3.1 等量关系和方程 课时作业 2026-2027学年湘教版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学湘教版七年级上册3.1课时同步练，分层设计清晰，从基础概念辨析到综合应用及拓展探究，适配新授课知识巩固，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|方程与一元一次方程概念、解的检验、简单列方程|选择填空结合具体情境（如天平平衡、商品打折），强化符号意识| |B组能力提升|方程判断、多情境列方程、解的估算|解答题整合行程问题、分配问题，培养模型意识与推理能力| |C组拓展探究|含参数方程、代数式求值|综合题涉及参数取值与方程解的关联，提升抽象思维与创新意识|

湘教版·七年级数学上册　第3章 一次方程（组）　3.1 等量关系和方程　课时作业 湘教版七年级数学上册　第3章 一次方程（组） 3.1 等量关系和方程 课时作业（知识点梳理 + 分层练习 + 答案解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：________　建议用时：45 分钟　得分：______ 一、学习目标 1．能从实际问题中找出等量关系，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 2．理解方程、一元一次方程的概念，能判断一个式子是不是方程、是不是一元一次方程。 3．理解方程的解的概念，会检验一个数是不是方程的解，能用列表（估算）的方法寻找简单方程的解。 4．能根据实际问题中的等量关系设未知数、列出方程。 二、知识点梳理 ■ 知识点1　等量关系与等式 实际问题中，表示两个量相等的关系叫作等量关系。用等号“=”表示相等关系的式子叫作等式，如 2+3=5，a+b=b+a，x+1=3 都是等式。 常见等量关系：总量=各部分量的和；路程=速度×时间；总价=单价×数量；工作总量=工作效率×工作时间等。 ■ 知识点2　方程 含有未知数的等式叫作方程。判断一个式子是不是方程，要同时满足两个条件：①是等式；②含有未知数。 式子 是否为等式 是否含未知数 是否为方程 3x−1=5 是 是 是 2+3=5 是 否 否 x+y 否 是 否 2x>1 否 是 否 =3x−1 是 是 是 ■ 知识点3　一元一次方程 只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，并且等号两边都是整式的方程，叫作一元一次方程。 一元一次方程都可以化成 ax+b=0（a，b 是常数，且 a≠0）的形式，这叫作一元一次方程的一般形式。 【注意】（1）+1=0 分母中含未知数，不是一元一次方程； （2）x+y=3 含两个未知数，x2=4 未知数的次数是 2，都不是一元一次方程； （3）若 (a−2)x|a|−1+3=0 是一元一次方程，必须同时满足 |a|−1=1 和 a−2≠0。 ■ 知识点4　方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解。求方程的解的过程叫作解方程。 检验一个数是不是方程的解的方法：把这个数分别代入方程的左边和右边，计算左、右两边的值，若相等，就是方程的解；若不相等，就不是方程的解。 ■ 知识点5　列方程 列方程的一般步骤：（1）设：用字母（如 x）表示问题中的未知数；（2）找：找出问题中的等量关系；（3）列：根据等量关系列出方程。 ■ 典型例题 例1　下列式子中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？ ①3x−1=5；②2+3=5；③x+y；④2x>1；⑤=3x−1；⑥x2=4；⑦=2。 【解析】方程有：①⑤⑥⑦（都是含未知数的等式）； 一元一次方程有：①⑤。⑥中未知数的次数是 2，⑦中分母含未知数，都不是一元一次方程。 例2　若 (m−2)x|m|−1+3=0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。 【解析】由一元一次方程的定义得 |m|−1=1，且 m−2≠0。 由 |m|=2 得 m=±2，又 m≠2，所以 m=−2。 例3　检验 x=2 和 x=−1 是不是方程 3x−1=x+3 的解。 【解析】当 x=2 时，左边=3×2−1=5，右边=2+3=5，左边=右边，所以 x=2 是方程的解； 当 x=−1 时，左边=3×(−1)−1=−4，右边=−1+3=2，左边≠右边，所以 x=−1 不是方程的解。 例4　某班共有学生 45 人，男生比女生多 5 人。设女生有 x 人，列出方程。 【解析】女生 x 人，则男生 (x+5) 人。等量关系：女生人数+男生人数=全班人数。 列方程：x+(x+5)=45。 例5　A，B 两地相距 300 千米，一辆客车和一辆货车分别从 A，B 两地同时出发相向而行，客车每小时行 60 千米，货车每小时行 40 千米，设 x 小时后两车相遇，列出方程。 【解析】相遇时，客车行驶的路程+货车行驶的路程=两地距离。 列方程：60x+40x=300。 【方法归纳】找等量关系常用的方法：①抓关键词，如“是”“比……多（少）”“共”“等于”等；②画线段图或列表格分析数量关系；③利用公式，如路程、总价、面积公式等。 三、课时作业 ■ A组　基础巩固 一、选择题 1．下列各式中，是方程的是（　　） A．3x−2 B．2+5=7 C．x+1=2x D．x>3 2．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x+y=3 B．x2−2x=1 C．=2 D．2x−1=5 3．下列方程中，解为 x=2 的是（　　） A．3x−1=4 B．2x+1=5 C．x−2=2 D．=2 4．若 x=−1 是方程 2x+a=3 的解，则 a 的值为（　　） A．5 B．1 C．−5 D．4 5．若 (k−1)x|k|+5=0 是关于 x 的一元一次方程，则 k 的值为（　　） A．1 B．−1 C．±1 D．0 6．如图，天平保持平衡，每个小球的质量都相同。设每个小球的质量为 x 克，则下列方程能正确表示图中等量关系的是（　　） （第6题图） A．3x=100 B．3x=x+100 C．3x+100=x D．2x=x+100 7．某数的 3 倍比它的一半大 5，设这个数为 x，则可列方程为（　　） A．3x−x=5 B．3x+x=5 C．x−3x=5 D．3x=x−5 8．某商品打八折后的售价为 240 元，设该商品的原价为 x 元，则可列方程为（　　） A．0.2x=240 B．x−0.8=240 C．0.8x=240 D．8x=240 9．七年级学生乘车去参观，若每辆车坐 45 人，则有 15 人没有座位；若每辆车坐 60 人，则空出一辆车。设共有 x 辆车，则可列方程为（　　） A．45x−15=60(x−1) B．45x+15=60(x−1) C．45x+15=60(x+1) D．45x+15=60x 10．下列说法中，正确的是（　　） A．方程都是等式 B．等式都是方程 C．含有未知数的式子是方程 D．x=0 不可能是方程的解 二、填空题 11．若 3x2m−1+1=7 是关于 x 的一元一次方程，则 m=________。 12．若 x=3 是方程 ax−2=7 的解，则 a=________。 13．根据“x 的 2 倍与 5 的和等于 x 的 3 倍减去 1”，列方程为________________。 14．一个长方形的周长是 30 厘米，长比宽多 3 厘米，设宽为 x 厘米，则可列方程为________________。 15．在 −2，−1，0，1 这四个数中，方程 4x−3=2x−5 的解是________。 16．某商品的进价为 200 元，按标价的九折出售，利润为 70 元。设该商品的标价为 x 元，可列方程为________________。 17．已知 (a−2)x2+ax+1=0 是关于 x 的一元一次方程，则 a=________，这个方程为________________。 18．甲有邮票 36 张，乙有邮票 28 张，甲给乙多少张后两人的邮票数相等？设甲给乙 x 张，可列方程为________________。 ■ B组　能力提升 三、解答题 19．判断下列各式中哪些是方程，哪些是一元一次方程： （1）2x+3=7；（2）3+4=7；（3）x−y=1；（4）x2+1=5； （5）=2；（6）2a−3；（7）+1=0；（8）5y=0。 20．检验 x=3 和 x=4 是不是方程 3(x−1)=x+5 的解。 21．根据下列条件列方程（不必求解）： （1）某数的 比它的一半少 3； （2）七年级某班有学生 48 人，男生人数是女生人数的 1.4 倍，求女生人数； （3）一件衣服按标价打七五折出售，售价比进价 120 元多 30 元，求标价。 22．甲、乙两地相距 18 千米，甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米。 （1）两人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，经过 x 小时相遇（如图①），列出方程； （2）两人同时同向而行，甲在后、乙在前，出发时两人相距 18 千米，经过 y 小时甲追上乙（如图②），列出方程。 （第22题图①） （第22题图②） 23．如图，天平保持平衡，左盘放有 2 个相同的小球和一个 20 克的砝码，右盘放有 1 个同样的小球和一个 50 克的砝码。 （1）设每个小球的质量为 x 克，列出方程； （2）小球的质量可能是 20 克、30 克还是 40 克？请通过检验说明。 （第23题图） 24．用列表的方法估算方程 2x+3=5x−9 的解。（在下表中填写相应的值） x 1 2 3 4 5 2x+3 5x−9 方程的解是：x=________。 ■ C组　拓展探究 25．已知 x=2 是关于 x 的方程 3x−2a=x+4a−2 的解，求 a 的值，并求代数式 a2026−2a+3 的值。 26．已知 (m2−1)x2−(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程。 （1）求 m 的值； （2）检验 x=4 是否为该方程的解； （3）求代数式 199(m+x)(x−2m)+m 的值（x 取方程的解）。 四、参考答案及解析 一、选择题 1．【答案】C 【解析】A 不是等式；B 不含未知数；D 不是等式；C 是含有未知数的等式，是方程。 2．【答案】D 【解析】A 含两个未知数；B 未知数的次数是 2；C 分母中含未知数；D 符合一元一次方程的定义。 3．【答案】B 【解析】把 x=2 代入：A 左边 5≠4；B 左边 2×2+1=5=右边；C 左边 0≠2；D 左边 1≠2。 4．【答案】A 【解析】把 x=−1 代入得 −2+a=3，所以 a=5。 5．【答案】B 【解析】由题意得 |k|=1 且 k−1≠0，所以 k=−1。 6．【答案】B 【解析】左盘质量为 3x 克，右盘质量为 (x+100) 克，天平平衡，所以 3x=x+100。 7．【答案】A 【解析】“3 倍比一半大 5”即 3 倍与一半的差是 5：3x−x=5。 8．【答案】C 【解析】打八折即售价为原价的 80%，所以 0.8x=240。 9．【答案】B 【解析】学生人数不变。第一种坐法：人数为 (45x+15)；第二种坐法：只用了 (x−1) 辆车且坐满，人数为 60(x−1)。所以 45x+15=60(x−1)。 10．【答案】A 【解析】方程是含未知数的等式，所以方程都是等式，但等式不一定是方程；含未知数的式子不一定是等式；x=0 可以是方程的解，如方程 2x=0。 二、填空题 11．【答案】1 【解析】由 2m−1=1 得 m=1。 12．【答案】3 【解析】把 x=3 代入得 3a−2=7，3a=9，a=3。 13．【答案】2x+5=3x−1 14．【答案】2(x+x+3)=30 【解析】长为 (x+3) 厘米，周长=2×(长+宽)。 15．【答案】−1 【解析】当 x=−1 时，左边=4×(−1)−3=−7，右边=2×(−1)−5=−7，左边=右边。其余三个数代入后左右两边都不相等。 16．【答案】0.9x−200=70 【解析】利润=售价−进价，售价为 0.9x 元。 17．【答案】2；2x+1=0 【解析】二次项系数 a−2=0，所以 a=2，此时一次项系数为 2≠0，方程为 2x+1=0。 18．【答案】36−x=28+x 三、解答题 19．【答案】见解析 【解析】方程有：（1）（3）（4）（5）（7）（8）； 一元一次方程有：（1）（5）（8）。 （2）不含未知数，（6）不是等式，都不是方程；（3）含两个未知数，（4）未知数的次数为 2，（7）分母含未知数，都不是一元一次方程。 20．【答案】x=3 不是方程的解，x=4 是方程的解 【解析】当 x=3 时，左边=3×(3−1)=6，右边=3+5=8，左边≠右边，所以 x=3 不是方程的解； 当 x=4 时，左边=3×(4−1)=9，右边=4+5=9，左边=右边，所以 x=4 是方程的解。 21．【答案】见解析 【解析】（1）设这个数为 x，则 x=x−3； （2）设女生有 x 人，则男生有 1.4x 人，x+1.4x=48； （3）设标价为 x 元，则 0.75x−120=30。 22．【答案】（1）5x+4x=18；（2）5y−4y=18 【解析】（1）相遇时，甲走的路程+乙走的路程=18 千米，所以 5x+4x=18； （2）追上时，甲走的路程−乙走的路程=18 千米，所以 5y−4y=18。 23．【答案】（1）2x+20=x+50；（2）30 克 【解析】（1）左盘质量 (2x+20) 克，右盘质量 (x+50) 克，所以 2x+20=x+50； （2）当 x=20 时，左边=60，右边=70，不相等； 当 x=30 时，左边=80，右边=80，相等； 当 x=40 时，左边=100，右边=90，不相等。所以小球的质量是 30 克。 24．【答案】x=4 x 1 2 3 4 5 2x+3 5 7 9 11 13 5x−9 −4 1 6 11 16 由表可知，当 x=4 时，2x+3 与 5x−9 的值都等于 11，所以方程的解是 x=4。 25．【答案】a=1；2 【解析】把 x=2 代入方程得 6−2a=2+4a−2，即 6−2a=4a， 所以 6a=6，a=1。 a2026−2a+3=12026−2×1+3=1−2+3=2。 26．【答案】（1）m=1；（2）是；（3）1991 【解析】（1）由题意得 m2−1=0，且 −(m+1)≠0。由 m2=1 得 m=±1，又 m≠−1，所以 m=1； （2）方程为 −2x+8=0。当 x=4 时，左边=−2×4+8=0=右边，所以 x=4 是方程的解； （3）当 m=1，x=4 时，199(m+x)(x−2m)+m=199×5×2+1=1990+1=1991。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $