精品解析：四川达州市罗江镇初级中学2026—2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题

罗江镇初级中学2026—2027学年九年级上学期开学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 2. 若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：．∵， ∴，故本选项不符合题意； ．∵， ∴， ∴，故本选项符合题意； ．∵， ∴，故本选项不符合题意； ．∵， ∴，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列多项式中，能分解出因式m+1的是（　　） A. m2﹣2m+1 B. m2+1 C. m2+m D. （m+1）2+2（m+1）+1 【答案】C 【解析】 【分析】根据提公因式法和运用公式法分解每一个多项式，即可得到结论． 【详解】A．m2﹣2m+1=（m﹣1）2； B．，不能分解； C．=m（m+1）； D．=（m+1+1）2=（m+2）2． 故选C． 【点睛】本题考查了提公因式法和运用公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和运用公式法是解题的关键． 4. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则DE的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形性质求出的度数，设，在中用表示出和，进而表示出和，再通过作高利用勾股定理表示出，最后根据列方程求解． 【详解】解：在中，，， ． ， ． 设，在中，， ，． 是的中点， ， ． 过点作于点， 在中，， ， ． ，， ． ， ， 解得：， 即． 5. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐项进行判断即可 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. 的分子、分母没有公因式，不能约分，因此选项D不符合题意； 故选：C 6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长是( )    A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知OA=AC，OB=BD，结合AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴点O是AC、BD的中点， ∵AC+BD=24cm， ∴OB+OA=（AC+BD）=12cm， ∵△OAB的周长是18cm， ∴AB=18-12=6cm， ∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF=AB=3cm， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大． 7. 我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据总长度表示出罗布的长度，再根据总收入得到两种布的单价，最后根据“绫布和罗布各出售尺共收入文”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有 尺， 绫布和罗布分别全部出售后均能收入文， 绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文， 又绫布和罗布各出售尺共收入文， 可列方程． 8. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长，利用勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长， ，，， ， 由平移得，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 的最小值为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设“______．”（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤是解题的关键．根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设“， 故答案为：． 10. 若分式的值为0，则m的值为______． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子，解得， 检验分母：当时，分母， ∴符合题意， 故答案为：3． 11. 如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为_________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分这一性质是解决本题的关键． 根据平行四边形的性质可得的长度，再由平行四边形的对角线互相平分这一性质可得的长度，由此可计算三角形的面积． 【详解】解：在中，， ∴， 且，， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：13 ． 12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围． 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得． 故答案为：． 13. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出平移的距离，再根据平移的性质得出点C的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到， ∴将点向右平移2个单位长度得到点． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 【答案】在数轴上表示不等式组的解集如下： ，解集 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示不等式的解集略： 所以该不等式组的解集是 ． 15. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形： （2） 解：如图，即为所求作的三角形： （3） 【解析】 【分析】本题考查了根据平移作图、作已知图形的中心对称图形、根据旋转的性质确定对称中心等知识． （1）根据平移的要求确定点、、三个点，即可做出； （2）根据中心对称的性质确定、、三个点，即可做出； （3）如图，观察图形得到和关于某点中心对称，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 17. 某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元． （1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？ （2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？ 【答案】（1）化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为54元 （2）该校此次计划最多能购买33套物理实验器材． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键． （1）设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，列出关于x的分式方程求解即可得出答案． （2）该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据购买总费用不超过5000元列出关于m的一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元， 根据题意：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元 【小问2详解】 解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套， 根据题意有：， 解得：， ∵m为整数， ∴m最大取33， 即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材． 18. 如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵等边， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， （2） 证明：∵， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3） 解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据，结合已知可以得出，从而证明， （2），由点E、G关于对称，可得，则，由，证明，再由，可得，进而结论得证； （3）由点G是点E关于的对称点可得，，同理（1），四边形是平行四边形，则，证明是等边三角形，则，由，可得，则，，由此得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】把所求式子因式分解为，再把已知条件整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确把所求式子因式分解为是解题的关键． 20. 如图，在中，点为的中点，平分，过点作于点，连接．若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，证明，得到，求出，利用中位线的性质得到． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， 为的中位线， ． 21. 如图，点P为平行四边形内一点，连接，且，，，，若，则平行四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点Q，由平行四边形的性质得，由得，由等腰三角形“三线合一”可求知Q为中点，从而可求出，解直角三角形求得，则，由得到答案． 此题考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点Q， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 22. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，即可确定a的取值范围 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，移项得，系数化为得 不等式组的解集为 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的三个整数解为，， 23. 如图，点是等边三角形内任意一点，，，，点，，分别在，，上，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和平行四边形的性质，利用其性质解题是解题关键. 延长 交于点M，过点作 交于点N，可得，为等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即 ， ，；最后； 【详解】解：延长 交于点M，过点作 交于点N， ∵，，，等边三角形 ∴，为等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴ ， ， ∴ 故答案为：6 . 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． （1）28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）说明16是一个“智慧数”； （3）设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 【答案】（1）不是 （2） ∵，且和是两个连续奇数， ∴16符合“智慧数”的定义， ∴16是一个“智慧数”； （3） ， ∵是8的倍数， ∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除． 【解析】 【分析】（1）设较小奇数为，根据“智慧数”的定义得，求出n的值判断是否符合“智慧数”的定义即可； （2）由可知16是一个“智慧数”； （3）利用平方差公式进行分解，判断分解后的结果是否是8的倍数即可． 【小问1详解】 解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则，   展开整理得，   解得， ∵不是奇数， ∴28不是“智慧数” 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． （1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． （2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． （3）【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）①证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用即可证明； （2）①由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，即；②由勾股定理求出的长，可证明，则，可得，求出的长即可得到答案； （3）作，且使得，连接，可证明；证明，得到；过点A作于点G，则，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，作，且使得，连接， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点G，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式及图形的平移性质是解题的关键． （1）由直线与直线平行，可设直线的解析式为，根据直线交轴于点，可求出解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （2）四边形周长中和长度固定，所以求出长度后四边形周长由决定，将向右平移两个单位至，则，过轴作点的对称点，连接交轴于点，此时最小，即最小，求出直线的解析式，即可确定点坐标，进而确定点坐标； （3）由题意确定点坐标，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分别计算出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线交轴于点， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线交于点， ， 解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 即， 则， 解得：， ， ∵与轴交于点， ， ∴， ∴， 当最小时，四边形的周长最小，将向右平移两个单位至，如图 1 ， 则， 过轴作点的对称点，连接交轴于点， 此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得：， ， ． 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或． 理由如下： 过作轴，图2， 由题知，， ， ， ， ， 设， 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， 综上，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗江镇初级中学2026—2027学年九年级上学期开学考试数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列多项式中，能分解出因式m+1的是（　　） A. m2﹣2m+1 B. m2+1 C. m2+m D. （m+1）2+2（m+1）+1 4. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则DE的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 5. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长是( )    A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 7. 我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 用反证法证明命题“已知中，，求证：．”第一步应先假设“______．”（填“”或“”） 10. 若分式的值为0，则m的值为______． 11. 如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为_________． 12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围____． 13. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 15. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 17. 某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元． （1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？ （2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？ 18. 如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则代数式________． 20. 如图，在中，点为的中点，平分，过点作于点，连接．若，，则的长是________． 21. 如图，点P为平行四边形内一点，连接，且，，，，若，则平行四边形的面积是______． 22. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 23. 如图，点是等边三角形内任意一点，，，，点，，分别在，，上，，则________． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． （1）28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）说明16是一个“智慧数”； （3）设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 25. 将两个等腰三角形顶点重合叠放，，． （1）【探究发现】如图1，如图叠放，连接和，试证明：． （2）【性质应用】如图2，叠放后若点D恰好落在上，连接和，． ①证明：． ②若延长交于点P，求的长度． （3）【联想拓展】如图3，在中放置等腰三角形，，，若，，那么请直接写出的长．（不需要证明） 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $