精品解析：海南省洋浦中学2025-2026学年高二年级第二学期开学考数学试题

海南省洋浦中学2025-2026学年高二年级第二学期开学考 数学试题 一、单选题 1. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且不过圆心 D. 相交且过圆心 5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，则恰好选中1名男生和1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，则点，若圆上存在一点满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 数列满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递增数列 10. 已知方程．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆 B. 若，该方程表示焦点在轴上的椭圆 C. 若该方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D. 该方程可以表示两条平行直线 11. 如图所示，底面为菱形的直棱柱中，点在侧棱上，，点为侧面内一动点（包含边界），则（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是四边形 B. C. 平面与平面所成角的余弦值为 D. 若平面，则点的轨迹的长度为 三、填空题 12. 已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________. 13. 在平行六面体中，若，则__________. 14. 若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知数列是“对数2底数列”且，则当且时，__________. 四、解答题 15. 已知等差数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 16. 已知椭圆：的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于A，B两点，若线段的中点为，求直线的方程及线段的长度. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且平面，点为的中点． （1）求证：平面平面； （2）二面角的大小； 18. 已知点在圆心为的圆上运动，点． （1）求的取值范围． （2）若动点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为． （i）求的方程： （ii）过点作两条相互垂直的直线，分别与交于点，证明：直线过定点． 19. 已知是递增的等差数列，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省洋浦中学2025-2026学年高二年级第二学期开学考 数学试题 一、单选题 1. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为，所以，解得， 故选：A. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率为，进而得到倾斜角. 【详解】由直线，可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为，故C项正确. 故选：C. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式可求答案. 【详解】设的公比为，所以，因为公比为实数，所以，所以，所以. 故选：B. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交且不过圆心 D. 相交且过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心在直线上，判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标为，圆心在直线上， 所以直线与圆的位置关系是相交且过圆心. 故选：D. 5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，则恰好选中1名男生和1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】基本事件总数，两人恰好是1名男生和1名女生包含的基本事件个数，由此能求出两人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【详解】从3名男生和2名女生中随机选取2人，基本事件总数， 两人恰好是1名男生和1名女生包含的基本事件个数， 则两人恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选：C 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期可得答案. 【详解】因为， 所以，， ，，， 可得数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：A. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算离心率的范围. 【详解】因为是钝角三角形，且，所以为钝角， 则，则，则， 则，得， 故椭圆的离心率的取值范围是. 故选：B 8. 已知圆，则点，若圆上存在一点满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由求得点的轨迹方程为，将问题转化成两圆有公共点问题，利用两圆位置关系的判断方法解不等式即得. 【详解】设点，因， 则由可得：， 化简整理得：，即点的轨迹方程为， 依题意，圆与圆有公共点， 又，两圆半径分别为，故得， 即，即， 解得. 故选：A. 二、多选题 9. 数列满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助等比数列定义及其性质可得A、B；借助等比数列与等差数列求和公式计算可得C；借助作差法可得，即可得D. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则，所以，故B正确； 因为，所以 ，故C错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，即数列是递增数列，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知方程．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆 B. 若，该方程表示焦点在轴上的椭圆 C. 若该方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D. 该方程可以表示两条平行直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用椭圆、双曲线方程特征及直线方程特征逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，方程为，表示圆，A错误； 对于B，当时，方程为，，该方程表示焦点在轴上的椭圆，B正确； 对于C，该方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，C正确； 对于D，当时，方程表示两条平行直线，当时，方程也表示两条平行直线，D正确. 故选：BCD 11. 如图所示，底面为菱形的直棱柱中，点在侧棱上，，点为侧面内一动点（包含边界），则（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是四边形 B. C. 平面与平面所成角的余弦值为 D. 若平面，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D. 【详解】对A，取中点，连接，如图， 则（都与平行），所以四点共面， 则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A正确． 对B，连接，由题意可得，底面，底面，所以， 而平面， 所以平面，又平面，所以，B正确．  对C，设与交于点，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，易知平面的一个法向量为， 则，C错误． 对D，连接，由A项知四点共面，平面， 又平面平面，所以， 所以的轨迹为线段（不含点），，D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 则， 所以与之间的距离. 故答案为：；. 13. 在平行六面体中，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】把用、和来表示出来，与题中给的式子比较系数就可以算出的值． 【详解】如下图所示，有.= 又因为,所以解得 所以=. 【点睛】本题是空间几何与空间向量结合的题目，要注意把其中关系找出来． 14. 若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知数列是“对数2底数列”且，则当且时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据“对数底数列”的定义，列出一系列等式，然后进行相乘进而发现规律，从而可求出结果. 【详解】因为数列是“对数2底数列”，所以，所以， 所以且， 以上式子相乘得，所以， 所以，得， 即，得，因为，所以； 同理，，所以，所以， 所以.故. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知等差数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量计算求出，从而求出其通项公式； （2）利用裂项相消法求数列的前项和即可. 【小问1详解】 已知 ，根据通项公式可得 ， 则 ，解得 ， 所以 【小问2详解】 由（1）知 ，则 ， 所以 . ， 因此，数列 的前 项和 . 16. 已知椭圆：的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于A，B两点，若线段的中点为，求直线的方程及线段的长度. 【答案】（1）； （2）直线的方程；. 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点列出方程组求出即可. （2）用点差法求直线斜率，进而利用点斜式直线方程求解，最后再结合韦达定理求解弦长. 【小问1详解】 由椭圆：的离心率为， 得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 设交点坐标，，， 因为线段的中点为，所以，. 因为，两式相减得， 又因为，可得，即， 所以直线AB的方程为，即. 联立方程，消去y得， 可得，，， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且平面，点为的中点． （1）求证：平面平面； （2）二面角的大小； 【答案】（1）证明:连接与交于点，连接， 底面为菱形，点为的中点， 点为的中点， 又平面，平面， 又平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，连接，根据菱形的性质与中位线的性质得出，结合已知得出平面，即可根据面面垂直的判定证明平面平面； （2）以为原点，以向量方向为轴正方向建立空间直角坐标系，根据已知结合菱形的性质与中位线的性质得出各点坐标，即可得出，，，利用平面法向量的求法得出平面的一个法向量为的坐标，再根据面面垂直的性质得出平面，即为平面的一个法向量，即可由二面角的向量求法得出答案； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面，且底面为菱形， 两两垂直， 以为原点，以向量方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 底面为菱形，且，， ，， 分别为的中点， ，， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则， 底面为菱形， ， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 为平面的一个法向量， 设二面角大小为，由图可知二面角为锐二面角， 则， 所以二面角的大小为； 18. 已知点在圆心为的圆上运动，点． （1）求的取值范围． （2）若动点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为． （i）求的方程： （ii）过点作两条相互垂直的直线，分别与交于点，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）方法一：由题意，设的方程分别为， 的渐近线方程为，可得． 由得 解得 用替换，得 由对称性，知直线过的定点一定在轴上， 当或时，可得直线的方程为，过点． 当时，， 直线过点． 综上，直线过定点． 方法二：当直线的斜率存在时，设直线 由得 则 ① ，即， 整理得或． 经检验，不满足①，满足①． 直线的方程为，过定点． 当直线的斜率不存在时，若其过点，则方程为， 由得，则，满足题意 综上，直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据点和圆的位置关系结合半径得出距离的范围； （2）（i）应用双曲线定义得出双曲线方程；（ii）方法一：设的方程联立方程组结合对称性得出定点；方法二：设直线应用向量转化垂直关系结合韦达定理计算得出即可得出定点. 【小问1详解】 由题知圆的圆心为，半径． ，点在圆外， 由，得， 即的取值范围是． 【小问2详解】 （i）在线段的延长线上，， ， 点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 的方程为． （ii）略 【点睛】关键点点睛:求解定点的关键是应用双曲线的对称性确定直线过的定点一定在轴上或应用向量关系转化垂直进而得出减少未知量求解. 19. 已知是递增的等差数列，，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出通项公式. （2）利用并项求和法，结合等差数列前n项和公式求解. （3）求出，探讨数列的单调性，求出其最大项即可得解. 【小问1详解】 在等差数列中，，而， 则是方程的两个根，解此方程得或， 又是递增数列，则，因此数列的公差， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 因此 . 【小问3详解】 依题意，，， 令，， 当时，；当时，，因此数列的最大项为， 由对任意恒成立，得， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $