专题05 全等三角形证明方法—半角模型（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以半角模型为核心，通过“构造全等”方法体系，系统覆盖正方形、等边三角形及四边形背景下的全等证明，突出模型迁移与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型|2个（正方形/等边三角形）|延长线截取构造全等，证两次全等得线段关系|从特殊图形到一般四边形，构建“模型-方法-变式”逻辑链| |典例解析|5道|结合旋转转化，强化“半角=倍角”条件转化|从结论记忆到综合应用，培养几何直观与推理意识| |变式训练|16道|迁移“截长补短”思想解决复杂图形问题|覆盖选择、填空、解答题，适配中考高频考法|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形证明方法 一一半角模型 模型梳理 (1)条件：如图，正方形ABCD,∠MAN=45°， 作法：在CD延长线上截取DE,使得DE=BM,连接AE, 结论：①△ABM≌△ADE:②△AMN≌△AEN:③BM+DN=MN E E D D D 45° 45° 45° N N B M C B M M (2)条件：如图，△ABC为等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD=DC,∠BDC=120°， ∠EDF=60°， 作法：在AC延长线上截取CG,使得CG=BE,连接DG, 结论：①△EBD≌△GCD;②△FED≌aFGD:③BE+CF=EF A E E E F B 60 B C 60° B 60 D D G D G 1/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典例精讲 【典例1】如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且 ∠DAE=45°，若BD=3,CE=4,S。MDE=15,则△ABD与△AEC的面积之和为() B D A.36 B.21 C.30 D.22 【典例2】如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC,D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°，将 △ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB,连接EF,有下列结论：①BE=DC;② ∠BAF=∠DAC:③∠FAE=∠DAE;④BF=DC.其中正确的有() B D A.①②③④ B.②③ C.②③④ D.③④ 【典例3】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、 OCE,且ZEAF-ZBAD.当C-3DC=8Cp=2,CE2的周长等 B 2/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】问题背景如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°， E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明 理由 由“∠EAF=60°，∠BAD=120°”的数据信息，解决问题的方法是：延长FD到G,使得DG=BE, 连接AG,则可以先证△ABE≌△ADG,再证 ， 从而得到BE,EF,FD之间的数 量关系是： 验证猜想写出上述推理的详细过程： 探索延伸如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别在BC、CD上，且 ∠EAF=∠BAD,上述结论是否成立，并说明理由. 2 D D E 图1 图2 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例5】根据题意解答下列各题： B F D 图① 图② (1)问题背景：如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且∠EAF=45°，请直接 写出线段BE,DF,EF之间的数量关系： (2)猜想类比：如图②，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD,点E,F分别在BC, CD上，且∠EAF=∠BAD,试确定线段BgE'DF'FE之阿的数量关系，并给出证理 4/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 1.如图，AB=AD=BC=DC,∠C=∠D=∠ABE=∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上， ∠EAF=45°，过点A作∠GAB=∠FAD,且点G在CB的延长线上. (1)△GAB与△FAD全等吗？为什么？ (2)若DF=2,BE=3,求EF的长. D B 2.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以点D为顶点作∠MDN=60°， 点M、N分别在AB、AC上. 求证：BM+NC=MN M D 3.【问题背景】(1)如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接 EF,则有EF=BE+DF,试说明理由： 【迁移应用】(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD 上，∠EAF=45°，若∠B,∠D都不是直角，且∠B+∠D=180°，试探究EF、BE、DF之间的数 量关系： B E D 图1 图2 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E,F分别是BC,CD上的点，连接AE,AF, EF (1)如图O,AB=AD,∠BAD=120°，∠EAF=60°.求证：EF=BE+DF: 图① 图② 图③ (2)如图②，∠BAD=120°，当△AEF周长最小时，求∠AEF+∠AFE的度数： (3)如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3, DF=2,请求出线段EF的长度. 5.如图，正方形ABCD中，M,V分别在CD、BC上，连接AM、AN、MN,∠MAN=45°. D 45 M N (I)若将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE;请你补全图形. (2)直接写出线段DM、BN、MN之间的数量关系； (3)根据(2)的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求△CMN的周长. 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请 补充完整， 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF,则 EF=BE+DF,试说明理由. B 4 B E C D 图1 图2 D (1)思路梳理 AB=AD. :把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合. .∠ADC=∠B=90°， .∠FDG=180°，点F、D、G共线. 易证△AFE≌ —,得EF=BE+DF (2)类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45° 若∠B、∠D都不是直角，则当∠B+∠D=180°时，是否仍有EF=BE+DF,并说明理由. 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.问题背景：“半角模型”问题.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B=∠ADC=9O°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，连接EF,探究线段BE, EF,DF之间的数量关系. G D 90 H 图1 图2 图3 (1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,从而得出结论： (2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC,CD 点，且∠EAF二)∠BAD,请问山中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不 请说明理由. (3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC, CD延长线上的点，且∠EAF=、乙BAD,请探究线段BE'FP,DG具有怎释的数量关系，并证明， 2 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.己知：边长为4的正方形ABCD,∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F,且 ∠EAF=45°，连接EF.求证：EF=BE+DF. A B 图1 图2 图3 思路分析： (1)如图1，：正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°， 把△ABE绕点A逆时针旋转9O°至△ADE,则F、D、E在一条直线上， ∠E'AF= 度，… 根据定理，可证：△AEF2△AE'F」 .EF=BE+DF 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过 程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,D、E在BC上，∠BAC=2∠DAE.若SMBC=14,SDE=6, 求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积. 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC, CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的 方法是，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF, 可得出结论，他的结论应是一· Q D B E 图1 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD,四周修有步行小径，且AB=AD, ∠B+∠D=180°，在小径BC,CD上各修一凉亭E,F,在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达， 经测量得∠EAF=)∠BMD,BE=10米，DF=15米，试求两凉字之间的距商EF· B E 图2 10/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.综合与实践 (I)如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，则MN,AM, CN的数量关系为 B 图1 图2 图3 (2)如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD,AB=BC,∠A+∠C=180°，点M、N分别在AD、 CD上，若Z☑MBN∠ABC,试探索线段N、M八CX有怎样的数量关系？请写出猜想，并给子 证明， (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的 延长线上，若∠MBN=ABC,试探宽线段MCN的数聚关系为 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.问题情境 在等边△ABC的两边AB,AC上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°， ∠BDC=120°，BD=DC M E D D (图1) (图2) 特例探究 如图1，当DM=DN时， (1)∠MDB=度： 归纳证明 (2)如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E,使CE=BM,连接DE,猜想MN与BM, WC之间的数量关系，并加以证明. 拓展应用 (3)△AMN的周长与△ABC的周长的比为 12117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点， 且EAF)BAD,线段P,G,FD之间的关系是 -；(不需要证明) (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=,∠BAD,()中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量 关系，并证明 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线 上的点，且∠BAF=)∠BD,4)中的结论是香的然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们 之间的数量关系，并证明. B B 图1 图2 图3 13117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13. (1)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=45°.直接写出BE、 DF、EF之间的数量关系； A O 45 B E (2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是BC,CD上的点，且 ∠EAF=)∠BAD,求证：EF=BE+DF 2 D E (3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E,延长CD到点F, 使得∠BF=专∠BD,则结论FF=BE+DF是否份然皮立：若成立，请E明：不成立，苗写出它们 2 的数量关系并证明. A F B 14117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.【模型建立】如图1，四边形ABCD是正方形，点M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°， 我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.如图1，将△ADM绕点 A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN. (I)试判断DM,BN,MN之间的数量关系，并写出证明过程： 【模型应用】 (2)如图2，点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN,请 写出MN,DM,BN之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型迁移】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N,M分别在边 BC,CD上，∠MAN=6O°，请直接写出线段BN,DM,MN之间的数量关系. M D M E B B C N B 图1 图2 图3 15117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.问题背景 如图O,在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC, CD上的点，且∠EAF=6O°，连接EF,探究线段BE，,EF,DF之间的数量关系. D D A B E E 图① 图② 探究发现 (1)小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后 再证明△AFE≌△AFG,从而得出结论： 、 拓展延伸 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E,F分别是边BC,CD上的点， 且∠E4F=方BD,态接E·《(山)中的结论是香仍然成立？若成立，请写出证明过陆：老不成立 请说明理由， 16117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC, ∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.探究图中线 段AE,CF,EF之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=AE,连接 BG,先证明△BCG≌△BAE,再证明△BGF≌aBEF,可得出结论，他的结论就是 探究延伸：如图2，在四边形ABCD中，BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心 南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里小 时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测 到甲、乙两舰艇分别到达丑、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间 的距离。 图1 图2 图3 17117可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形证明方法 一一半角模型 模型梳理 (1)条件：如图，正方形ABCD,∠MAN=45°， 作法：在CD延长线上截取DE,使得DE=BM,连接AE, 结论：①△ABM≌△ADE:②△AMN≌△AEN:③BM+DN=MN E E D D D 45° 45° 45° N N B M C B M M (2)条件：如图，△ABC为等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD=DC,∠BDC=120°， ∠EDF=60°， 作法：在AC延长线上截取CG,使得CG=BE,连接DG, 结论：①△EBD≌△GCD;②△FED≌aFGD:③BE+CF=EF A y E E E F B 60 B C 60° B 60 D D G D G 1/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典例精讲 【典例1】B 【典例2】C 【典例3】17 【典例4】问题背景△EAF,△GAF,EF=FD+BE:验证猜想证明见解析；探索延伸成立，理由 见解析 【详解】验证猜想解：如图所示：延长FD到G,使得DG=BE,连接AG, G D. E B 图1 :AB=AD,BE=DG,∠ABE=∠ADG=90°， .△ABE≌△ADG(SAS): :.AG=AE,∠BAE=∠DAG: :∠EAF=60°，∠BAD=120°， .∠BAE+∠DAF=60°=∠DAG+∠DAF=∠GAF, .∠EAF=∠GAF, :.△EAF≌△GAF(SAS) EF =GF=FD+DG=FD+BE (2)成立，理由如下： 延长FD到H,得DH=BE,连接AH, 2/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H E B 图2 :·∠B+∠CDA=180°，∠ADH+∠CDA=180°， 、∠ADH=∠B: DH=BE,AD=AB, :.△ADH≌aABE(SAS), AH=AE,∠BAE=∠DAH: ∠EAF=∠BAD. 2 :.∠BAE+∠DAF=∠BAD=∠DAH+∠DAF=∠HAF, .∠EAF=∠HAF, :.△EAF≌△HAF(SAS) :EF=HF FD+DH FD+BE. 【典例5】(1)EF=FD+BE:(2)EF=FD+BE,证明见解析 【详解】(1)解：延长CD至点G,使得DG=BE,连接AG, D --G :四边形ABCD是正方形 :.∠B=∠ADG=∠BAD=90°，AB=AD, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG 3/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△ABE≌△ADG(SAS) .AE=AG,∠BAE=∠DAG. ∠EAF=45°=∠BAD. :.∠BAE+∠FAD=∠BAD 2 .∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∴.∠DAG+∠FAD=∠BAE+∠FAD=∠EAF, .∠GAF=∠EAF. 在△AFG和△AFE中， AG=AE ∠GAF=∠EAF, AF=AF .△AFG≌aAFE(SAS), ..FG=EF, EF=FG=FD+DG=FD+BE, 即EF=FD+BE, (2)EF=FD+BE, 证明：延长CD至点M,使得DM=BE,连接AM, B D M :∠B+∠ADC=180°，∠ADM+∠ADC=180°， .∠B=∠ADM 在△ABE和△ADM中， 4/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD ∠B=∠ADM BE=DM .△ABE≌aADM(SAS) ∴.AE=AM,∠BAE=∠DAM. :∠EAF=∠BAD, 2 .∠BAE+∠FAD=∠BAD, .∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∴.∠DAM+∠FAD=∠EAF, .∠MAF=∠EAF. 在△AFM和△AFE中， AM=AE ∠MAF=∠EAF, AF=AF ·△AFM≌△AFE(SAS), :FM=EF, .EF =FM=FD+DM=FD+BE, 即EF=FD+BE. 过关专练 1.(1)全等，理由见解析；(2)5 【详解】(1)解：全等.理由如下： :∠D=∠ABE=90°， .∠ABG=90°=∠D, 在△ABG和△ADF中， ∠GAB=∠FAD AB=AD ∠ABG=∠D 5/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :aGAB≌aFAD(ASA)； (2)解：∠BAD=90°，∠EAF=45°， .∠DAF+∠BAE=45°， :△GAB≌△FAD ∴.∠GAB=∠FAD,AG=AF, .∠GAB+∠BAE=45°. .∠GAE=45°， 、∠GAE=∠EAF, 在△GAE和△FAE中， AG=AF ∠GAE=∠EAF, AE=AE △GAE≌aFAE(SAS), .EF =GE ,△GAB≌△FAD. ..GB=DF. .EF=GE=GB+BE=FD+BE=2+3=5. 2.证明见解析 【详解】证明：如图，延长AC至点E,使得CE=BM,连接DE, :△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=12O°的等腰三角形， ,∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°， :.∠ABD=∠ACD=90°， ∠DCE=90°， 在△BDM和△CDE中， BD=CD ∠MBD=∠ECD BM=CE ∴.△BDM≌aCDE(SAS), :.MD=ED,∠MDB=∠EDC, 6/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠MDE=120°-∠MDB+∠EDC=120°， .∠MDN=60°， .∠NDE=60°， 在△MDN和△EDN中， MD=ED ∠MDN=∠NDE=60°， DN =DN :.△MDN≌aEDN(SAS). .MN NE 又：WE=NC+CE=NC+BM, .BM +NC=MN A B D 3.(1)理由见解析：(2)EF=BE+DF,理由见解析 【详解】解：(1)：AB=AD,∠BAD=90°， ∴.把△ABE绕点A逆时针旋转9O°至△ADG,可使AB与AD重合，如图1， F 图1 :∠ADC=∠B=90°， .∠FDG=180°，点F,D、G共线， 则∠DAG=∠BAE,AE=AG. ∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF, 即∠EAF=∠FAG, 在△EAF和△GAF中， 7/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「AF=AF ∠EAF=∠GAF, AE=AG :.△AGF≌△AEF(SAS), .EF=FG=BE+DF: (2)EF=BE+DF,理由如下：如图2， :AB=AD,∠BAD=90°， :把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合， B 图2 D G .∠BAE=∠DAG,∠ABE=∠ADG. :∠BAD=90°，∠EAF=45°， .∠BAE+∠DAF=45°， .∠FAG=45°， ∴.∠EAF=∠FAG. :∠ADC+∠B=180° :.∠FDG=180°，点F、D、G共线 在△AFE和△AFG中， 「AE=AG ∠FAE=∠FAG AF=AF .△AFE≌AAFG(SAS), .EF=FG. 即：EF=BE+DF. 4.(1)证明见解析；(2)120°；(3)5 【详解】(1)证明：如解图①，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 8/31 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠ADG, BE=DG .△ABE≌△ADG(SAS) .AE=AG,∠BAE=∠DAG. :∠BAD=120°，∠EAF=60°， :.∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=60° .∠EAF=∠FAG=60°， 在△EAF和△GAF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF .△EAF≌△GAF(SAS) .EF=FG=DG+DF, .EF =BE+DF: (2)解：如解图，分别作点A关于BC和CD的对称点A',A”,连接AA”,交BC于点E,交CD于点 F 由对称的性质可得AE=AE,A"F=AF, ∴，此时△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+EF+AF=AA”, ∴当点A、B、R、A”在同一条直线上时，AA”即为△AEF周长的最小值. 2A" ∠BAD=120°， 9/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠AA'E+∠A"=180°-120°=60° :∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A",∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A"=∠AFE, :.∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA+∠FAD+∠A"=2(∠AME+∠A")=2×60°=120°： (3)解：如解图，旋转△ABE至△ADP的位置， B E .∠PAE=∠DAE+∠PAD=∠DAE+∠EAB=90°， AP=AE,∠PAF=∠PAE-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF 在△PAF和△EAF中， 「AP=AE ∠PAF=∠EAF, AF=AF .△PAF≌aEAF(SAS). .EF=FP ..EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5. 5.(1)作图见解析：(2)MN=DM+BN:(3)证明见解析；(4)10 【详解】(1)解：如图所示： D 459 M E B N (2)解：MN=DM+BN: (3)证明：由旋转可知：△ADM≌△ABE, :.AM=AE,∠DAM=∠BAE,DM=BE, :∠MAN=45°，∠BAD=90°， .∠DAM+∠BAN=45°=∠BAE+∠BAN=∠EAN. 10/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠EAN=∠MAN, .△EAN≌△MAN, .MN=EN BE+BN DM+BN (4)解：，aCMN的周长=MN+CN+CM,MN=DM+BN, ·ACMN的周长=(DM+CM)+(BN+CN)=BC+CD=l0 6.(1)△AFG;(2)当∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF,理由见解析 【详解】(1)解：△AFG: (2)解：当∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF:理由如下： AB=AD, .把△ABE绕点A逆时针旋转9O°至△ADG,可使AB与AD重合，如图2所示： B F D 图2 G .∠BAE=∠DAG,BE=DG. :∠BAD=90°，∠EAF=45°， .∠FAG=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°， :.∠EAF=∠FAG, .∠ADC+∠B=180°， ∴.∠ADC+∠ADG=180° 点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， 「AE=AG ∠FAE=∠FAG AF=AF :.△AFE≌aAFG(SAS), .EF =FG. 11/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FG=DG+DF. .EF=BE+DF」 7.(1)EF=BE+FD:(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立，理由见解析：(3) EF=BE-FD,证明见解析 【详解】(1)解：EF=BE+FD 延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G 、D Bh E :∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD, ·.△ABE≌△ADG(SAS) .AE=AG,∠BAE=∠DAG .∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=6O° .∠GAF=∠EAF=60° 又：AF=AF, :.△AGF≌△AEF(SAS) .FG=EF .FG=DF+DG .'EF BE+FD 故答案为：EF=BE+FD； (2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG, D G· E :∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， 12/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABG=∠D :在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF .△ABG≌aADF(SAS), .AG=AF,∠1=∠2， ·∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD=∠EAF. .∠GAE=∠EAF 又AE=AE, .△AEG≌AAEF, .EG=EF .EG=BE+BG ∴.EF=BE+FD: (3)解：结论：EF=BE-FD 证明：如图③中，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG. D E 图③ :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADF. 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF 13/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△ABG≌△ADF(SAS). :.∠BAG=∠DAF,AG=AF :∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=)∠BAD ∠GAE=∠EAF AE=AE, :.△AEG≌aAEF(SAS), .EG=EF, .EG=BE-BG. .EF BE-FD. 8.(1)45;(2)DF=BE+EF,证明见解析：(3)2 【详解】(1)解：如图1，，正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE, E E 图1 则F、D、E'在一条直线上，△ADE'≌△ABE, ,DE'=BE,∠DAE=∠BAE,AE=AE, .∠E'AE=∠EAD+∠DAE'=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°， 则∠E'AF=∠E'AE-∠EAF=45°， .∠EAF=∠EAF, △AEF≌aAE'F(SAS), :.E'F =EF, E'F DE'+DF, .EF=BE +DF. 故答案为：45： 14131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)DF=BE+EF, 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE', D E B 图2 .△ADE'≌AABE, :AE=AE',BE=DE',∠DAE'=∠BAE, ∠E'AE=∠BAE+∠E'AB=∠E'AD+∠E'AB=∠BAD=90°， 则∠E'AF=∠E'AE-∠EAF=45°， .∠E'AF=∠EAF=45°， 在△AEF和△AE'F中， AE=AE' ∠EAF=∠E'AF, AF=AF .△AEF≌△AE'F(SAS), :.E'F=EF, .DF DE'+E'F, DF=BE+EF: (3)解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD',连接ED, A D B D E 图3 则△ACD'≌△ABD, .CD'=BD ∴.SABC=S四边形ADcD=14, 15131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同(2)得：△ADE≌△AD'E(SAS). .DE D'E,S.ADE=S.ADE=6, ∴.BD、DE、EC围成的三角形面积为CD'、D'E、EC围成的三角形面积 S.EDC=Sg边形ADcD-SADE-S.ADE=2 9.问题背景：EF=BE+DF:实际应用：EF=25(米) 【详解】解：问题背景：：∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， .∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， BE=DG ∠B=∠ADG, AB=AD △ABE≌aADG(SAS). .AE=AG,∠BAE=∠DAG, :∠EAF=60°、∠BAD=120°， .∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°， ·∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF, 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF ∴△AEF≌△AGF(SAS), .EF=FG. .FG=DG+DF=BE+DF, .EF BE +DF. 故答案为：EF=BE+DF: 实际应用：如图2，延长CD至H,使DH=BE,连接AH, 16131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B 图2 :∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， .∠ADH=∠B, 在△ADH和△ABE中， AD=AB ∠ADH=∠B, DH=BE .△ADH≌aABE(SAS), ∴AE=AH,∠BAE=∠DAH, ZFAF-ZB4D. :.∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF, 在△AEF和△AHF中， AE=AH ∠EAF=∠HAF, AF=AF 、△AEF≌△AHF(SAS), .EF=FH, FH=DH+DF BE+DF, .EF BE+DF, :BE=10米，DF=15米， ·EF=10+15=25(米). 10.(1)MN=AM+CN:(2)MN=AM+CN,理由见解析：(3)MN=CN-AM 【详解】解：(1)如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM', BM=BM',∠A=∠BCM',∠ABM=∠M'BC, 17/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC, .∠BCM'+∠BCD=180°， “点M'、C、N三点共线， :∠MBN=45°， :.∠ABM+∠CBN=45°」 ·.∠MBN=∠MBC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠MBN=∠MBN. .BN =BN .△NBM≌△NBM', ∴.MN=MN, .MN=M'C+CN, .MN=MC+CN=AM+CN: (2)MN=AM+CN;理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM',BM=BM', ∠A=∠BCM',∠ABM=∠M'BC, D 迎 ∠A+∠BCD=180°， .∠BCM'+∠BCD=180°， 点M'、C、N三点共线， LMBN-ARC. 18131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 :.∠ABM+∠CBN=5∠ABC=∠MBN, 2 ∴.∠CBN+∠MBC=∠MBN,即∠M'BN=∠MBN, BN =BN, ∴.△WNBM≌△NBM', .MN =MN. MN=M'C+CN. :MN=M'C+CN=AM+CN (3)MN=CN-AM,理由如下： 如图，在NC上截取CM'=AM,连接BM', M M' B C :在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°， .∠C+∠BAD=180° :∠BAM+∠BAD=180°， ∠BAM=∠C, AB=BC. .△ABM≌ACBM' .AM=CM',BM=BM',∠ABM=∠CBM', .∠MBM'=∠ABC, .:∠MBN _LABC, :.∠MBN=5∠MBM'=∠MBN, .BN BN, .△NBM≌△NBM', 19131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN =MN. ..M'N=CN-CM', .MN CN-AM 1.L)30:(②MN=BM+NC:证明见解析：(3)3 【详解】解：(1)：DM=DN,∠MDN=60°， ∴.△MDN是等边三角形， .MN DM DN, :∠BDC=120°，BD=DC, .∠DBC=∠DCB=30°， ,△ABC是等边三角形， :.∠ABC=∠ACB=60°， :.∠DBM=∠DCN=90° BD=CD.DM=DN. :.Rt△DBM≌Rt△DCN(HL). .∠MDB=∠NDC=30° 故答案为：30： 20131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)猜想：MN=BM+NC,证明如下： ,△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°， :BD=CD,∠BDC=120° .∠DBC=∠DCB=30°， .∠MBD=∠NCD=90° .∠MBD=∠ECD=90°， 又：BD=CD,BM=CE, .△DBM≌aDCE(SAS). :.DM=DE,∠MDB=∠EDC, :∠MDN=60°，∠BDC=120°， .∠MDB+∠NDC=60°. :.∠EDN=∠NDC+∠EDC=∠MDB+∠NDC=6O°， .∠EDN=∠MDN, 又DW=DW. .△MDN≌aEDN(SAS) .MN=EN=EC+NC=BM+NC: (3)由(2)得：MN=BM+NC, ∴.△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2AB, :△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC, .△ABC的周长=3AB, 2AB 2 ·A4MN的周长与。ABC的周长的比为3AB3 12.(1)EF=BE+FD;(2)(1)中的结论仍然成立，理由见解析：(3)(1)中的结论不成立， EF=BE-FD,证明见解析 【详解】解：(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG. 21131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GD G-- B E .∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD, .△ABG≌△ADF, ·AG=AF,∠1=∠2， :∠1+∠3=∠2+3=∠EAF=∠BAD, 2 .∠GAE=∠EAF, 又，AE=AE」 ∴.△AEG≌△AEF, .EG=EF, EG=BE+BG, .EF BE+FD, 故答案为：EF=BE+FD: (2)(1)中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, D M--- B :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠1=180°， .∠1=∠D 在△ABM和△ADF中， AB=AD ∠I=∠D BM=DF 22131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△ABM≌△ADF(SAS), :.AM=AF,∠3=∠2， 1 :∠EAF=三∠BAD 2 .∠2+∠4=∠EAF, .∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF, 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠EAM=∠EAF, AE=AE .△MAE≌△FAE(SAS)」 :EF =EM, EM BM+BEBE+DF, .EF BE FD (3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD, 证明：如图3，在EB上截取BH=DF,连接AH, 图3 :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， .∠B=∠ADF :在△ABH与△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADF, BH=DF .△ABH≌△ADF(SAS). 23131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH=AF,∠BAH=∠DAF .∠HAF=∠HAD+∠DAF=∠HAD+∠BAH=∠BAD, 又：∠EaF-号BAD=<, ∴.∠HAE=∠FAE, 在△HAE和△FAE中， AH=AF ∠HAE=∠FAE, AE=AE :△HAE≌△FAE(SAS). .EF=EH, EH =BE-BH BE-DF, .EF =BE-FD 13.(1)EF=BE+DF:(2)证明见解析；(3)结论EF=EB+DF不成立，应当是 EF=EB-DF,理由见解析 【详解】(1)解：EF=BE+DF,理由如下： 延长CD,使DM=BE,连接AM, M 459 B E :在正方形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADM=90°. .△ABE≌△ADM, .∠BAE=∠DAM,AE=AM, ∠EAF=45°， .∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF=90°-45°=45°， .∠EAF=∠MAF=45°， 又：AF=AF,AE=AM, 24131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AEF≌△AMF, .EF MF =MD+DF=BE+DF: (2)证明：在CD的延长线上截取DG=BE,连接AG,如图， G D E .∠ADF=90°，∠ADF+∠ADG=180°， .∠ADG=90°， :∠B=90°， .∠B=∠ADG=90°， BE DG,AB=AD. :.△ABE≌△ADG(SAS), .∠BAE=∠DAG,AG=AE. :.∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠EAD+∠ABE=∠BAD. :∠EAF=∠BAD. 2 1 &2EM=2∠E1G, ∠EAF=∠FAG, 又：AF=AF,AE=AG, :.△AEF≌△AGF(SAS), .EF=FG=DF+DG=EB+DF (3)解：结论EF=EB+DF不成立，应当是EF=EB-DF.理由如下： 如图，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG. 25131 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 6 E :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， .∠B=∠ADF :在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF ·.△ABG≌△ADF(SAS). .∠BAG=∠DAF,AG=AF, :∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD=∠GAF. 2 2 :∠GAE=∠BAD=∠EAF. AE=AE,AG=AF .△AEG≌AAEF .EG=EF, .EG=BE-BG. ∴.EF=BE-FD 14.(1)MN=DM+BN,证明见解析；(2)MN=BN-DM,证明见解析；(3) MN DM+BN 【详解】(1)解：MN=DM+BN.证明如下： 由旋转的性质，得AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°，∠ABE=∠D=90°， .∠ABE+∠ABC=180°， 点E,B,C共线 .∠MAN=45°， 26131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN. 在△EAN和△MAN中， AE=AM ∠EAN=∠MAN, AN=AN △EAW≌aMAW(SAS), .EN MN, .EN BE+BN. .MN DM+BN (2)解：MN=BN-DM,证明如下： 如图1，在BC上取BE=MD,连接AE. M B E 图1 :AB=AD,∠B=∠ADM, ·.△ABE≌aADM(SAS), AE=AM,∠BAE=∠DAM ·.∠EAM=∠DAE+∠DAM=∠DAE+∠BAE=90°， :∠MAN=45°， :.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN. 在△EAN和△MAN中， AE=AM ∠EAN=∠MAN, AN=AN :.△EAN≌△MAN(SAS). ∴.EN=MN, .EN =BN-BE. 27131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN BN-DM (3)解：如图2，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE, E A M N 图2 ∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE, :∠B+∠ADC=180°， :.∠ADE+∠ADC=180°， ∴点E,D,C共线 .∠BAD=∠NAE=120°，∠MAN=60°， .∠MAE=∠MAN=60°， AN=AE,AM=AM, .△EAM≌aNAM(SAS), .EM MN, ·EM=DE+DM, ∴.MN=DM+BN 15.(1)EF=BE+DF:(2)EF=BE+DF仍然成立，理由见解析 【详解】(I)解：由旋转得：AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG, :∠BAD=120°， ·.∠EAG=120°， :∠EAF=60°， ∴.∠GAF=∠EAF=60°， 又，AF=AF, ∴，△AFE≌△AFG, .EF =GF .GF=DG+DF, 28131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.EF=BE+DF, 故答案为：EF=BE+DF: (2)解：(1)中的结论EF=BE+DF仍然成立. 证明：如解图，将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG的位置，使AB与AD重合. G D E 则∠ADG=∠B,DG=BE,AG=AE,∠BAE=∠DAG, 又：∠B+∠ADC=180°， .∠ADG+∠ADC=180° C,D,G三点共线 :∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠BAD, .∠FAG=∠EAF, 又AF=AF, .△AEF≌△AGF, .EF=FG, 又：FG=DG+DF=BE+DF, .EF BE+DF. I6.问题背景：EF=AE+CF:探究延伸：上述结论仍然成立，即EF=AE+CF,理由见解析；实际 应用：此时两舰艇之间的距离为210海里 【详解】解：问题背景： 如图1，延长FC到G,使CG=AE,连接BG,先证明△BCG≌△BAE,再证明△BFG≌△BFE,可得 出结论：EF=AE+CF: 29131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 入E B 图1 故答案为：EF=AE+CF: 探究延伸：上述结论仍然成立，即EF=AE+CF,理由如下： 如图2，延长FC到G,使CG=AE,连接BG, CG=AE,∠BCG=∠A,BC=BA, .△BCG≌△BAE(SAS), :.BG=BE,∠ABE=∠CBG, ∠ABC=2∠EBF, ·.∠ABE+∠CBF=∠EBF, 即∠CBG+∠CBF=∠EBF, .∠GBF=∠EBF, 又：BF=BF, .△BFG≌aBFE(SAS), ..GF =EF, 即GC+CF=EF, AE+CF=EF, ∴，可得出结论：EF=AE+CF: E M B G 图2 实际应用： 如图4，连接EF,延长BF交AE的延长线于G, 30131 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 图4 因为舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处.舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，所以 ∠AOB=140°， 因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，所以∠EOF=70°，所以∠AOB=2∠EOF, 依题意得，OA=OB,∠A=60°，∠B=120°，所以∠A+∠B=180°， 因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题： 在四边形GAOB中，OA=OB,∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF,∠EOF的两边分别交AG, BG于E,F,求EF的长 根据探究延伸2的结论可得：EF=AE+BF, 根据题意得，AE=75×1.2=90(海里)，BF=100×1.2=120(海里)， 所以EF=90+120=210(海里)， 答：此时两舰艇之间的距离为210海里. 31/31可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形证明方法 一一半角模型 模型梳理 (1)条件：如图，正方形ABCD,∠MAN=45°， 作法：在CD延长线上截取DE,使得DE=BM,连接AE, 结论：①△ABM≌△ADE:②△AMN≌△AEN:③BM+DN=MN E E D D D 45° 45° 45° N N B M C B M M (2)条件：如图，△ABC为等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD=DC,∠BDC=120°， ∠EDF=60°， 作法：在AC延长线上截取CG,使得CG=BE,连接DG, 结论：①△EBD≌△GCD;②△FED≌aFGD:③BE+CF=EF A y E E E F B C 60 心 C 60° B 60 D D G D G 1/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典例精讲 【典例1】如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且 ∠DAE=45°，若BD=3,CE=4,SADE=15,则△ABD与△AEC的面积之和为() B D C A.36 B.21 C.30 D.22 【答案】B 【详解】解：如图，将△ADE关于AE对称得到△AFE, D E 则AF=AD,∠EAF=45°，SAFE=SADE=15, .∠CAF+∠CAD=∠DAE+∠EAF=45°+45°=90°， :∠BAD+∠CAD=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°， .∠CAF=∠BAD 在△ACF和△ABD中， AC=AB ∠CAF=∠BAD, AF=AD .△ACF≌△ABD(SAS), 、.CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°，SACr=SABD, :.∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形， .CE:CF-x436 2/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.ABD+S.EC=S.ACF+S.AEC=S.4FE+S.CEF=15+6=21, 即△ABD与△AEC的面积之和为21 3/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC,D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°，将 △ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB,连接EF,有下列结论：①BE=DC;② ∠BAF=∠DAC:③∠FAE=∠DAE:④BF=DC.其中正确的有() B A.①②③④ B.②③ C.②③④ D.③④ 【答案】C 【详解】解：：△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB, ∴.△ABF≌△ACD :∠BAF=∠CAD,AF=AD,BF=CD,故②④正确， ·.∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠CAD+∠BAE=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°=∠DAE故③正确， 无法判断BE=CD,故①错误 【典例3】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、 DCE上,且∠EAF-BAD.当BC=5DC=8'CE=2附，ACE的周长等尹 【答案】17 【详解】解：在DF上取点G,使DG=BE,连接AG, ,0 B :∠ABE+∠ABC=180°，∠ABC+∠ADC=180°， .∠D=∠ABE, 4/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABE与△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠D, BE=DG :△ABE≌△ADG(SAS), .AE=AG,∠EAB=∠DAG. ·.∠EAB+∠GAB=∠DAG+∠GAB,即∠EAG=∠BAD, :∠EAF=∠BAD, :∠EAF=∠EAG 22 ∠FAE=∠GAF, 在△AFG与△AFE中， AG=AE ∠FAG=∠EAF. AF=AF ·.△AFG≌△AFE(SAS), .EF=FG .EF+BE FG+DG=CD+CF :△CEF的周长等于EF+CF+CE=EF+BE+BC+CF=CD+CF+BC+CF, BC=5,DC=8,CF=2, ∴.△CEF的周长等于8+2+5+2=17 5/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】问题背景如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°， E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明 理由 由“∠EAF=60°，∠BAD=120°”的数据信息，解决问题的方法是：延长FD到G,使得DG=BE, 连接AG,则可以先证△ABE≌△ADG,再证 一，从而得到BE,EF,FD之间的数 量关系是： 验证猜想写出上述推理的详细过程： 探索延伸如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别在BC、CD上，且 ∠EAF=∠BAD,上述结论是否成立，并说明理由. 2 D E 图1 图2 【答案】问题背景△EAF,△GAF,EF=FD+BE:验证猜想证明见解析：探索延伸成立，理由见 解析 【详解】验证猜想解：如图所示：延长FD到G,使得DG=BE,连接AG, G E 图1 :AB=AD,BE=DG,∠ABE=∠ADG=90°， :.△ABE≌△ADG(SAS): .AG=AE,∠BAE=∠DAG: :∠EAF=60°，∠BAD=120°， 6/50 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠BAE+∠DAF=60°=∠DAG+∠DAF=∠GAF, .∠EAF=∠GAF, ·.△EAF≌△GAF(SAS)」 .EF=GF=FD+DG=FD+BE (2)成立，理由如下： 延长FD到H,得DH=BE,连接AH, H E B 图2 :∠B+∠CDA=180°，∠ADH+∠CDA=180°， .∠ADH=∠B: DH=BE,AD=AB. .△ADH≌aABE(SAS), AH=AE,∠BAE=∠DAH: ∠EAF=)∠BAD .∠BAE+∠DAF=5∠BAD=∠DAH+∠DAF=∠HAF, 2 ∴.∠EAF=∠HAF, :.△EAF≌△HAF(SAS) .EF =HF FD+DH FD+BE. 【典例5】根据题意解答下列各题： 7/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R D 图① 图② (1)问题背景：如图O,在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且∠EAF=45°，请直接 写出线段BE,DF,EF之间的数量关系： (2)猜想类比：如图②，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD,点E,F分别在BC, CD上，且∠E1F=号∠B1D,试的定线段BEDF:EF之间的数量关系，并给出证明。 【答案】(1)EF=FD+BE;(2)EF=FD+BE,证明见解析 【详解】(I)解：延长CD至点G,使得DG=BE,连接AG, -G :四边形ABCD是正方形， .∠B=∠ADG=∠BAD=90°，AB=AD, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG, BE=DG :.△ABE≌△ADG(SAS) :.AE=AG,∠BAE=∠DAG, :∠EAF=45°=∠BAD. .∠BAE+∠FAD=-∠BAD, .∠BAE+∠FAD=∠EAF」 :.∠DAG+∠FAD=∠BAE+∠FAD=∠EAF, 8/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、.∠GAF=∠EAF. 在△AFG和△AFE中， AG=AE ∠GAF=∠EAF, AF=AF :△AFG≌aAFE(SAS), ..FG=EF, .EF=FG=FD+DG=FD+BE, 即EF=FD+BE」 (2)EF FD+BE, 证明：延长CD至点M,使得DM=BE,连接AM, B D M :∠B+∠ADC=180°，∠ADM+∠ADC=180°， .∠B=∠ADM 在△ABE和△ADM中， AB=AD ∠B=∠ADM, BE=DM .△ABE≌aADM(SAS), :.AE=AM,∠BAE=∠DAM. :∠EAF=5∠BAD. 2 :.∠BAE+∠FAD=5∠BAD」 2 .∠BAE+∠FAD=∠EAF, 9/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAM+∠FAD=∠EAF, .∠MAF=∠EAF 在△AFM和△AFE中， AM=AE ∠MAF=∠EAF, AF=AF :.△AFM≌aAFE(SAS), .FM=EF, .EF=FM=FD+DM=FD+BE, 即EF=FD+BE. 10150 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 1.如图，AB=AD=BC=DC,∠C=∠D=∠ABE=∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上， ∠EAF=45°，过点A作∠GAB=∠FAD,且点G在CB的延长线上. (1)△GAB与△FAD全等吗？为什么？ (2)若DF=2,BE=3,求EF的长. 】 E 【答案】(1)全等，理由见解析；(2)5 【详解】(1)解：全等.理由如下： .∠D=∠ABE=90°， .∠ABG=90°=∠D, 在△ABG和△ADF中， [∠GAB=∠FAD AB=AD ∠ABG=∠D :.△GAB≌aFAD(ASA): (2)解：∠BAD=90°，∠EAF=45° .∠DAF+∠BAE=45°， :△GAB≌△FAD」 :.∠GAB=∠FAD,AG=AF, .∠GAB+∠BAE=45°， .∠GAE=45°， .∠GAE=∠EAF, 在△GAE和△FAE中， 11/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG=AF ∠GAE=∠EAF, AE=AE :△GAE≌△FAE(SAS), .EF=GE. ,△GAB≌△FAD. ..GB=DF, .EF=GE=GB+BE FD+BE=2+3=5. 2.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以点D为顶点作∠MDN=60°， 点M、N分别在AB、AC上. 求证：BM+NC=MW D 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，延长AC至点E,使得CE=BM,连接DE, :△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形， :.∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°， .∠ABD=∠ACD=90°， ∴.∠DCE=90°. 在△BDM和△CDE中， BD=CD ∠MBD=∠ECD. BM=CE :.△BDM≌aCDE(SAS): ∴.MD=ED,∠MDB=∠EDC, :.∠MDE=120°-∠MDB+∠EDC=120°， 12150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MDN=60°， .∠NDE=60°， 在△MDN和△EDN中， MD=ED ∠MDN=∠NDE=60°， DN=DN :.△MDN≌aEDN(SAS). .MN NE. 又.NE=NC+CE=NC+BM, .BM+NC=MN A M E D 3.【问题背景】(1)如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接 EF,则有EF=BE+DF,，试说明理由； 【迁移应用】(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD 上，∠EAF=45°，若∠B,∠D都不是直角，且∠B+∠D=180°，试探究EF、BE、DF之间的数 量关系： B D 图1 图2 【答案】(1)理由见解析：(2)EF=BE+DF,理由见解析 【详解】解：(1)，AB=AD,∠BAD=90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转9O°至△ADG,可使AB与AD重合，如图1， 13150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G 图1 :∠ADC=∠B=90°， ∠FDG=180°，点E,D、G共线， 则∠DAG=∠BAE,AE=AG, ∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF, 即∠EAF=∠FAG, 在△EAF和△GAF中， AF=AF ∠EAF=∠GAF, AE=AG ·.△AGF≌△AEF(SAS) .EF=FG=BE+DF: (2)EF=BE+DF,理由如下：如图2， :AB=AD,∠BAD=90° :把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合， B E 图2 D .∠BAE=∠DAG,∠ABE=∠ADG, :∠BAD=90°，∠EAF=45° .∠BAE+∠DAF=45°， .∠FAG=45°， .∠EAF=∠FAG. :∠ADC+∠B=180°， 14150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FDG=180°，点RD.G共线 在△AFE和△AFG中， AE=AG ∠FAE=∠FAG, AF=AF :.△AFE≌aAFG(SAS), .EF=FG, 即：EF=BE+DF 15150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E,F分别是BC,CD上的点，连接AE,AF, EF (1)如图O,AB=AD,∠BAD=120°，∠EAF=60°.求i证：EF=BE+DF: 图① 图② 图③ (2)如图②，∠BAD=120°，当△AEF周长最小时，求∠AEF+∠AFE的度数： (3)如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3, DF=2,请求出线段EF的长度， 【答案】(1)证明见解析：(2)120°；(3)5 【详解】(1)证明：如解图①，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G E 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠ADG, BE=DG :.△ABE≌△ADG(SAS) .AE=AG,∠BAE=∠DAG, :∠BAD=120°，∠EAF=60° .∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=60° .∠EAF=∠FAG=60°， 在△EAF和△GAF中， 16150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF :.△EAF≌AGAF(SAS) :.EF=FG=DG+DF, .EF BE+DF: (2)解：如解图，分别作点A关于BC和CD的对称点A,A”,连接AA”,交BC于点E,交CD于点 F. 由对称的性质可得A'E=AE,A”F=AF, ∴.此时△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+EF+AF=AA”」 当点A'、E、F、A”在同一条直线上时，AA”即为△AEF周长的最小值. -4 .∠BAD=120° .∠A4E+∠A"=180°-120°=60° :∠EAA=∠EAA',∠FAD=∠A”,∠EAA+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A"=∠AFE, :∠AEF+∠AFE=∠EAA+∠EAA+∠FAD+∠A"=2(∠AAE+∠A")=2×60°=120°： (3)解：如解图，旋转△ABE至△ADP的位置， B E :.∠PAE=∠DAE+∠PAD=∠DAE+∠EAB=90°， AP=AE,∠PAF=∠PAE-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF, 在△PAF和△EAF中， AP=AE ∠PAF=∠EAF」 AF=AF 17/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△PAF≌aEAF(SAS). ∴EF=FP」 :.EF=PF=PD+DF=BE+DF=3+2=5. 18150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，正方形ABCD中，M,N分别在CD、BC上，连接AM、AN、MN,∠MAW=45°， D 45 M B N (I)若将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE;请你补全图形. (2)直接写出线段DM、BN、MN之间的数量关系： (3)根据（2)的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求△CMN的周长. 【答案】(1)作图见解析；(2)MN=DM+BN;(3)证明见解析：(4)10 【详解】(1)解：如图所示： D 453 M E--- N (2)解：MN=DM+BN: (3)证明：由旋转可知：△ADM≌△ABE, .AM=AE,∠DAM=∠BAE,DM=BE, :∠M4N=45°，∠BAD=90°， :.∠DAM+∠BAN=45°=∠BAE+∠BAN=∠EAN, :.∠EAN=∠MAN ∴.△EAN≌△MAN, .MN EN BE+BN =DM+BN (4)解：，aCMN的周长=MW+CN+CM,MN=DM+BN, ·ACMN的周长=(DM+CM)+(BN+CN)=BC+CD=10. 19150 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请 补充完整， 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF,则 EF=BE+DF,试说明理由. B 4 E C D G 图1 图2 D (1)思路梳理 AB=AD, :把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合. .∠ADC=∠B=90°， .∠FDG=180°，点F、D、G共线. 易证△AFE≌ —,得EF=BE+DF, (2)类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45° 若∠B、∠D都不是直角，则当∠B+∠D=180°时，是否仍有EF=BE+DF,并说明理由. 【答案】(1)△AFG;(2)当∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF,理由见解析 【详解】(1)解：△AFG; (2)解：当∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF;理由如下 AB=AD, :把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合，如图2所示： B A E D>、 图2 G .∠BAE=∠DAG,BE=DG, 20/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAD=90°，∠EAF=45° :.∠FAG=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°， .∠EAF=∠FAG, :∠ADC+∠B=180°， :.∠ADC+∠ADG=180° ∴点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， AE=AG ∠FAE=∠FAG AF=AF :.△AFE≌△AFG(SAS), ..EF=FG. :FG=DG+DF, .EF=BE+DF 7.问题背景：“半角模型”问题.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，连接EF,探究线段BE, EF,DF之间的数量关系。 G 图1 图2 图3 (I)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,从而得出结论： (2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC,CD 上的点，且∠EAF-)∠BD,请问()中的结论是否仍然成立？若成立，请号出证明过程，若不成立， 请说明理由， (3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC, 21150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD延长线上的点，且∠BMF=2∠BMD,请探究线段BE'EF'DP具有怎样的数量关系，并证期。 【答案】(1)EF=BE+FD;(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立，理由见解析：(3) EF=BE-FD,证明见解析 【详解】(I)解：EF=BE+FD 延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G D E :∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD, :.△ABE≌△ADG(SAS) AE=AG,∠BAE=∠DAG」 .∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60° .∠GAF=∠EAF=60° 又，AF=AF, .△AGF≌aAEF(SAS). .FG=EF FG=DF+DG. EF=BE+FD」 故答案为：EF=BE+FD: (2)解：(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG. G-- B :∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， .∠ABG=∠D 22150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D. BG=DF :△ABG≌△ADF(SAS) .AG=AF,∠1=∠2， :A+∠3=∠2+∠3=∠BAD=∠EAF 2 :.∠GAE=∠EAF. 又AE=AE .△AEG≌△AEF, ..EG=EF .EG=BE+BG .EF=BE+FD: (3)解：结论：EF=BE-FD 证明：如图③中，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG 图③ :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， .∠B=∠ADF. 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF .△ABG≌△ADF(SAS) 23150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAG=∠DAF,AG=AF」 ÷∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD ∠GAE=∠EAF AE=AE, :.△AEG≌aAEF(SAS). .EG=EF, EG=BE-BG, .EF BE-FD 24150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.己知：边长为4的正方形ABCD,∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F,且 ∠EAF=45°，连接EF.求证：EF=BE+DF. A E B D 图1 图2 图3 思路分析： (1)如图1，：正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°， 把△ABE绕点A逆时针旋转9O°至△ADE,则F、D、E在一条直线上， ∠E'AF= 度，… 根据定理，可证：△AEF2△AE'F, .EF=BE+DF 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过 程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,D、E在BC上，∠BAC=2∠DAE.若SMBC=14,SDE=6, 求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积. 【答案】(1)45：(2)DF=BE+EF,证明见解析：(3)2 【详解】(1)解：如图1，：正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°， .把△ABE绕点A逆时针旋转9O°至△ADE, E D 图1 25150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则F、D、E'在一条直线上，△ADE'≌△ABE, .DE'=BE,∠DAE=∠BAE,AE=AE ·.∠E'AE=∠EAD+∠DAE'=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°， 则∠E'AF=∠E'AE-∠EAF=45°， .∠EAF=∠E'AF, ·.△AEF≌aAE'F(SAS), .E'F=EF, .E'F DE'+DF. .'EF =BE+DF. 故答案为：45； (2)DF BE+EF, 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE', D B 图2 ∴.△ADE'≌△ABE, AE=AE',BE=DE,∠DAE'=∠BAE, ∴∠E'AE=∠BAE+∠E'AB=∠E'AD+∠EAB=∠BAD=90°， 则∠E'AF=∠E'AE-∠EAF=45°， .∠E'AF=∠EAF=45°， 在△AEF和△AE'F中， AE=AE' ∠EAF=∠E'AF, AF=AF △AEF≌△AE'F(SAS), .E'F=EF, .DF=DE'+E'F. 26150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF =BE+EF: 27/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD',连接ED', 图3 则△ACD'≌△ABD, .CD'=BD ∴.SABC=S四边形ADCD=14, 同(2)得：△ADE≌△AD'E(SAS) ∴DE=DE,SADE=SADE=6, :BD、DE、EC围成的三角形面积为CD'、D'E、EC围成的三角形面积 SEDc=S阳边形ADcD-S。ADE-SADE=2 9.问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC, CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的 方法是，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF, 可得出结论，他的结论应是一. G B E 图1 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD,四周修有步行小径，且AB=AD, ∠B+∠D=180°，在小径BC,CD上各修一凉亭E,F,在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达， 经量海∠BAF=方∠BAD,BE=10米，DF=15米，试求两凉学之间的距夹EF 28150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图2 【答案】问题背景：EF=BE+DF;实际应用：EF=25(米) 【详解】解：问题背景：：∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， .∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， BE=DG ∠B=∠ADG, AB=AD :.△ABE≌AADG(SAS) .AE=AG,∠BAE=∠DAG, :∠EAF=60°，∠BAD=120° .∠BAE+∠DAF=120°-60°=60° .∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF, 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF :.△AEF≌△AGF(SAS) .EF=FG, .FG=DG+DF=BE+DF, .EF=BE+DF, 故答案为：EF=BE+DF: 实际应用：如图2，延长CD至H,使DH=BE,连接AH, 29150 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B 图2 :∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， .∠ADH=∠B, 在△ADH和△ABE中， AD=AB ∠ADH=∠B, DH=BE .△ADH≌aABE(SAS), ∴AE=AH,∠BAE=∠DAH, ZFAF-ZB4D. :.∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF, 在△AEF和△AHF中， AE=AH ∠EAF=∠HAF, AF=AF 、△AEF≌△AHF(SAS), .EF=FH, FH=DH+DF BE+DF, .EF=BE+DF, :BE=10米，DF=15米， ·EF=10+15=25(米). 10.综合与实践 (I)如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，则MN,AM, CN的数量关系为 30150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M B 图1 图2 图3 (2)如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD,AB=BC,∠A+∠C=180°，点MN分别在AD、 CD上，若∠MBN-ABC,试探索线股MMCN有怎样的数量关系？诗写出待想，并给甲 证明 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC+∠ADC=18O°，点M、N分别在DA、CD的 延长线上，若∠MBV=)∠ABC,试探充线段MN~4MCN的数量关系为 2 【答案】(1)MN=AM+CV;(2)MN=AM+CN,理由见解析；(3)MN=CV-AM 【详解】解：(1)如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM', BM=BM',∠A=∠BCM',∠ABM=∠MBC, 订 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC, :.∠BCM'+∠BCD=180°， 点M'、C、N三点共线， :∠MBN=45°， .∠ABM+∠CBN=45°， ∴.∠MBN=∠MBC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN, .BN BN 31150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△NBM≌△NBM', .MN =MN, M'N=MC+CN, .MN=M'C+CN=AM+CN (2)MN=AM+CN;理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM',BM=BM', ∠A=∠BCM',∠ABM=∠MBC, M B 证 :∠A+∠BCD=180°. .∠BCM'+∠BCD=180°， .点M'、C、N三点共线， :∠MBN=∠ABC, 22 .∠ABM+∠CBN=÷∠ABC=∠MBN. 2 :.∠CBN+∠M'BC=∠MBN,即∠M'BN=∠MBN, .BN BN, .△NBM≌△NBM', .MN=MN, .MN=MC+CN. .MN=MC+CN=AM+CN (3)MN=CN-AM,理由如下： 如图，在NC上截取CM'=AM,连接BM', 32150 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 …M B C :在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°， .∠C+∠BAD=180°， :∠BAM+∠BAD=180°， .∠BAM=∠C, AB=BC, :.△ABM≌ACBM' .AM=CM',BM=BM',∠ABM=∠CBM', .∠MBM'=∠ABC, :∠MBN=。∠ABC, 2 ∴.∠MBN=∠MBM'=∠M'BN, 2 BN =BN, .△NBM≌ANBM', .MN=MN M'N CN-CM', .MN CN-AM 11.问题情境 在等边△ABC的两边AB,AC上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°， ∠BDC=120°，BD=DC, 33150 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E D (图1) (图2) 特例探究 如图1，当DM=DN时， (1)∠MDB=度： 归纳证明 (2)如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E,使CE=BM,连接DE,猜想MN与BM, NC之间的数量关系，并加以证明. 拓展应用 (3)△AMN的周长与△ABC的周长的比为 2 【答案】()30，(2)MN=BM+NC:证明见解析：(3) 【详解】解：(1)：DM=DN,∠MDN=60°， :.△MDN是等边三角形， .MN DM DN, :∠BDC=120°.BD=DC. .∠DBC=∠DCB=30°， :△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°， .∠DBM=∠DCN=90°， BD=CD,DM=DN, ..RtADBMRtADCN (HL. .∠MDB=∠NDC=30°， 故答案为：30： 34150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)猜想：MN=BM+NC,证明如下： ,△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°， :BD=CD,∠BDC=120° .∠DBC=∠DCB=30°， :.∠MBD=∠NCD=90° .∠MBD=∠ECD=90°， 又：BD=CD,BM=CE, .△DBM≌△DCE(SAS). :.DM=DE,∠MDB=∠EDC, :∠MDN=60°，∠BDC=120°， .∠MDB+∠NDC=60°. :.∠EDN=∠NDC+∠EDC=∠MDB+∠NDC=6O°， .∠EDN=∠MDN, 又DW=DN, .△MDN≌aEDN(SAS), .MN=EN=EC+NC=BM+NC: (3)由(2)得：MN=BM+NC, ∴.△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2AB, :△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC, .△ABC的周长=3AB, 2AB 2 ÷A4MN的周长与AABC的周长的比为3AB3 12.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点， 且∠EAF=2∠BAD,线段EF'BE'FD之间的关系是 一；（不需要证明） (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 35150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAF=号∠BAD,()中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量 2 关系，并证明. (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线 上的点，且∠EAF=)∠BAD,()中的结论是香仍然成立？若成立，诗证明：若不成立，请写出它门 之间的数量关系，并证明 B E 图1 图2 图3 【答案】(1)EF=BE+FD;(2)(1)中的结论仍然成立，理由见解析：(3)(1)中的结论不成 立，EF=BE-FD,证明见解析 【详解】解：(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG. G-- B E ∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD. .△ABG≌△ADF, .AG=AF,∠1=∠2， 、∠1+3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD. 2 :.∠GAE=∠EAF, 又AE=AE, .△AEG≌△AEF, .EG=EF, 36150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG=BE+BG ∴.EF=BE+FD, 故答案为：EF=BE+FD: (2)(1)中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, M-- B :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠1=180°. .∠1=∠D, 在△ABM和△ADF中， 「AB=AD ∠1=∠D, BM=DF :.△ABM≌△ADF(SAS). .AM=AF,∠3=∠2， ∠EF=B4D, .∠2+∠4=∠EAF, .∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF, 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠EAM=∠EAF, AE=AE :.△MAE≌△FAE(SAS) .EF=EM, .EM=BM+BE=BE+DF, .EF=BE+FD: 37150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD, 证明：如图3，在EB上截取BH=DF,连接AH, A D H 图3 :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∠B=∠ADF. :在△ABH与△ADF中， AB=AD ∠ABH=∠ADF, BH=DF .△ABH≌△ADF(SAS). AH=AF,∠BAH=∠DAF, :.∠HAF=∠HAD+∠DAF=∠HAD+∠BAH=∠BAD, 又：∠EAF=,∠BAD=∠HAF, 2 2 .∠HAE=∠FAE, 在△HAE和△FAE中， AH=AF ∠HAE=∠FAE AE=AE .△HAE≌aFAE(SAS). .EF=EH, EH BE-BH BE-DF, .EF =BE-FD 38150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(1)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=45°.直接写出BE、 DF、EF之间的数量关系； A 459 B E (2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是BC,CD上的点，且 ∠EAF=)∠BAD,求证：EF=BE+DF D ⊙ (3)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E,延长CD到点F, 使得∠BF=专∠BD,则结论F=BE+DF是香份然皮立：若成立，请证明：不成立，苗写出它们 的数量关系并证明. B E 【答案】(I)EF=BE+DF;(2)证明见解析：(3)结论EF=EB+DF不成立，应当是 EF=EB-DF,理由见解析 【详解】(1)解：EF=BE+DF,理由如下： 延长CD,使DM=BE,连接AM, 39150 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D 45 E :在正方形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADM=90°， .△ABE≌△ADM, .∠BAE=∠DAM,AE=AM, :∠EAF=45°， .∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF=90°-45°=45°， ·.∠EAF=∠MAF=45°， 又AF=AF,AE=AM, ∴.△AEF≌△AMF, :EF =MF MD+DF BE+DF (2)证明：在CD的延长线上截取DG=BE,连接AG,如图， G 内 :∠ADF=90°，∠ADF+∠ADG=180°， ∠ADG=90°， ∠B=90° ∴.∠B=∠ADG=90°， BE=DG,AB=AD, ·.△ABE≌△ADG(SAS), :∠BAE=∠DAG,AG=AE」 :.∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠EAD+∠ABE=∠BAD, 40150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∠EAF=5∠BAD 2 :.∠EAF=。∠EAG, :.∠EAF=∠FAG, 又：AF=AF,AE=AG, ·.△AEF≌aAGF(SAS), ..EF=FG=DF+DG=EB+DF: (3)解：结论EF=EB+DF不成立，应当是EF=EB-DF.理由如下： 如图，在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG. B G :∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF. :在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF .△ABG≌△ADF(SAS) .∠BAG=∠DAF,AG=AF. BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=)ZBAD=∠G9 ∠GAE=∠BAD=∠EAF. .AE=AE,AG=AF ∴.△AEG≌AAEF 41150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..EG=EF, EG=BE-BG. ∴EF=BE-FD 42150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.【模型建立】如图1，四边形ABCD是正方形，点M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°， 我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.如图1，将△ADM绕点 A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN. (I)试判断DM,BN,MN之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型应用】 (2)如图2，点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN,请 写出MN,DM,BN之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型迁移】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N,M分别在边 BC,CD上，∠MAN=6O°，请直接写出线段BN,DM,MW之间的数量关系. E B C 图1 图2 图3 【答案】(1)MN=DM+BN,证明见解析；(2)MN=BN-DM,证明见解析；(3) MN=DM+BN 【详解】(1)解：MN=DM+BN.证明如下： 由旋转的性质，得AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°，∠ABE=∠D=90°， ∴.∠ABE+∠ABC=180°， 点E,B,C共线。 .∠MAN=45°， ：.∠EAN=∠E.AM-∠MAN=45°=∠MAN. 在△EAN和△MAN中， AE=AM ∠EAN=∠MAN, AN=AN :.△EAN≌aMAN(SAS), .EN =MN, .EN BE+BN. 43150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN DM+BN (2)解：MN=BN-DM,证明如下： 如图1，在BC上取BE=MD,连接AE. B E C 图1 :AB=AD,∠B=∠ADM, :△ABE≌aADM(SAS), .AE=AM,∠BAE=∠DAM .∠EAM=∠DAE+∠DAM=∠DAE+∠BAE=90°. .∠MAN=45°， ∴.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN. 在△EAN和△MAN中， AE=AM ∠EAN=∠MAN, AN=AN ·△EAN≌aMAW(SAS). .EN =MN, .EN BN-BE. .MN=BN-DM (3)解：如图2，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE, E M 图2 44150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE, :∠B+∠ADC=180°， .∠ADE+∠ADC=180° ∴点E,D,C共线 ∠BAD=∠NAE=120°，∠MAN=60°， .∠MAE=∠MAN=60°， AN=AE,AM=AM, .△EAM≌aNAM(SAS). .EM=MN, EM=DE+DM .MN DM+BN 15.问题背景 如图O,在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC, CD上的点，且∠EAF=60°，连接EF,探究线段BE,EF,DF之间的数量关系. G D D B E 图① 图② 探究发现 (1)小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后 再证明△AFE≌△AFG,从而得出结论： 拓展延伸 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E,F分别是边BC,CD上的点， 目EA厂∠BD,连接FF（山)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成 2 请说明理由. 【答案】(I)EF=BE+DF;(2)EF=BE+DF仍然成立，理由见解析 45150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由旋转得：AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG, :∠BAD=120°， .∠EAG=120°， .∠EAF=60°」 .∠GAF=∠EAF=60°， 又AF=AF, .△AFE≌△AFG. .EF=GF, .GF=DG+DF. EF BE DF, 故答案为：EF=BE+DF: (2)解：(1)中的结论EF=BE+DF仍然成立. 证明：如解图，将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG的位置，使AB与AD重合， G D E 则∠ADG=∠B,DG=BE,AG=AE,∠BAE=∠DAG, 又：∠B+∠ADC=180°， .∠ADG+∠ADC=180°， ∴C,D,G三点共线 :∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠BAD. 2 ∠FAG=∠EAF, 又：AF=AF, .△AEF≌△AGF, .EF=FG, 又：FG=DG+DF=BE+DF, 46150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF BE+DF. 47/50 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC ∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.探究图中线 段AE,CF,EF之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=AE,连接 BG,先证明△BCG≌△BAE,再证明△BGF≌aBEF,可得出结论，他的结论就是 探究延伸：如图2，在四边形ABCD中，BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由， 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心 南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里小 时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测 到甲、乙两舰艇分别到达卫、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间 的距离。 图1 图2 图3 【答案】问题背景：EF=AE+CF:探究延伸：上述结论仍然成立，即EF=AE+CF,理由见解析： 实际应用：此时两舰艇之间的距离为210海里 【详解】解：问题背景： 如图1，延长FC到G,使CG=AE,连接BG,先证明△BCG≌△BAE,再证明△BFG≌△BFE,可得 出结论：EF=AE+CF: B 图1 故答案为：EF=AE+CF, 探究延伸：上述结论仍然成立，即EF=AE+CF,理由如下： 48150 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图2，延长FC到G,使CG=AE,连接BG, :CG=AE,∠BCG=∠A,BC=BA, ·.△BCG≌△BAE(SAS), :.BG=BE,∠ABE=∠CBG, .∠ABC=2∠EBF, .∠ABE+∠CBF=∠EBF」 即∠CBG+∠CBF=∠EBF, ·∠GBF=∠EBF, 又：BF=BF, 、.△BFG≌aBFE(SAS), ..GF=EF, 即GC+CF=EF, .AE+CF=EF. ∴可得出结论：EF=AE+CF: F M G FN 图2 实际应用： 如图4，连接EF,延长BF交AE的延长线于G, G 图4 因为舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处.舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，所以 49150 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOB=140°， 因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，所以∠EOF=70°，所以∠AOB=2∠EOF. 依腮意得，OA=OB,∠A=60°，∠B=120°，所以∠A+∠B=180°， 因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题： 在四边形GAOB中，OA=OB,∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF,∠EOF的两边分别交AG, BG于E,F,求EF的长. 根据探究延伸2的结论可得：EF=AE+BF, 根据题意得，AE=75×1.2=90(海里)，BF=100×1.2=120(海里)， 所以EF=90+120=210(海里). 答：此时两舰艇之间的距离为210海里。 50150