，让抽象的函数性质变得具体可感，这也是解决函数问题的重要思维方式。 1.7.2013 好了，一节课的时间很快就过去了。我们来总结一下，本节课我们学习了抛物线的左右平移规律，记住了“左加右减”的口诀，并掌握了 y=a(x-h)² 的性质。希望大家能牢固掌握。 ‹#› 作业布置 基础巩固： 1. 完成教材练习题第1、2、3题，通过基础练习巩固二次函数的基本概念与图象性质。 能力提升： 2. 求解二次函数的图象与轴、轴的交点坐标，梳理函数图象与坐标轴交点的求解思路。 拓展探究： 3. 动手绘制 的图象，观察并总结这三个函数图象之间的平移规律与位置关系。 1.7.2013 为了巩固所学，我布置了三道作业。基础题帮助大家巩固今天的知识。提高题需要大家求函数与坐标轴的交点。拓展题则鼓励大家动手画图，直观感受平移。 ‹#› 北师版·九年级上册 谢谢观看！ 下节课预告：二次函数 的图象和性质 1.7.2013 今天的课就到这里。下节课我们将学习最一般的形式 y=a(x-h)²+k，探索抛物线的综合平移。感谢大家的聆听！ ‹#› $