精品解析：四川省渠县中学2026-2027学年九年级上学期开学数学试题

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期入学自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 围棋起源于中国．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合，轴对称图形有对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合，即可选出正确选项． 【详解】、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，也是轴对称图形，故此选项正确． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A. 3， B. 3，，5 C. ，， D. 3，，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程方程的二次项系数是，一次项系数、常数项， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是多项式乘法运算，故此选项不符合题意； B、，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，是因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 5. 在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与二次函数关系．根据题意可知函数值正负之间即为一个根的范围． 【详解】解：∵，， ∴一元二次方程的一个根x的大致范围是：， 故选：C． 6. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 【详解】解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A 7. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0， ∴a2+a＝0，且a+1≠0， 则a的值为：a＝0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零． 8. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，由矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，推出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，，即垂直平分， ， ， ， ， 故选D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若分式的值为0，则x的值为 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件解答，即分式的分子等于零，分母不等于零． 【详解】解：由题意可得，且， 解得． 10. 若a是的一个根，则的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值， 根据一元二次方程的解的定义得出，然后变形再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 11. 如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，则可证明，据此根据梯形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为， 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据代数式有意义，列出不等式组求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：且， 故答案为：且． 13. 如图，菱形中，，对角线与相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，若，则菱形的面积为 __ ． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据菱形及直角三角形的性质求出的长，再用勾股定理求的长，进而求出，即可解答． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，， ，， ， ， 菱形的面积为． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握基本解法是解题的关键． （1）开平方法求解； （2）公式法求解． 【小问1详解】 解： 或， 解得或， ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴， ∴或， ∴原方程的解为：，． 15. （1）解不等式组： （2）解分式方程： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】此题考查了求不等式组的解集和解分式方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集取公共部分即可； （2）去分母化为整式方程并解方程，代入最简公分母检验即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集是； （2） 两边同乘以得， 整理得， 解方程得， 经检验，当时，， ∴是分式方程的解． 16. 如图，在中，E为对角线上的中点，连接，且，垂足为E．延长至F，使，连接，且交于点G． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明： E为对角线上的中点，且， 垂直平分， ， 四边形是平行四边形， 是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，30度角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）作于点H，由等边对等角得，设， 根据，，可得，，再根据30度角直角三角形的性质和勾股定理计算出，的边上高线的长度等于，由此可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点H， ，， ， 设， ， ， ， ， 解得， ， 又， ， E为对角线上的中点， ， ， ， 是菱形， ， 的边上高线的长度等于， ． 17. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 18. 如图，在等腰直角中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以为边，在左侧构造等腰直角，，其中，与交于点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，若点，点，点 在一条直线上，求的长． 【答案】（1） 证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ， ， ， ． ， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质推出，通过两条线段互相垂直以及等量转化求出，最后根据边角边即可证明两个三角形全等． （2）利用第（1）问的结果，和，从而推出长方形，根据边角边证明，结合，从而推出，根据等腰三角形的性质推出，最后利用勾股定理即可求出长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于，如图所示， 由（1）可知，， ， ， ． ， ． 为长方形， ，， ， ， ， ． ， ，， ． ． 设，则， ， 在中，， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，旋转的性质和勾股定理，解题的关键在于掌握相关性质定理以及证明为长方形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】设另一个因式为x+n，得x2-3x+k=（x-2）（x+n），则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，据此求出k、n的值各是多少，并把多项式x2-3x+k分解因式即可． 【详解】解：设另一个因式为x+n， ∴x2-3x+k=（x-2）（x+n），即x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n， ∴ ， 解得：n=-1，k=2， ∴另一个因式为x+1， 故答案为2 【点睛】此题主要考查因式分解的意义和应用，以及多项式乘多项式的方法，要熟练掌握． 20. 如图，在平行四边形中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设与相交于点，先证明，结合平行四边形的性质可得为等腰三角形，进而根据三线合一得出，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：设与相交于点， 由作图过程可知，，， ，平分， ． 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ． 在中，由勾股定理得，， ． 21. 对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【详解】解：※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 22. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为的长． 最小值为． ， ， 在中，，， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形三边关系等，关键是矩形性质的应用． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； 【小问2详解】 解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 25. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2） 选择条件①，四边形为矩形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图所示，在和中，，，，将绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结，，求证：； （2）如图2所示，若，判断和的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边的中点，M点在右侧，在中，，，连接，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） ．理由： 连接，交于点K，与交于点R， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴垂直平分， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据，，，得到，从而证明结论； （2）连接，交于点K，与交于点R，根据，，得到，根据三线合一得到垂直平分，得到，由等腰直角三角形性质即得； （3）过点O作，使，连接、，并延长交于点Q，交于点H，连接， 根据等腰直角三角形性质证明，∴，，证明，得到是等腰直角三角形，设，则，在中，由勾股定理求得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点O作，使，连接、，并延长交于点Q，交于点H，连接，则， ∵是等腰直角三角形，O是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转变换综合，添加恰当辅助线构造全等三角形，熟练掌握旋转的性质，等腰直角三角形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，三线合一，线段垂直平分线性质，勾股定理等解直角三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期入学自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 围棋起源于中国．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A. 3， B. 3，，5 C. ，， D. 3，，4 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ） A. 0 B. 0或﹣1 C. 1 D. ﹣1 8. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若分式的值为0，则x的值为 __ ． 10. 若a是的一个根，则的值是______． 11. 如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 13. 如图，菱形中，，对角线与相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，若，则菱形的面积为 __ ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. （1）解不等式组： （2）解分式方程： 16. 如图，在中，E为对角线上的中点，连接，且，垂足为E．延长至F，使，连接，且交于点G． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的面积． 17. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 18. 如图，在等腰直角中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以为边，在左侧构造等腰直角，，其中，与交于点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，若点，点，点 在一条直线上，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若多项式的一个因式是，则k的值为_________． 20. 如图，在平行四边形中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长交于点，若，，则的长为________． 21. 对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 22. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 25. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 26. 如图所示，在和中，，，，将绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结，，求证：； （2）如图2所示，若，判断和的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边的中点，M点在右侧，在中，，，连接，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $