26.1 二次函数的概念分层分类训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数概念核心，从定义辨析到实际建模，构建“概念-计算-应用”递进训练体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础达标练|17题|定义辨析、系数计算|以定义为起点，通过系数取值条件强化二次函数本质特征| |能力提升练|5题|几何图形、动态问题|结合图形变换与运动，深化函数关系的抽象表达| |真题提前练|1题|动点综合|关联实际情境，培养从复杂问题中提取二次函数关系的建模能力|

26.1 二次函数的概念 考点1 二次函数的定义 考点2 与二次函数的系数有关的计算 考点3 根据实际问题识别函数关系 考点4 根据实际问题列出二次函数关系式 基 础 达 标 练 考点1 二次函数的定义 1.（2026春•浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 1.C【解析】A、不是整式，故此选项不符合题意；B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意；C、y是二次函数，故此选项符合题意；D、不是整式，故此选项不符合题意． 2.（2026春•绿园区校级期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x2﹣x3+25 B．y＝22+2x C．y＝3x2﹣12 D． 2.C【解析】根据二次函数的概念逐项分析判断如下：y＝2x2﹣x3+25，最高次项为三次，不是二次函数，故A不符合题意；y＝22+2x，最高次项为一次，不是二次函数，故B不符合题意；y＝3x2﹣12，符合y＝ax2+bx+c（a≠0）形式，且a＝3≠0，是二次函数，故C符合题意；含有分式，不是二次函数，故D不符合题意． 3.（2026春•郸城县月考）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A． B．y＝（x+2）2﹣x2 C．y＝﹣3x2+1 D． 3.C【解析】A． 不是整式函数，不符合二次函数的定义，不符合题意；B．y＝（x+2）2﹣x2＝x2+4x+4﹣x2＝4x+4，不是二次函数，不符合题意；C．y＝﹣3x2+1符合二次函数的形式，是二次函数，符合题意；D． ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，不符合题意． 4．（2026春•官渡区校级月考）下列函数：①y＝x2；②y＝x2+1；③y＝（x+1）（x﹣1）；④y；⑤y；⑥y（a为常数）；⑦y＝3（x+1）2﹣1，其中是二次函数的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4.C【解析】①y＝x2是二次函数，符合题意；②y＝x2+1是二次函数，符合题意；③y＝（x+1）（x﹣1）是二次函数，符合题意；④y不是二次函数，不符合题意；⑤y不是二次函数，不符合题意；⑥y（a为常数）是二次函数，符合题意；⑦y＝3（x+1）2﹣1是二次函数，符合题意． 5.（2025秋•田阳区期末）已知y＝ax2+bx+c是二次函数，则（　　） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 5.A【解析】∵y＝ax2+bx+c是二次函数，∴a≠0. 6.（2025秋•长宁区期末）在下列给定的y关于x的函数中：①y＝πx2﹣1，②y＝ax2+bx+c，③x+1，④y，一定是二次函数的是　　．（填写序号） 6.①【解析】①y＝πx2﹣1，其中a＝π≠0，是二次函数，符合题意；②y＝ax2+bx+c，a可能为0，不一定是二次函数，不符合题意；③，为一次函数，不是二次函数，不符合题意；④，是分式函数，不是二次函数，不符合题意． 考点2 与二次函数的系数有关的计算 7.（2026春•海淀区校级期末）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 7.A【解析】由题意可得：|a|﹣2＝2，且a﹣4≠0．由|a|﹣2＝2，得|a|＝4，解得a＝4或a＝﹣4． 又∵a﹣4≠0，即a≠4，∴a＝﹣4． 8．（2026春•江北区校级期中）若函数是关于x的二次函数，则m为（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D．0 8.C【解析】由已知可得m﹣2≠0，m2﹣2＝2，解得x＝﹣2． 9．（2026•泗阳县一模）函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 9.C【解析】∵函数y＝xm+1是关于x的二次函数，∴m+1＝2，∴m＝1． 10．（2025秋•唐山期末）若函数y＝□﹣5x+3是二次函数，则“□”可以是（　　） A．y B．22 C．x2 D．2x 10.C【解析】根据二次函数的定义，要使得函数y＝□﹣5x+3是二次函数，只有C选项“□”可以是x2． A、y，y＝y﹣5x+3不是二次函数，故A选项错误；B、22，y＝22﹣5x+3是一次函数，故B选项错误；C、x2，y＝x2﹣5x+3是二次函数，故C选项正确；D、2x，y＝2x﹣5x+3是一次函数，故D选项错误. 11．（2025秋•盐城期末）若函数y＝xm﹣1﹣x+2是二次函数，那么m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11.D【解析】若函数y＝xm﹣1﹣x+2是二次函数，则m﹣1＝2，解得m＝3. 12.（2025秋•新疆期末）关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣4，﹣1 B．﹣2，4，1 C．2，﹣4，1 D．﹣2，4，﹣1 12.B【解析】解：关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数是﹣2、一次项系数是4、常数项是1. 13．（2025秋•虹口区期末）已知y＝（m﹣3）x|m﹣1|（m为常数）是二次函数，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．3或﹣1 13.B【解析】由题意得|m﹣1|＝2且m﹣3≠0，解得m＝3或m＝﹣1且m≠3，∴m＝﹣1． 14.（2025秋•平顺县期末）二次函数y＝3x2﹣3x+2的一次项系数是（　　） A．﹣3 B．2 C．1 D．3 14.A【解析】二次函数形式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 二次函数y＝3x2﹣3x+2的一次项是﹣3x，则一次项系数是﹣3. 15.（2026春•让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　﹣3　 ． 15.-3【解析】如果函数是关于x的二次函数，由题意，可得 ， 解方程k2﹣7＝2，得k2＝9，解得k＝3或k＝﹣3； 由k﹣3≠0，得k≠3，故k＝﹣3． 16.（2025秋•龙岩期末）若y＝（a+2）x|a|+3x﹣1是二次函数，则a的值为　2　 ． 16.2【解析】由题意x的最高次项x|a|的次数为2，即|a|＝2，解得a＝2或a＝﹣2． 又∵a+2≠0，即a≠﹣2，∴a＝2． 17.（2025秋•芜湖期末）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 17.解：（1）由条件可得， ∴m＝3． （2）二次函数解析式为y＝12x2﹣2， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为﹣2． 考点3 根据实际问题识别函数关系 18．（2025秋•江阳区期末）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 18.C【解析】A、铅笔的单价不变，总价y与支数x是正比例函数，故此选项不符合题意；B、路程一定，列车运行的平均速度y与时间x是反比例函数，故此选项不符合题意；C、y＝6x2，所以正方体的表面积y与它的棱长x是二次函数关系，故此选项符合题意；D、速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x是正比例函数，故此选项不符合题意. 19.（2026•兰州校级开学）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（200﹣x）件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 19.C【解析】①，y是x的反比例函数；②y＝2π×5x＝10πx，y是x的正比例函数；③y＝（x﹣80）（100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数；所以y与x满足的函数关系是二次函数的是③. 20.（2026春•海淀区校级期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为zcm2，当x在一定范围内变化时，z和y都随x的变化而变化，则z与x，y与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 20.D【解析】由题意得yπx+5，z＝（πx+5）2﹣πx2＝（π2﹣π）x2﹣5πx+25，那么z与x，y与x满足的函数关系分别是二次函数关系，一次函数关系， 考点4 根据实际问题列出二次函数关系式、 21．（2026春•兴宁区校级期末）参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝x（x﹣2） C． D． 21.C【解析】∵共有x人参加会议，每个人需要和除自己以外的（x﹣1）个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次，∴实际握手次数为，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式为：． 22.（2026•市南区校级模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 22.D【解析】当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，∴销售单价为x元时，每天的销售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天销售纪念品获得的利润w＝（x﹣40）y，∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）． 23.（2026•富锦市一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 23.B【解析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量可知：每件利润为（x﹣10）元，实际每天销售量为：200﹣10（x﹣15）＝350﹣10x，∴y＝（x﹣10）（350﹣10x）． 24.（2025秋•岑溪市期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x2+4 B．y＝﹣0.2x2+3.5 C．y＝﹣0.2x2+3.05 D．y＝﹣0.2x2+2.5 24.B【解析】根据题意抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．根据题意得，抛物线过点（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5． 能 力 提 升 练 25.（2026•城关区校级二模）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为xcm，另一条直角边的长为ycm，图②中的较小正方形面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 25.C【解析】∵x+y＝6，则y＝6﹣x，y与x满足一次函数关系，∵S＝x2+y2＝x2+（6﹣x）2＝2x2﹣12x+36，则S与x满足二次函数关系. 26.（2026•兰州校级模拟）线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段BA运动至点A，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 26.C【解析】根据题意可得：PB＝t，∴PA＝AB﹣PB＝5﹣t，∴⊙B的面积S＝πPB2＝πt2，属于二次函数关系，正方形APCD周长y＝4PA＝4（5﹣t）＝﹣4t+20，属于一次函数关系. 27.（2026•惠州二模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+2，定义新运算：对于任意x，称满足等式3ax﹣b＝cx﹣1的解x为该函数的“特征值”（其中a，b，c为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是1≤x≤3，则m的最小值是　　 ． 27.-14【解析】函数y＝﹣x2+mx+2的二次项系数a＝﹣1，一次项系数b＝m，常数项c＝2，把a＝﹣1，b＝m，c＝2，代入3ax﹣b＝cx﹣1得到：﹣3x﹣m＝2x﹣1，∴x，∴13，∴﹣14≤m≤﹣4，∴m的最小值是﹣14． 28.（2026•兰州校级模拟）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 28.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，∵EF⊥EG，∴∠BEC＝∠FEG＝90°，∴∠BEF＝∠CEG，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴S四边形EGCF＝S△BECS正方形ABCD， ∵S△EFG＝S四边形EGCF﹣S△CFG，∴y（5﹣x）•xx2x，∴y与x满足的函数关系是二次函数． 29.（2026•诸暨市二模）如图，一块长方形ABCD绿地，AB＝8米，BC＝6米，中间铺设了两条互相垂直的路径（EF⊥AC），路径两边互相平行（EF∥GH，AC∥MN），重叠部分为四边形A1B1C1D1，已知EG＝CN＝x米，设四块绿地AA1ED，△MB1F，HBNC1，△CD1G的面积总和为y，则y与x的函数解析式是（　　） A．y＝（8﹣x）（6﹣x） B． C． D． 29.B【解析】过N作NL⊥AC于L，延长NM交DA的延长线于点K， ∵AB＝8米，BC＝6米，∴AC10（米）．∴sin∠ACB＝sin∠LCN． ∴sin∠LCN．∴LNCNx（米）．∵AK＝CN＝x米，∴AMx米，∴S△AMKx2米2，∴通道的面积为：8x+6xx2x2＝14xx2．∵四块草地总面积为y米2，长方形的面积为48米2，∴y＝48﹣（14xx2）x2﹣14x+48. 真 题 提 前 练 30.（2025•兰州）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 30.D【解析】∵正方形ABCD中，AB＝2cm，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∴，OC＝OAACcm．当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，CP＝OC+OPx，作PG⊥CD于点G， ∵∠PCG＝45°，∴，，是二次函数；当点P在AB上运动时，由题意得CQ＝x， ∴是一次函数． 学科网（北京）股份有限公司 $26.1二次函数的概念 考点1二次函数的定义 考点2与二次函数的系数有关的计算 考点3根据实际问题识别函数关系 考点4根据实际问题列出二次函数关系式 基础达标练 考点1二次函数的定义 1.(2026春·浦东新区校级期中)下列函数中，y是关于x的二次函数的是() A.y-为 B.y=ax2+bx+c cy=湖 D.y=x2+4 2.(2026春·绿园区校级期末)下列函数中，是二次函数的是() A.y=2x2-x3+25 B.y=22+2x C.y=3x2-12 D.y=1+x+5 3.（2026春·郸城县月考)下列函数中，属于二次函数的是() A.y=V2x2-3 B.y=(x+2)2-x2 C.y=-3x2+1 D.y=3 4.(2026春·官渡区校级月考)下列函数：①y=x;②y=x241;③y=(x+1)(x-1):④y=3:⑤=V2+4 ⑥=号(a为常数)：⑦y=3(x+1):-1,其中是二次函数的有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.(2025秋·田阳区期末)己知y=2+bx+c是二次函数，则() A.a不为零 B.b不为零 C.c不为零 D.a,b,c均不为零 6.(2025秋·长宁区期末)在下列给定的y关于x的函数中：①y=D2-1,②y=m+bx+c,③y=(V3-1)2x+1, ④-年一定是二次函数的是一·（填写序号） 考点2与二次函数的系数有关的计算 7.(2026春·海淀区校级期末)若y=(a-4)xla+7x-5是二次函数，则a的值为（) A.-4 B.4 C.±4 D.±2 8.(2026春·江北区校级期中)若函数y=(m-2)xm2-2+x是关于x的二次函数，则m为() A.2 B.±2 C.-2 D.0 9.(2026·泗阳县一模)函数y=x*1是关于x的二次函数，则m的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 10.(2025秋•唐山期末)若函数y=口-5x+3是二次函数，则“口”可以是() A.v B.22 C.x2 D.2x 11.（2025秋·盐城期末)若函数y=xm1-x+2是二次函数，那么m的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 12.(2025秋·新疆期末)关于x的二次函数的解析式是y=-2x+4x+1,其中二次项系数、一次项系数、常 数项分别是() A.2,-4,-1 B.-2,4,1 C.2,-4,1 D.-2,4,-1 13.(2025秋•虹口区期末)已知y=(m-3)xm1!(m为常数)是二次函数，那么m的值是() A.3 B.-1 C.-3 D.3或-1 14.(2025秋·平顺县期末)二次函数y=3x2-3x+2的一次项系数是() A.-3 B.2 C.1 D.3 15.(2026春·让胡路区校级期末)如果函数y=(k一3)x2-7+4x+1是关于x的二次函数，则k=一。 16.(2025秋·龙岩期末)若y=(a+2)x4+3x-1是二次函数，则a的值为一· 17.(2025秋·芜湖期末)已知函数y=(m2+m)xm2-2m-1+(m-3)x+m2-11是关于x的二次函数. (1)求m的值： (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项. 考点3根据实际问题识别函数关系 18.(2025秋•江阳区期末)下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的 是() A.铅笔的单价不变，总价y与支数x B,路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C.正方体的表面积y与它的棱长x D.速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 19.(2026·兰州校级开学)下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是() ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y(cm)与宽x(cm)的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y(cm)与圆柱的高x(cm)的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(200-x)件.利润y(元)与每件 售价x(元)的关系. A.① B.② C.③ D.①③ 20.(2026春·海淀区校级期末)如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20C,设圆的半径为xc,正方 形的边长为yc,阴影部分的面积为zC2,当x在一定范围内变化时，z和y都随x的变化而变化，则z 与x,y与x满足的函数关系分别是() D xcm 0 y cm A.一次函数关系，一次函数关系 B.一次函数关系，二次函数关系 C.二次函数关系，二次函数关系 D.二次函数关系，一次函数关系 考点4根据实际问题列出二次函数关系式、 21.(2026春·兴宁区校级期末)参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x 之间的函数关系式是() A.y=x(x-1) B.y=x(x-2) C.y=x(x-1) D.y=x(x-2) 22.(2026·市南区校级模拟)某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间 发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商 家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元(x>44),商家每天销售纪念品获得的利润w 元，则下列等式正确的是() A.y=10x+740 B.y=10x-140 C.1w=(-10x+700)(x-40) D.1=(-10x+740)(x-40) 23.(2026·富锦市一模)某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可 售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元(x≥15)，每天的利润为 y元，则y与x的函数关系式为() A.y=(x-10)(200-10x) B.y=(x-10)(350-10x) C.y=(x-15)(200-10x) D.y=(x-15)(350-10x) 24.(2025秋·岑溪市期末)如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4处跳起投篮，球运 行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5，然后准确落入篮圈，己知篮圈 中心到地面的距离是3.05，则此时抛物线的函数关系式是() (单位：m)(0,3.5) 3.05m ←2.5m0 4m A.y=-2x2+4 B.y=-0.2x2+3.5 C.y=-0.2x2+3.05 D.y=-0.2x2+2.5 能力提升练 25.(2026·城关区校级二模)把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形 拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为xc,另一条直角边的长为c, 图②中的较小正方形面积为Sc2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S 与x满足的函数关系分别是() 图① 图② A.一次函数关系，反比例函数关系 B.反比例函数关系，二次函数关系 C.一次函数关系，二次函数关系 D.反比例函数关系，一次函数关系 26.(2026·兰州校级模拟)线段AB=5,动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段BA运动至 点A,以线段AP为边作正方形APCD,线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t,正方形APCD 周长为y,⊙B的面积为S,则S与t,y与t满足的函数关系分别是() A.一次函数关系，二次函数关系 B.正比例函数关系，二次函数关系 C.二次函数关系，一次函数关系 D.二次函数关系，正比例函数关系 27.（2026·惠州二模)已知二次函数y=-x2+x+2,定义新运算：对于任意x,称满足等式3x-b=cx-1 的解x为该函数的“特征值”（其中，b,c为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特 征值”的取值范围是1≤x≤3，则m的最小值是一· 28.(2026·兰州校级模拟)边长为5的正方形ABCD,点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF, 交CD于点G,设BF的长为x,△EFG的面积为y,则y与x满足的函数关系是() ⊙ E D Q A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上都不是 29.（2026诸暨市二模)如图，一块长方形ABCD绿地，AB=8米，BC=6米，中间铺设了两条互相垂直的 路径(EF⊥AC),路径两边互相平行(EF∥GH,AC∥MN),重叠部分为四边形A1B1C1D1,已知EG= CN=x米，设四块绿地AA1ED,△MB1F,HBNC1,△CDG的面积总和为y,则y与x的函数解析式是 () D E G N 0 C B M FHB A.y=(8-x)(6-x) B.y=器2-14K+48 C.y=器2-14x+48 D.y=等x2-14x+48 真题提前练 30.(2025·兰州)如图，在正方形ABCD中，AB=2C,对角线AC,BD相交于点O,动点P从点O出发 沿O→A→B方向以√2cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以lcs的速度运动.当点 2到达点D时，P,Q同时停止运动.若运动时间为x(s),△CPO的面积为y(C),则点P分别在 OA,AB上运动时，y与x的函数关系分别是() A.均为一次函数 B.一次函数，二次函数 C.均为二次函数 D.二次函数，一次函数 26.1 二次函数的概念 考点1 二次函数的定义 考点2 与二次函数的系数有关的计算 考点3 根据实际问题识别函数关系 考点4 根据实际问题列出二次函数关系式 基 础 达 标 练 考点1 二次函数的定义 1.（2026春•浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 2.（2026春•绿园区校级期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x2﹣x3+25 B．y＝22+2x C．y＝3x2﹣12 D． 3.（2026春•郸城县月考）下列函数中，属于二次函数的是（　　） A． B．y＝（x+2）2﹣x2 C．y＝﹣3x2+1 D． 4．（2026春•官渡区校级月考）下列函数：①y＝x2；②y＝x2+1；③y＝（x+1）（x﹣1）；④y；⑤y；⑥y（a为常数）；⑦y＝3（x+1）2﹣1，其中是二次函数的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5.（2025秋•田阳区期末）已知y＝ax2+bx+c是二次函数，则（　　） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 6.（2025秋•长宁区期末）在下列给定的y关于x的函数中：①y＝πx2﹣1，②y＝ax2+bx+c，③x+1，④y，一定是二次函数的是　　．（填写序号） 考点2 与二次函数的系数有关的计算 7.（2026春•海淀区校级期末）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 8．（2026春•江北区校级期中）若函数是关于x的二次函数，则m为（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D．0 9．（2026•泗阳县一模）函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 10．（2025秋•唐山期末）若函数y＝□﹣5x+3是二次函数，则“□”可以是（　　） A．y B．22 C．x2 D．2x 11．（2025秋•盐城期末）若函数y＝xm﹣1﹣x+2是二次函数，那么m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12.（2025秋•新疆期末）关于x的二次函数的解析式是y＝﹣2x2+4x+1，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣4，﹣1 B．﹣2，4，1 C．2，﹣4，1 D．﹣2，4，﹣1 13．（2025秋•虹口区期末）已知y＝（m﹣3）x|m﹣1|（m为常数）是二次函数，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣3 D．3或﹣1 14.（2025秋•平顺县期末）二次函数y＝3x2﹣3x+2的一次项系数是（　　） A．﹣3 B．2 C．1 D．3 15.（2026春•让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　　 ． 16.（2025秋•龙岩期末）若y＝（a+2）x|a|+3x﹣1是二次函数，则a的值为　　 ． 17.（2025秋•芜湖期末）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 考点3 根据实际问题识别函数关系 18．（2025秋•江阳区期末）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 19.（2026•兰州校级开学）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（200﹣x）件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 20.（2026春•海淀区校级期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为zcm2，当x在一定范围内变化时，z和y都随x的变化而变化，则z与x，y与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 考点4 根据实际问题列出二次函数关系式、 21．（2026春•兴宁区校级期末）参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝x（x﹣2） C． D． 22.（2026•市南区校级模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 23.（2026•富锦市一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 24.（2025秋•岑溪市期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x2+4 B．y＝﹣0.2x2+3.5 C．y＝﹣0.2x2+3.05 D．y＝﹣0.2x2+2.5 能 力 提 升 练 25.（2026•城关区校级二模）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为xcm，另一条直角边的长为ycm，图②中的较小正方形面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 26.（2026•兰州校级模拟）线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段BA运动至点A，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 27.（2026•惠州二模）已知二次函数y＝﹣x2+mx+2，定义新运算：对于任意x，称满足等式3ax﹣b＝cx﹣1的解x为该函数的“特征值”（其中a，b，c为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是1≤x≤3，则m的最小值是　　 ． 28.（2026•兰州校级模拟）边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 29.（2026•诸暨市二模）如图，一块长方形ABCD绿地，AB＝8米，BC＝6米，中间铺设了两条互相垂直的路径（EF⊥AC），路径两边互相平行（EF∥GH，AC∥MN），重叠部分为四边形A1B1C1D1，已知EG＝CN＝x米，设四块绿地AA1ED，△MB1F，HBNC1，△CD1G的面积总和为y，则y与x的函数解析式是（　　） A．y＝（8﹣x）（6﹣x） B． C． D． 真 题 提 前 练 30.（2025•兰州）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 学科网（北京）股份有限公司 $