海南省海口市海南华侨中学2024-2025学年高二下学期第一次考试数学试题

2023级高二年级第二学期第一次考试数学试题 命题人：马莉 审题人 ：梅馨怡 吕晓平 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 (第Ⅰ卷) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 则向量a与b的夹角为( ) A. π/4 B. π/6 C. π D.π/3 2. 抛物线 的焦点坐标是( ) 3. 已知直线3x+2y-3=0和6x+ my+1=0互相平行, 则他们之间的距离是( ) A. 4 4.已知数列{an}满足则a。等于( ) A.6 B.11 C.22 D.43 5.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为 向量 与平面α平行，则实数z等于( ) A. -30 B. 24 C. 3 D. - 3 6.已知点A(-2,-1), B(2,-2),直线l经点P(0,1), 若直线l与线段 AB相交, 则直线l斜率的取值范围为( ) 7.直线l与圆 相交于A, B两点, 若弦AB的中点为 C(-2,3), 则直线l的方程为( ) A. x-y+5=0 B. x+y-1=0 C. x-y-5=0 D. x+y-3=0 8.2025年春晚小品《借伞》，融合了多种戏曲元素，展现了中华文化的博大精深与多元魅力，贯穿其中的重要道具油纸伞至今已有1000多年的历史.如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e, A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分. 9.已知数列{an}的前n项和 则( ) C. 若5<aₖ<8, 则 k=8 D.若 则k=9 10.已知双曲线 的左、右焦点分别为F₁，F₂，左、右顶点分别为A，B，点P在双曲线上，则下列结论正确的是 ( ) A.该双曲线的离心率为 B.若 则 或1 C.点P到两渐近线的距离乘积为 D.若 则.△PF₁F₂的面积为 11.在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2 ,BC=AA₁=2,M ,N 分别为B₁C₁, A₁B₁的中点, 则( ) A.异面直线BN与AC所成角的余弦值为 B.若点P为长方形ABCD内一点(包含边界)，且D₁P∥平面BMN，则D₁P长的最小值为 C.三棱锥B-B₁MN 的外接球的半径为 D.过点D , M , N 的平面截长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁.所得的截面周长为 (第Ⅱ卷) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知等差数列 则 a₂₁的值= ; 13. 如图, 已知平面α⊥平面β,且α∩β=l,在l上有两点A, B, 线段AC⊂α,线段BD⊂β,并且AC⊥l,BD⊥l,AB=3,BD=4,AC=5,则线段CD的长为 ； 14.已知抛物线 若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F ， |BF|=4, |AB|=3,则直线AB 的斜率为 ； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题13分)(1)求焦点坐标分别为F₁(0,-2), F₂(0,2),且经过点 的椭圆的标准方程； (2)求过点 的抛物线的标准方程. 16.(本题15分)已知圆心C在直线2x-3y=0上, 圆上两点A(3,1), B(2,2). (1)求圆C的标准方程； (2)一条光线从P(-2，3)出发，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在的直线方程. 17.(本题15分)某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红包金额的球，其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金额外完全相同.每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸n次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额. (1)若n=1，求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率； (2)若n=2，且每次摸出的球放回袋中，设事件A为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件B为“一名员工所获得的红包金额不小于 100元”，试判断A，B是否相互独立，并说明理由. 18.(本题17分)如图，四棱锥 中， 是以AD为斜边的等腰直角三角形， (1)若点E为线段PD的中点, 求证: 直线CE∥平面PAB; (2)若点E为线段PD的中点，求直线CE与平面 PAB间的距离； (3)若点E为线段PD上的动点，求直线CE与平面PAB所成角的正弦值的最大值. 19. (本题17分)如图,矩形ABCD中, E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，R、 S、 T 是线段OF的四等分点, R'、 S'、 T'是线段CF 的四等分点. (1)证明直线ER与GR'、ES与GS'、ET 与GT'的交点L、M 、N都在椭圆 上. (2)若椭圆 与直线y=kx+m交于不同的两点M'、N'，如果存在过点 的直线l，使得点M'、N'关于l对称，求实数m的取值范围 2023级高二年级第二学期第一次考试数学答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D C A B A D BC AC ACD 二、填空题 12. 18 三、解答题 15.解：(1)因为椭圆的焦点在 y轴上，所以设它的标准方程为 方法一：由椭圆的定义知 解得 a=6.又c=2,所以 所以椭圆的标准方程为 方法二：因为所求椭圆过点(4，33 ),所；以 又 可解得d²=36,b²=32,所以椭圆的标准方程为 (2)因为点 )在第二象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y²=-2px(p>0)或x²=2py(p>0), 将点 4)代入 y²=-2px,得 解得 所以抛物线方程为 将点 4)代入x=2py,得 解得ρ=1, 所以抛物线方程为x=2y，综上，所求抛物线的标准方程为 或x²=2y. 16.解:(1) 设圆心为C(3a,2a), 则 即 解得a=1, ∴圆C的标准方程： (2) 如图: 是A 点关于x的对称点. 显然，当反射后的直线斜率不存在时，反射后的直线与圆不相切， 所以反射后的直线的斜率一定存在， ∴设l:y+3=k(x+2), 即l: kx-y+2k-3=0, ∵反射后的直线与圆相切，∴圆心C(3，2)到直线的距离d =r， 整理得 即 ∴反射后的光线所在直线的方程: l:4x-3v-1=0或3x-4y-6=0. 17.解：(1)一名员工所获得的红包金额不低于50元，即获得50元或60元，故所求概率为 (2)由题意，事件AB表示“一名员工所获得的红包金额为 100元”. 因为100=50+50=40+60=60+40, 所以 A= “一名员工所获得的红包金额为80元或90元或100元”, 因为80=40+40.90=40+50=50+40,所以 B= “一名员工所获得的红包金额为100元或110元或120元， 因为110=50+60=60+50,120=60+60,所以 所以 所以A，B不相互独立. 18.解:(1) 取 PA的中点F , 连接EF,FB, 有 又 所以EF∥BC,EF=BC, 所以四边形BCEF 是平行四边形, 所以CE∥BF ,因为CE⊄平面PAB, BF⊂平面PAB, 所以CE∥面PAB. (2)由(1)知，点E为线段PD中点时，直线CE与平面PAB间的距离即为点C到平面PAB的距离. 取AD的中点O, 连接OP,OB , 因为 P.4=PD,∠APD=90°, 所以 由BC∥AD,BC=OD=CD=1,CD⊥OD, 四边形BCDO是正方形, 有AD⊥BO,OB=1, 因为PO∩BO=O, PO,BO⊂平面PBO, 所以AD⊥平面PBO, 由PC= , CB=1, 知 得 所以 则以O坐标原点，分别以OB、OD、OP所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 有 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), 由 取x=1, 则y=-1,z=1, 得平面PAB的一个法向量为m=(1,-1,1), 又 所以C到平面PAB的距离 所以CE 与平面PAB间的距离为 设 设直线CE与底面PAB所成的角为θ， 所以 当 时, sinθ=0; 当 时， 令t=4λ+1(1≤t≤5且t≠3), 则 在t∈(1,3)时递减, 在t∈(3,5)时递增, t=l时y=8, t=5时 所以, 当t=1即λ=0时, 为所求的最大值 19.解: (1)设点L(x,y), 由题可知 则直线ER即直线EL的斜率为 直线GR'即直线GL的斜率为 以上两式相乘可得， 化简可得 所以，点L在椭圆 上，同理可证点M 、N都在椭圆 上 (2)由 消去整理得 整理得： 令M'(x₁, y₁), N'(x₂, y₂) , 设M'N' 的中点P(x₀, y₀) , 则 ī)当 k=0 时, 由题知, ii)当k≠0 时, 直线l 方程为 由 在直线l上，得 得 把②式代入①中可得 解得0<m<2 又由②得 解得 验证: 当(-2,0) 在y= kx+m 上时, 得m=2k 代入②得. k 无解. 即 不会过椭圆左顶点. 同理可验证y=kx+m不过右顶点.∴m 的取值范围为 综上， 当k=0时，m的取值范围为 当k≠0 时，m的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$