26.1 二次函数的概念3种高频考法专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数概念的定义识别、参数求解及关系式构建三大高频考法，通过区域化典例系统强化概念理解与应用迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与识别|3例+3变式|多选项辨析|从概念本质出发，通过解析式形式特征强化二次函数的核心要素认知| |参数求解|3例+3变式|含参解析式分类讨论|深化定义内涵，训练参数取值范围的严谨推理能力| |列关系式|4例+4变式|实际情境建模|从生活问题抽象数量关系，培养数学建模与符号表达能力|

二次函数的概念3种高频考法专项训练 二次函数的概念3种高频考法专项训练 考点目录 二次函数的定义与识别 根据二次函数的定义求参数 列二次函数关系式 考点一 二次函数的定义与识别 例1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有______． 变式1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）下列函数属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有________． 考点二 根据二次函数的定义求参数 例1．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 例2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 例3．（25-26九年级上·广东潮州·阶段检测）已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 变式1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）已知是二次函数，则（   ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 变式2．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如果函数是二次函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 考点三 列二次函数关系式 例1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 变式1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数的概念3种高频考法专项训练 二次函数的概念3种高频考法专项训练 考点目录 二次函数的定义与识别 根据二次函数的定义求参数 列二次函数关系式 考点一 二次函数的定义与识别 例1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 例2．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，仅选项C符合此形式． 【详解】解：∵二次函数的标准形式为， A．是反比例函数，不符合二次函数定义，故A不符合题意； B．是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； C．，其中，符合二次函数定义，故C符合题意； D．不符合二次函数定义，故D不符合题意． 故选C． 例3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①不是二次函数； ②是一次函数，不是二次函数； ③不是二次函数； ④是二次函数； 综上，是二次函数的有④， 故答案为：． 变式1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义；掌握定义是解题的关键．根据定义，形如的函数为二次函数． 【详解】解：A．，的最高次数为2，且，是二次函数，故A符合题意； B．，的最高次数为1，不是二次函数，故B不符合题意； C．，即，的指数为，不是二次函数，故C不符合题意； D．，即，的最高次数为，不是二次函数，故D不符合题意． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）下列函数属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数， 选项A中a可能为0，选项C化简后为一次函数，选项D是分式函数，均不符合，只有选项B符合定义． 【详解】解：A、，若则不是二次函数，故不一定是二次函数； B、，其中，，，符合定义； C、，是一次函数； D、，是分式函数，不是多项式函数． 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键． 根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数； ②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；   ③，符合二次函数的定义，故③是二次函数；   ④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．   所以，是二次函数的有①②③，   故答案为①②③．   考点二 根据二次函数的定义求参数 例1．（25-26九年级上·重庆开州·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项必须为且系数不为零，由此列方程求解． 【详解】解：∵函数y是二次函数， ∴最高次项为，且系数不为0， 即为项， ∴，解得：， 又∵二次项系数，即， ∴． 故选：A． 例2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·广东潮州·阶段检测）已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数与一次函数的定义，分别对二次项系数和一次项系数列条件不等式求解，即可得到和的取值． 【详解】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为， 因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 变式1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）已知是二次函数，则（   ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数需满足最高次项（二次项）的系数不为零，即 ． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）如果函数是二次函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数定义，根据二次函数的定义得到且，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得． 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 考点三 列二次函数关系式 例1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 例2．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 例3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 例4．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 变式1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 变式2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·云南文山·期中）用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 变式4．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 2 学科网（北京）股份有限公司 $